一维波动方程推导.

1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文， 1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”研究报告 1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程 1977年PDI公司开始生产以PDA(Pile Driving Analyzer)打桩分析仪 采用波动方程程序(Case Pile Wave-equation Analysis program/contimuous,简CAPWAPC程序)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷
（15）
因此一维波动方程的定解问题的通解可以最终表示为：
u x, t f x ct g x ct 1 1 u x, t ( x ct ) ( x ct ) ( x )dx 2 2c x ct
x ct
（16）
x
（13）
积分（13）有：
（14）
x ct 1 1 k f ( x ct ) ( x ct ) ( x ) dx 2 2 c 2 x 0 x ct 1 1 k g ( x ct ) ( x ct ) (Байду номын сангаасx ) dx 2 2 c 2 x 0
（10） （11）
u x, t f x ct g x ct
设问题的初始位移和初始速度分别为：
通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。
u( x,0) ( x ) u( x,0) ( x) t
(11)、(12)
（1）
u x E x
x 2u E 2 x x
2u E 2u 2 t x 2
（2）
将式（2）带入式（1）：
令
c2
E

，即得著名的一维波动方程
2 2 u 2 x c 2 x t 2
（3）
1.2.2一维波动方程的解

求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离变
'
则下行波引起的质点振动速度
下行波引起的桩身应变为
u V cf t u f' x
（17）
（18）
式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。
（17）、（18）

V c
EA F EA V ZV C
（19）
（20）
式中，Z＝EA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。
波速为c×t0/t0＝c，这表明波在传播中速度不变。 物理现象为杆上各点，振动未传到时，处于平衡状态，振动传到
时，相应点将发生位移的变化，振动穿过后，该点仍回到平衡位置。
1.2.4
一维波动方程的解在基桩测试中的应用
1 假设桩身中只有下行波（压力波为例），即

u x, t f x ct
量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波法。
作变量代换：
x ct x ct
（4）
u u u x
u u u c t
(5)
(6)
2u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x
0 xL 0 x L
（12）
f ( x ct ) g ( x ct ) ( x) ' ' f ( x ct ) g ( x ct ) ( x) / c
1 f ( x ct ) g ( x ct ) ( x )dx k c x0
2u 2 2u 2u 2u c 2 2 2 2 t
将式（5）～式（8）代入式（4）
(7)
(8)
2u 0
(9)
对式（9）连续两次积分得到方程的通解：
u , f g
进行实测波形的拟合法分析。
方便、快捷、一定的准确度被各国接受 要求较高的人员素质、专业理论知识、 丰富的工程经验 缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。
1.2.1 一维杆的纵向波动方程

一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L，截
面积为A，弹性模量为E，体密度为ρ 。若杆变
形时符合平截面假定，在杆上端施加一瞬时外
应力波反射法检测基桩原理
1.1 基桩动测技术的发展及国内外研究现状
一百年以前，动力打桩公式 1865年B.de Saint Venant提出一维波动方程 50年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值 解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型 从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。
这一通解公式称为D`Alembert 公式。可以证明该解是唯一的，而且是稳定的。
1.2.3
解的物理意义
假设式（16）的第二式为零，即 ，当波速一定时，随 着时间的 增长，位移逐渐沿x轴向下传播，因此我们习惯称为f下行波。同理 称为g上行波。上下行波在传播过程中，由于函数f和g都不发生变化， 因此，波的形状不变，在不考虑杆周围介质的影响，其幅值也不变。 前面假设杆的材质是均匀的，经过t0时刻，波形移动了c×t0的距离，
2
假设桩身中只有上行波（压力波为例），即 u 则上行波引起的质点振动速度

x, t g x ct
（21）
g V cg ' t
式中负号表示质点振动速度向上为负。
上行波引起的桩身应变为

g g' x
（22）
（21）、（22）
力，单元受力如图所示。图中包含外力、土阻
力、阻尼力的作用。
杆单元受力图
x
u
u u t dt
L
dx
x
x dx x
x
以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得
x 2u x A x dx A Adx 2 x t
由材料力学知识得：