A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法

手拉手模型

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：

例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =

(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //

变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与

CD ，

证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =

（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60

（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =

(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60

(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H

（2）AG 是否与CE 相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？

例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，

（2）AE是否与CD相等？

（3）AE与CD之间的夹角为多少度？

∠？

（4）HB是否平分AHC

例5：如图，点A. B. C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数

倍长与中点有关的线段

倍长中线类

☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC 中

方式1： 延长AD 到E

， AD 是BC 边中线

使DE=AD ，

连接BE

方式2：间接倍长

作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，

连接BE 连接CD

【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1

()2

AM AB AC <+．

M

C

B

A

【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，

，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？

【练2】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．

F E C

B

A

【练3】如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上一点，F 是AC 延长线上的一点，且BD=CF ，连结DF 交BC 于E ．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)

【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，

求证：AC BE =．

F

E

D

C B

A

【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于

F ，求证：AF EF =

F

E

D

C

B

A

【练2】如图，在△ABC 中，AB>AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G. 求证：BF=CG.

【练3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．

G

F

E

D

C

B

A

【练4】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．

求证：EF ∥AB

F

A C

D E B

【例3】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．

F

E

M

C

B

A

【练1】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．