波动方程

3
u =120
l =60
A= 5
得波动方程： y =5 cos 4π ( t＋12x0 )－π3 （m）
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为： u = 600m/s 。试写出波动方程。
y(m)
0
u
5 .12
解： 上坡下行
下坡上行
x (m)
0点在t 稍＞0 时
y ＝y（x、t）
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质 点平衡位置
★ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐 振动时，其振动状态在介质中传播过程中所形成的波。
★平面简谐波：波面为平面的简谐波。
各种不同 的简谐波
y
简谐波1 0
y
简谐波2 0
y
合成 复杂波 0
合成 分解
复杂波 简谐波 的波形图
x
过平衡位置向y 负方向运动
从波形图中可知：
l =24m A =5m
=lu =61020 = 50 ( s 1 )
由旋转矢量法：
π 2
0
从波形图中可知：
l =24m A =5m =lu =61020 = 50 ( s 1 )
y
ω =2π =50π ( rad. s 1 )
0点在t 稍＞0 时
过平衡位置向y 负方向运动
波速
u＝
B C
周期T
＝ω2π
＝
2π
B
初相位 j ＝0
l＝uT
＝B C
2π
B
＝ 2π
C
与波源相距为d 处的振动表达式为：
y =A cos（Bt－Cx ) =A cos（Bt－Cd )
波传播方向上相距为d 的两点间的相位差:
△j
＝
2lπ△x
＝
2π
2π
d ＝Cd
C (本题结束)
判断各点运动 方向的技巧
上坡下行
y
u
0
x
（a）
t＝0时的波形图
y
0
t
（b）
质点的振动曲线图
（A）均为零
（B）均为
π
2
（C）均为－π2
（D）π2 与－π2 （E）－π2 与π2
提示：分清波动图和振动图上各点运动的方向。
y
u
y
0
0
x
t
（a）
t＝0时的波形图
（b）
质点的振动曲线图
判断波动图上各 点运动的方向：上坡下行、下坡上行
（a）是波形图，注意到它 的传播方向，x ＝0处质点振 动是过平衡位置 ，向y 轴负
l
x
o
· A P
x
j P
=-
2π
l
x
+j
x
j P
=-
2π uT
x +j
=-ω
x u
+j
l =uT
ω =2Tπ
y =A cos(ω t +j )
P
P
=A cos (ω t －ω
x
u
)
+j
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
波波
函 数
动 方 程
y
=A
cos ω
)
+j
0
·
t
x1
并给出该点与点 0振动的相位差。
波函数表示距离原点为x1处 的质点在各个不同时刻的位 移 。显示了该质点在作周期 为T 的的简谐振动的情况。
由
△j =－ω
△x u
=－2π
△x l
y＝y（x、t +T ）
是要求出初相位，这也是解波动题目的难点。
根据题意：在t = 0时刻质点在y =A/2 处并向y 轴正方向运动
根据题意：在t = 0时刻质点在y =A/2 处并向 y 轴正方向运动
分析法：
A 2
=A
cos(ω
t
+j
)
cosj =21
j =+- π3
(究竞取哪一个 值作为初相位？)
旋转矢量方法：
0π
y
B为原点的波动方程:
y B
=5
cos
πt
－
x2π0 －π4
=5cosπ（t － 2x0)－π4 （m）
因为是右行波，0点的振动相位超
前A点的振动相位，而且相距10m
∴ 0为原点的波动方程:
结论
y A
=5
cosπ
t
－
x－10 20
=5cos
πt －
x－10π 20
=5cos
πt
－
xπ 20
+
π 2
B点的振动相位
y =A cos(ω t +j )
P
P
公式可查处： 教材P153
jP
j
=-
2π
l
x
j P
=-
2π
l
x
+j
l =uT
ω
=
2π T
j P
=-
2π uT
x +j
=-ω
x u
+j
2.相位比较方法
y =A cos(ω t +j )
P
P
P点的相位比 0点的相位落后: △j =jP - j
y
u
j P
-
j
=-
2π
x
u
y =A cosω ( t－t´) +j P
=A
cos ω
(
t－
x
u
)
+j
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位 置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
2.相位比较方法
y
已知振源（波源）
u
的振动方程为：
o
· A P
x y =A cos(ω t +j )
0
x
P点的相位比 0点的相位落后: △j =jP - j
5m
· · · 0
AB
x
· · 0.5
o
1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
分析：解这类题目时要用波函数中的第三个标准方程（标准像）
y = A cos
w(t -
x - xo u
) +j
u＝20 m/s
y(m) 5
10m
5m
· · · 0
AB
x
· · 0.5
o
1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
从图（b）中可知t =0时，质点在正 的最大位移处并向y 轴的负方向运动
方向运动的（理由：上坡下 行、下坡上行）
π－
.2
0
y
t 稍＞0时的波形图是红色曲线 由此画出旋转矢量图。
y
0
t
（b）
质点的振动曲线图
（b）是振动图 ，t ＝0处 质点振动是过平衡位置， 向y 轴正方向运动的。
由此画出旋转矢量图:
解题体会：做此类
.
0
π－
y
2
题目，切不可盲目 判断，要加以分析!
所以取
（A）均为零
（B）均为
π
2
（C）均为－π2
（D）π2 与－π2 （E）－π2 与π2
例题：如图所示简谐
波以余弦函数表示， 求：Q、a、b、c 各点 振动相位。
y
t =0 A
u
·b
t=T/4
a
0·
c·
x
-A ·Q
Q点
A
j o
=π
0·
y
按照 上坡下行
下坡上行
b点
j b
=0
0· A y
的原则
a点 A ja =π2
例题：有一列横波向右
下坡上行
传播， 画出波形曲线上 A、B 、C 、D 、E 、F 各 点的运动方向和四分之
Βιβλιοθήκη Baidu
y C· B· ·D
u
一周期后的波形曲线。
· A 0
T 4
E·
·F
x
特别要注意：波的传播方向，这是关键。
例题：图（a）中所表示的x ＝0 处质点振动的初相位
与图（b）所表示的振动的初相位分别为：
照
波动方程的 另外几种形式
y
=A
cos
2π(
t－
x
l
) +j
y =A cos (ω t －kx ) +j
k =2lπ k 角波数
角波数:表示单位长度上波的相位变化，
在数值上等于2π长度上的完整波数目。
例题：平面简谐波的波函数为：
y =A cos（Bt－Cx )
式中A、B 、C 为正常数，求波长、波速、波 在传播方向上相距为d 的两点间的相位差。
x
在此时间t 是隐函数，
不在波形图上。
已知振源（波源）
的振动方程为： y =A cos(ω t +j ) 0
1.时间推迟方法
1.时间推迟方法
y
u
o
· A P
x
已知振源（波源） 的振动方程为：
x y =A cos(ω t +j ) 0
振源的振动状态从0点以传播速度
u传送到P 点，显然时间要落后：t´＝
例题：平面简谐波的波函数为：
y =A cos（Bt－Cx )
式中A、B 、C 为正常数，求波长、波速、波 在传播方向上相距为d 的两点间的相位差。
解：
y
=A cos（Bt－Cx
)
=A cosB（t－
x B
)
以上式对照波动方程的标准像
C 波长
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
∴振幅＝A ，角频率ω＝B
u＝20 m/s
.B A.
x
5m
（练习册P30填充题9·版书）
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
正方向传播，如（a）所示。如果波线上A点的振动曲线
如图（b）所示。求：（1）A点的振动方程（2）分别以A、
B、0为原点的波动方程。
（练习册P14计算题2）
u＝20 m/s
y(m)
5
10m
0.2
0.4
x (m)
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t1=0和
t2=0.25s时的波形如图。
试求： （1）振动方程 （2）波动方程 （3）作出波源振动曲线。
（练习册P32计算题3·版书）
y(m)
u
0.02m
t1 t2
..
.
0
P
x (m)
0.45 m
例题：一平面简谐波，振幅A＝5m ,向x 轴负方向传播，
Q
P
波函数:
y
=A
cos ω
(t－
x -x0
u
)+j
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
l =uT
ω =2Tπ
平面简谐波波动方程的标准像
必
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
做
须 牢
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
题 对
记
y
=A
cos ω
(
t－
x -x0
u
)+j
的规律
Q点向下运动，P点往上运动。t ＞0 时波形图为虚线状
t＝0时刻 分析法：
A =A cos(ω t +j ) 2 =A cosj
j =cos-1 0
2 2
j 0
=＋- π4
y (m)
A Q.
u
A
2
.P
0 12
同理：
y P
=0
过平衡
位置向 y 正方向运动
由 △j =－2lπ △x
旋转矢量法判定
C点
0·
y 求出初相位是
解题的关键。
0·
y
A
jc =－π2
例题：如图所示，为t=0时刻的简谐波形，试求
（1）0点的振动方程 （2）波动方程 （3）标出a 、b 两点的运动方向（4）x ＝0.2m 质点的振动方程。
（练习册P16计算题1·版书）
y(m) 0.04
0
－0.04
u＝0.08 m/s
.a
b.
(
t－
x
u
)
+j
波向x 轴正方向 传播也称右行波
波向x 轴负方向 传播也称左行波
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处 的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。
当波向x 轴正方向传播而且已知 距离0点为xo的Q点振动方程为：
可理解为将Q点 作为计时原点。
y =A cos(ω t +j )
平面简谐波的波函数 波动方程
Equation of wave
定量地描述前进中的波动（也称行波） ，用数学 形式描述介质中各个质点的位移随时间而变化 的规律。这样的函数式称为行波的波动方程。
§6-2 平面简谐波的波函数
一 . 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移 （坐标为 y）随时间t 的变化关系，称为波函数。
波速为u =120m/s ,波长为60m ,以原点处质点在y =A/2处并向y 轴正方向运动作为计时零点。试写出波
动方程。
解：
u =120 由：l =uT
l =60
A= 5
υ =T1 =2
T
=
l
u
=
1 2
（s）
ω =2πυ =4π
由标准方程：
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
对照后除了 j ，其它的特征量都知道了，所以关键
原点处质点的振动方程为：
y =5 0
cos(
50πt
+π2 )
波动方程为：
y = 5cos
50π(
t
－
x 600
)
+π2
( m）
(本题结束)
例题：有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波它在
t ＝ 0 时刻的波形如图所示，试求其波长。
y (m)
A Q.
u
2
.P
0 12
解：根据
上坡下行
A
下坡上行
x (m)
比 位落A点－后的π4振动相
0点的振动相位
比A点的振动相
位超前 π
=5cos π（t－
x 20
)+
π 2
（m）
2
(本题结束)
二、波动方程的物理意义
y
=A
cosω ( t －
x
u
) +j
1. x =x 1 (常数)即考察该点处的质点情况。
则位移y只是时间t 的周期函数。
y
y
=A
cos ω
(
t－
x1
u
x (m)
π
4
0
Ay
∴
j 0
=＋π4
A
oπ －2
y
j P
=-
π 2
2π
l
（=－
π2 ）12
π 4
l =32 m
(本题结束)
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
负方向传播，已知：A点的振动方程为：
y = 3 cos 4π t （SI）
（1）以A点为坐标原点，写出波动方程
（2）若以距离A点负方向5m处的B点为坐标 原点，再写出波动方程。
y =Acos ω (t
x u
)+ j
A为原点的波动方程:
y A
=5cosπ
t
－
x
20
因为是右行波，B点的振动相位比A
初相位j＝0
u＝20 m/s
点的振动相位落后，而且相距5m
∴ B为原点的波动方程:
10m
5m
· · · 0
AB
x
y B
=5cosπ
t
－
x +5
20
（a）
=5cosπt－ x2+05π =5cosπt － x2π0 －π4
x
x
任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠 加而成到的，所以研究简谐波仍具有特别重要的意义。
1. 平面简谐波波动方程的推导
推导的方 时间推迟方法 法有两种： 相位比较方法
y
o
u
· A P
注意： 波动图的纵横坐标
分别为x、y。它们表示振动 状态传到的地方和振动质 x 点离开平衡位置的距离。
∴ j0＝0 从图（b）中可知T =2.0(s)
由
w＝
2π T
（1） A点的振动方程：
＝π
对照振动方程标准像：
y =Acos（ω t ＋j）
y A
=5cos（πt
+
0
)
=5cosπt （m）
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
由波函数的标准方程（标准像）