波动方程
(完整版)波动方程
y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
t 1.0s y (1.0m) cos[ π (π m1)x]
波形方程
2
(1.0m) sin(π m1)x
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
第二节 波动方程
用数学表达式表示波动----波函数 波函数—任意时刻任意位置处的质点的振动位移。
y y(x,t)
各质点相对于平衡位置的位移
波线上各质点平衡位置
一、平面余弦行波的波函数
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知 原点的振动
（1）前进波（波沿X轴正方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去，沿X
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 写出波动方程的标准式
O
y
A
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
y (1.0m) cos[2π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
2）求t 1.0s 波形图.
已知波源的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程: y(x,t)
x 0处 前进波 x 0处 后退波
y( x, t ) y( x, t )
A cos[ (t A cos[ (t
x) ux ) u
0 ] 0 ]
4、已知真实波源的振动，波源不在原点
第四章分离变量法-波动方程
2 l nπ an = ∫ ϕ ( x ) sin xdx = 0 0 l l 2 l nπ bn = ∫0ψ ( x) sin l xdx nπ a
l l 2 2 nπ nπ = xdx + ∫ l (l − x) sin xdx ∫0 x sin nπ a l l 2
2l 2l 2 nπ = sin 2 2 nπ a n π 2 2
A+ B = 0 Ae
−λl
X ''( x) + λ X ( x) = 0
X (0) = 0,
X (l ) = 0
A=B=0
−λl
X =0
+ Be −
=0
2）λ = 0 3）λ > 0
A=0
X ( x) = Ax + B
A= B=0
X =0
方程通解为
X ( x) = A cos λ x + B sin λ x
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l, t > 0 ∂t 2 ∂x t >0 u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) u ( x,0) = ϕ ( x), = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ∂t u ( x, t ) = X ( x )T (t ) X ′′ + λX = 0 ▪分离变量
而振幅依赖于点x的位置.
ml , m = 0,1,2,⋯ 弦上位于 x = 处的点在振动过程中保持 n
不动称为节点。这种形态的振动称为驻波。
t=t0时：
nπ un ( x, t0 ) = An cos(ωnt0 − θ n ) sin x l
第六章_波动方程
一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t
第三章波动方程
拉普拉斯算子： 拉普拉斯算子： 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂u ∂u ) + (sin α ∇ 2u = 2 ( r 2 r ∂r r ∂α ∂r r ⋅ sin α ∂α ∂u ∂ u ↓← = =0 ∂ α ∂β
2 1 ∂u ∂ 2 u 2 ∂u 2 ∂ u )= 2 + = 2 ( 2r +r 2 r ∂r r ∂r ∂r ∂r
13
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解 、
已知球面纵波传播波动方程如下： 已知球面纵波传播波动方程如下： ∂ 2ϕ − VP2 ∇ 2ϕ = 0 ∂t 2 此式是直角坐标系中的波动方程， 此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中， 坐标系中，即
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 为了定量地描述微观粒子的状态， 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 波函数， 表示。一般来讲， 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。 的函数，并且是复函数，
7
无限大、 3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
一、沿任意方向传播的平面波
如果使 t −
播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t 播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t为 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。
16
因此，上式又可写为： 因此，上式又可写为：
ϕ=
ϕ
1 r ) = c1 ( t − r r VP
10
无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 第一组解： 第一组解：当 V = V p = ( λ + 2 µ ) / ρ 时，
第2章波动方程
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
第一章_波动方程
u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
数学物理方程
波动理论波动方程知识点总结
波动理论波动方程知识点总结波动方程是波动理论中的重要内容，研究波的传播和特性具有重要意义。
本文对波动方程的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用波动理论。
一、波动方程的基本概念波动方程是描述波的传播过程中波动量随时间和空间的变化关系的数学表达式。
一般形式为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u表示波动量，t表示时间，v表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
二、波动方程的解法1. 分离变量法：将波动量u表示为时间和空间两个变量的乘积，将波动方程转化为两个偏微分方程，分别对时间和空间变量求解。
2. 化简为常微分方程：将波动方程应用于特定情境，通过适当的变换，将波动方程化简为常微分方程，再进行求解。
3. 利用傅里叶变换：将波动方程通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化为频域或复频域的代数方程，再进行求解。
三、波动方程的应用1. 声波传播：声波是由介质中的分子振动引起的机械波，通过波动方程可以描述声波在空气、水等介质中传播的特性，如声速、声强等。
2. 光波传播：光波是电磁波的一种，通过波动方程可以研究光的干涉、衍射、反射等现象，解释光的传播规律和光学器件的性质。
3. 地震波传播：地震波是地震过程中的弹性波，通过波动方程可以描述地震波在地球内部传播的规律，有助于地震监测和震害预测。
4. 电磁波传播：电磁波是由电场和磁场耦合产生的波动现象，在电磁学中应用波动方程可以研究电磁波在空间中传播的特性和应用于通信、雷达等领域。
5. 水波传播：水波是液体表面的波动现象，通过波动方程可以研究水波的传播和液面形态的变化，解释液体中的波浪、涌浪、潮汐等现象。
四、波动方程的性质和定解问题1. 唯一性：波动方程的解具有唯一性，即满足初值和边值问题的解是唯一的。
2. 叠加原理：波动方程具有线性叠加性质，一系统的波动解可以通过各个部分的波动解线性叠加而得到。
3. 边界条件：波动方程的求解需要给定适当的边界条件，例如固定端、自由端、吸收边界等，以确保解满足实际问题的物理要求。
数理方程第2章波动方程
π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
波动方程
x at 0 0; 1 x at d x at / 2a; 0 x at 1 2a 1 / 2a; x at 1
%ex602; (p159) 无限长弦波动的解析解(初位移为0, 初速不为0) clear; M=100; N=80; a=1.0; L=10; T1=8; dx=L/M; dt=T1/N; x=-L:dx:L; t=0:dt:T1;[X,T]=meshgrid(x,t); xp=X+a*T; xp(find(xp<=0))=0; xp(find(xp>=1))=1; xm=X-a*T; xm(find(xm<=0))=0; xm(find(xm>=1))=1; S=(xp-xm)/(2*a); figure(1); h=plot(x,S(1,:),'linewidth',3); axis([-L L 0 .6]); set(h,'erasemode','xor'); for k=2:N+1; pause(0.01); set(h,'ydata',S(k,:)); drawnow; end;
2l Bn 2 2 cos3nπ / 7 cos4nπ / 7 nπa An 0;
波动方程的定义和基本概念
波动方程的定义和基本概念波动方程是一种以时间和空间为自变量的偏微分方程，描述了一种波动现象的演化过程。
在物理学、数学和工程学等领域都有着广泛的应用。
波动方程的定义波动方程是以某个波动物理量的时间和空间分布情况为自变量的偏微分方程。
它描述了这个物理量在时空中的变化规律。
比如，当我们谈论光波时，这个物理量就是光的电场或磁场；而在声波中，这个物理量就是气体的压力变化。
波动方程的一般形式为：$$ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} - v^2 \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} = 0 $$其中，$\Psi$ 为波动物理量，$t$ 为时间，$x$ 为空间位置，$v$ 为波速。
不同类型的波动方程有不同的形式，但基本上都可以写成上述形式的变形。
比如，电磁波可以使用麦克斯韦方程组推导得到一个波动方程；而热传导过程中的温度分布也可以被描述为一个波动方程。
波动方程的基本概念基本上，波动方程描述了一个波动物理量在时间和空间中的变化规律。
为了更好地理解这个变化规律，我们需要了解一些与波动相关的基本概念。
下面分别介绍这些概念及其物理意义：波速波速是指波动物理量在介质中传播的速度。
在波动方程中，$v$ 表示波速。
对于不同的波动物理量，其在介质中的传播速度也不同。
比如，电磁波在真空中传播的速度是光速，而声波则会受到介质密度和压强等因素的影响。
波长波长是指波动物理量一次周期内传播的距离。
在波动方程中，波长可以用波速$v$ 与频率$f$ 的乘积表示：$\lambda = v/f$。
同样地，不同类型的波长也有不同的定义方式。
比如，在电磁波中，波长就是电场和磁场一次周期内传播的距离。
频率频率是指波动物理量的振动次数，即单位时间内波动物理量通过某个位置的次数。
在波动方程中，频率可以用波速$v$ 与波长$\lambda$ 的比值获得：$f = v/\lambda$。
第三章波动方程
2 t2V p 2 2 2 t2V p 2divg r(a t)d
▪ 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式 求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝 尔解。
lr i0m W2 t2 dW Vp2lr i0m Wdivgd raW dlr i0m W(t)dW
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gradru errersine
对于球面u只 纵存 波 r方在 ， 向位 上 u只 移 ， (是 r,t)的 即函数 u， u0 则
u rer u rrr
拉普拉斯算子：
2u
1 r2
r
(r2
ur )r
s1in(sin1r u
)r29;1(tV rp)rr
➢ 2、近震源的球面纵波（ 1/r2 >> 1/r）
1
rr
up4r2Vp 2 1(tVp)r
26
3.3 地震波的动力学特点
▪ 在近震源区域，质点振动规律（波 函数）主要与震源函数 (t)有关；而 在远震源区域，质点振动主要与震 源函数的导数 '(t)有关。
2u
2
u u 0
1 r2
(2r
ur2 r
2u r2 )
2u 2
r2
r
u r
15
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 t21V P 2 2 r210
1r
可用达朗贝尔法 解r得：c(tr )c(tr )
1
第三章波动方程
(1.2)的解u = u(t, x)可以表示为
n
u(t,
x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t,
x;
ti,
∆ti).
(1.14)
由于(1.12)是线性方程，所以w与∆ti成正比，也就是说，如果记w(t, x; τ )为如下齐次方
程的Cauchy问题
wtt − c2wxx = 0 (t > τ ), t = τ : w = 0, wt = f (τ, x)
0
于是，再利用(1.4)可知
ut|t=0 = w(0, x; 0) = 0.
(1.8)
(1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立。 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1)。 由(1.6)及(1.4)易知
t
t
ut(t, x) = w(t, x; t) + wt(t, x; τ )dτ = wt(t, x; τ )dτ.
x
0,
k > 1,
其中ϕ0(0) = ψ(0)。 7. 求解下述边值问题
utt − uxx = 0, 0 < t < f (x),
u|t=x = u|t=f (x)
(1.15)
的解，则有
w(t, x; ti, ∆ti) = ∆tiw(t, x; ti).
(1.16)
于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n
n
t
u(t, x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x; ti, ∆ti)
=
lim
∆ti→0
i=1
(大学物理 课件)波动方程
表示 x1 处质点的振动方程
结束
返回
2. t = t 1 (常数) y
o y = A cos ω ( t 1 x )+j u x
表示在 t 1 时刻的波形
结束
返回
3. t 与 x 都发生变化 x t = t1 y 1 = A cos ω ( t 1 u ) + j x t = t 1+Δ t y ´= A cos ω ( t 1+Δ t u ) + j y
波 动 方 程
返回16章 结束
波动方程 一、平面简谐波的波动方程 y u x
§16-2平面简谐波
o
B
x
参考点O点的振动方程为： y = A cos ( t + j ) ω
任意点（B点）的振动方程，即波动方程为： y = A cos ω ( t x ) + j u 结束 返回
平面简谐波的波动方程为: x j y = A cos ω ( t u ) + t x j y = A cos 2π ( T l ) +
A cos 2π (x +120 t ) = 60
π
3
例2. 有一列向 x 轴正方向传播的平面简 谐波，它在t = 0时刻的波形如图所示，其波 速为u =600m/s。试写出波动方程。 y(m)
u 5 x (m)
o
12
.
结束
返回
解： o 由图可知， 在t = 0时刻
y(m)
u 5 x (m)
12
.
y1 y´ ut
.
O
x
x´
t
令 y 1= y ´
得： ´= x +uΔ t x 这表示相应于位移y1的相位，向前传播了 uΔ t的距离。 结束 返回
第二章波动方程
第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。
对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。
1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。
（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。
对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。
（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。
波动方程的基本解
波动方程的基本解一、引言波动方程是数学中的一类重要偏微分方程，它描述了许多自然现象中的波动现象，如声波、电磁波等。
解决波动方程问题的关键在于求出其基本解，本文将介绍波动方程的基本解。
二、一维情形下的波动方程考虑一维情形下的波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$表示波函数，$c$表示传播速度。
为了求解该方程，需要找到其基本解。
三、基本解的定义对于偏微分方程$L[u]=f(x)$，如果存在一个函数$G(x,y)$满足$L[G]=\delta(x-y)$（其中$\delta(x-y)$表示Dirac函数），那么称$G(x,y)$为$L[u]=f(x)$的一个基本解。
四、一维情形下基本解的求解对于一维情形下的波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$可以通过变量分离法得到通解：$$u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$其中$f,g$为任意两个可导函数。
接下来，我们尝试构造基本解$G(x,y)$。
假设$G(x,y)$满足：$$\frac{\partial^2 G}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2G}{\partial x^2}$$且满足初始条件：$$G(x,0)=0,\quad \frac{\partial G}{\partial t}(x,0)=\delta(x-y)$$ 其中$\delta(x-y)$表示Dirac函数。
这个初始条件的物理意义是，在$t=0$时，波源位于点$y$处，产生了一个脉冲信号。
根据通解的形式，我们可以将基本解表示为：$$G(x,y)=f(x+y)+g(x-y)$$由于$\delta(x-y)$是一个奇函数，即$\delta(-x)=-\delta(x)$，因此有：$$\frac{\partial G}{\partial t}(x,0)=f'(x+y)-g'(x-y)$$将上式代入初始条件中可得：$$f'(y)-g'(y)=1$$由此可得$f(y)-g(y)=y+C_1$（其中$C_1$为常数），进一步地有$f(y)+g(y)=C_2$（其中$C_2$为常数）。
第六章_波动方程
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx
波动方程
1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 二维波动方程（例如薄膜振动）()t y x f y u x u a t u ,,2222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂ 三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）()t z y x f z u y u xu a t u ,,,222222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件 ①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。
②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu。
也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。
③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。
也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。
1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。
大学物理-波动方程
2
谱方法的优点是精度高，适用于大规模问题求解， 且能够处理复杂的边界条件和初值条件。
3
谱方法的缺点是计算量大，需要较高的编程技巧 和计算资源，且对非线性问题的处理较为困难。
06 波动方程在物理中的应用
声波传播
声波传播
波动方程可以描述声波在介质中的传播规律 。通过求解波动方程，可以得到声波的传播 速度、振幅和相位等信息。
有限差分法的优点是简单直观，易于编程实现，适用于规则区域的问题求解。
有限差分法的缺点是对不规则区域和边界条件的处理较为复杂，且精度相对较低。
有限元法
01
有限元法是一种将连续的波动问题离散化为有限个相互连接的子域（即有限元 ）的方法，通过将波动方程转化为有限元方程组，然后求解该方程组得到波动 问题的数值解。
大学物理-波动方程
contents
目录
• 波动方程概述 • 一维波动方程 • 二维波动方程 • 三维波动方程 • 波动方程的数值解法 • 波动方程在物理中的应用
01 波动方程概述
波动方程的定义
波动方程是描述波动现象的基本数学 模型，它描述了波动在空间和时间上 的变化规律。
波动方程通常表示为偏微分方程，其 中包含未知函数（如波动位移或速度 ）及其偏导数。
地震定位与测深
利用地震波的传播规律，可以进行地震定位和测深，以了解地球内 部结构和构造。
地震灾害评估
地震波的传播特性可以为地震灾害评估提供重要信息，如地震烈度、 震源深度和地表破裂带等。
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偏微分方程的形式
三维波动方程通常采用偏微分方程的形式，包含了波动传播的空间 和时间信息。
三维波动方程的解法
研究数学中的波动方程
波动方程是数学中一种非常重要的方程类型，用于描述波的传播和振动的现象。
波动方程的研究，不仅可以帮助我们深入理解波动现象的特性，还可以应用于各个领域，如声波、光波、电磁波等。
首先，我们来从最基本的形式开始理解波动方程。
波动方程通常描述了一个波动量随时间和空间的变化规律。
在一维情况下，波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²其中u表示波动量，t表示时间，x表示空间坐标，c表示波速。
这个方程可以直观地解释波的传播特性：当波动量u随时间t变化时，它的二阶时间导数∂²u/∂t²表示了波动量的加速度；而当u随空间x变化时，它的二阶空间导数∂²u/∂x²表示了波动量的曲率。
因此，波动方程实际上描述的是波动量在时间和空间上的变化情况。
波动方程的解决方案通常需要使用一些数学工具和技巧，比如分离变量法、拉普拉斯变换等。
这些方法可以帮助我们求解波动方程，得到波动量u关于时间和空间的函数表达式。
根据初始条件和边界条件，我们可以计算出具体的波动量分布，从而研究波的传播和振动的特性。
在实际应用中，波动方程的研究具有广泛的意义和应用价值。
例如，在声学中，波动方程可以用来描述声波的传播和振动；在光学中，波动方程可以用来描述光波的传播和干涉现象。
此外，波动方程还可以应用于地震学、天体物理学等领域，帮助我们理解地震波、天体运动等自然现象。
波动方程的研究还可以与其他科学学科相结合，形成交叉学科研究。
例如，生物学中的生物振动现象，可以通过波动方程和生物力学的相结合来进行探索和研究。
这种交叉学科的研究，有助于我们更深入地理解生物振动现象，并为相关领域的应用提供理论基础。
总之，波动方程在数学中是一个重要的方程类型，可以帮助我们深入理解波动现象的特性。
通过对波动方程的研究，我们可以求解出具体的波动量分布，并研究波的传播和振动的特性。
同时，波动方程的研究也可以应用于各个学科和领域，帮助我们更好地理解和应用波动现象。
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动方程。
解：
u =120 由：l =uT
l =60
A= 5
υ =T1 =2
T
=
l
u
=
1 2
（s）
ω =2πυ =4π
由标准方程：
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
对照后除了 j ，其它的特征量都知道了，所以关键
x (m)
π
4
0
Ay
∴
j 0
=＋π4
A
oπ －2
y
j P
=-
π 2
2π
l
（=－
π2 ）12
π 4
l =32 m
(本题结束)
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
负方向传播，已知：A点的振动方程为：
y = 3 cos 4π t （SI）
（1）以A点为坐标原点，写出波动方程
（2）若以距离A点负方向5m处的B点为坐标 原点，再写出波动方程。
（A）均为零
（B）均为
π
2
（C）均为－π2
（D）π2 与－π2 （E）－π2 与π2
例题：如图所示简谐
波以余弦函数表示， 求：Q、a、b、c 各点 振动相位。
y
t =0 A
u
·b
t=T/4
a
0·
c·
x
-A ·Q
Q点
A
j o
=π
0·
y
按照 上坡下行
下坡上行
b点
j b
=0
0· A y
的原则
a点 A ja =π2
B为原点的波动方程:
y B
=5
cos
πt
－
x2π0 －π4
=5cosπ（t － 2x0)－π4 （m）
因为是右行波，0点的振动相位超
前A点的振动相位，而且相距10m
∴ 0为原点的波动方程:
结论
y A
=5
cosπ
t
－
x－10 20
=5cos
πt －
x－10π 20
=5cos
πt
－
xπ 20
+
π 2
B点的振动相位
y ＝y（x、t）
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质 点平衡位置
★ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐 振动时，其振动状态在介质中传播过程中所形成的波。
★平面简谐波：波面为平面的简谐波。
各种不同 的简谐波
y
简谐波1 0
y
简谐波2 0
y
合成 复杂波 0
合成 分解
复杂波 简谐波 的波形图
x
∴ j0＝0 从图（b）中可知T =2.0(s)
由
w＝
2π T
（1） A点的振动方程：
＝π
对照振动方程标准像：
y =Acos（ω t ＋j）
y A
=5cos（πt
+
0
)
=5cosπt （m）
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
由波函数的标准方程（标准像）
5m
· · · 0
AB
x
· · 0.5
o
1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
分析：解这类题目时要用波函数中的第三个标准方程（标准像）
y = A cos
w(t -
x - xo u
) +j
u＝20 m/s
y(m) 5
10m
5m
· · · 0
AB
x
· · 0.5
o
1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
从图（b）中可知t =0时，质点在正 的最大位移处并向y 轴的负方向运动
u＝20 m/s
.B A.
x
5m
（练习册P30填充题9·版书）
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
正方向传播，如（a）所示。如果波线上A点的振动曲线
如图（b）所示。求：（1）A点的振动方程（2）分别以A、
B、0为原点的波动方程。
（练习册P14计算题2）
u＝20 m/s
y(m)
5
10m
Q
P
波函数:
y
=A
cos ω
(t－
x -x0
u
)+j
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
l =uT
ω =2Tπ
平面简谐波波动方程的标准像
必
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
做
须 牢
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
题 对
记
y
=A
cos ω
(
t－
x -x0
u
)+j
平面简谐波的波函数 波动方程
Equation of wave
定量地描述前进中的波动（也称行波） ，用数学 形式描述介质中各个质点的位移随时间而变化 的规律。这样的函数式称为行波的波动方程。
§6-2 平面简谐波的波函数
一 . 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移 （坐标为 y）随时间t 的变化关系，称为波函数。
x
在此时间t 是隐函数，
不在波形图上。
已知振源（波源）
的振动方程为： y =A cos(ω t +j ) 0
1.时间推迟方法
1.时间推迟方法
y
u
o
· A P
x
已知振源（波源） 的振动方程为：
x y =A cos(ω t +j ) 0
振源的振动状态从0点以传播速度
u传送到P 点，显然时间要落后：t´＝
(
t－
x
u
)
+j
波向x 轴正方向 传播也称右行波
波向x 轴负方向 传播也称左行波
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处 的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。
当波向x 轴正方向传播而且已知 距离0点为xo的Q点振动方程为：
可理解为将Q点 作为计时原点。
y =A cos(ω t +j )
x
u
y =A cosω ( t－t´) +j P
=A
cos ω
(
t－
x
u
)
+j
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位 置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
2.相位比较方法
y
已知振源（波源）
u
的振动方程为：
o
· A P
x y =A cos(ω t +j )
0
x
P点的相位比 0点的相位落后: △j =jP - j
3
u =120
l =60
A= 5
得波动方程： y =5 cos 4π ( t＋12x0 )－π3 （m）
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为： u = 600m/s 。试写出波动方程。
y(m)
0
u
5 .12
解： 上坡下行
下坡上行
x (m)
0点在t 稍＞0 时
0.2
0.4
x (m)
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t1=0和
t2=0.25s时的波形如图。
试求： （1）振动方程 （2）波动方程 （3）作出波源振动曲线。
（练习册P32计算题3·版书）
y(m)
u
0.02m
t1 t2
..
.
0
P
x (m)
0.45 m
例题：一平面简谐波，振幅A＝5m ,向x 轴负方向传播，
C点
0·
y 求出初相位是
解题的关键。
0·
y
A
jc =－π2
例题：如图所示，为t=0时刻的简谐波形，试求
（1）0点的振动方程 （2）波动方程 （3）标出a 、b 两点的运动方向（4）x ＝0.2m 质点的振动方程。
（练习册P16计算题1·版书）
y(m) 0.04
0
－0.04
u＝0.08 m/s
.a
b.
波速
u＝
B C
周期T
＝ω2π
＝
2π
B
初相位 j ＝0
l＝uT
＝B C
2π
B
＝ 2π
C
与波源相距为d 处的振动表达式为：
y =A cos（Bt－Cx ) =A cos（Bt－Cd )
波传播方向上相距为d 的两点间的相位差:
△j
＝
2lπ△x
＝
2π
2π
d ＝Cd
C (本题结束)
判断各点运动 方向的技巧
上坡下行
x
x
任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠 加而成到的，所以研究简谐波仍具有特别重要的意义。