椭圆的定义与标准方程(公开课)课件

a 以 由椭圆定义可知 2a > 2c,即 > c, 所
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2
2 2
a2 − c2 > 0, 设a2 − c2 = b2 (b > 0),
x y + 2 = 1( a > b > 0 ). 2 a b
两边除以 a b 得
2 2
椭圆的标 准方程
刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程， 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
口答：
x2 y 2 1. 2 + 2 = 1， a＝ 5 ，b＝ 3 ； 则 5 3 x2 y 2 2. 2 + 2 = 1， a＝ 6 ，b＝ 4 则 4 6
x2 y 2 3. + = 1 9 6 x2 y 2 4. + = 1 7 4
； ；
则a＝ 3 ，b＝ 6
则a＝
7 ，b＝ 2 ．
例３.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上 每一点到两焦点距离的和。
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y M M
O 2 F
y F2 xx x
O
x F1
x
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 对称、 直线作为坐标轴.) 对称 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
y
设P (x, y)是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(−c,0)、(c,0) .
F1 0
Ｐ(x , y) )
x F2
P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
由椭圆的定义得，限制条件： 由椭圆的定义得，限制条件： | PF 1 | + | PF 2 | = 2 a 由于 得方程
x2 y2 + 2 = 1( a > b > 0 ). 2 a b
♦椭圆的标准方程的特点：
Y M M F1 (-c,0)
2 2
Y F2(0 , c) O X F1(0,-c)
O
F2 (c,0)
X
2
x y + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b
y x + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b
椭圆上每一点到两焦点的距离之和为
2a = 4
例4. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程 如图:求满足下列条件的椭圆方程
| PF1 | + | PF2 |= 10, | F1 F2 |= 8
解：椭圆具有标准方程 因此 c = 4, a = 5,
x2 y2 + 2 =1 2 a b
其中
2c = 8,2a = 10
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？ ．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
♦提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢？ 求动点轨迹方程的一般步骤： ♦ 求动点轨迹方程的一般步骤： 坐标法
回忆圆标 准方程推 导步骤
1、建立适当的坐标系，用有序实数对 、建立适当的坐标系， 的坐标; （x,y）表示曲线上任意一点 的坐标 ）表示曲线上任意一点M的坐标 2、写出适合条件 P（M） ; 、 （ ） 3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ; 、用坐标表示条件 （ ）， ），列出方程 4、化方程为最简形式。 、化方程为最简形式。
由椭圆的定义得，限制条件： 由椭圆的定义得，限制条件： | PF 1 | + | PF 2 | = 2 a 由于 得方程
| PF |= x2 + ( y + c)2 , | PF2 |= x2 + ( y − c)2 1
x2 + ( y + c)2 + x2 + ( y − c)2 = 2a
（问题：下面怎样化简y 2 + ( x − c)2 + y 2 = 2a 问题：下面怎样化简？） 焦点在 轴 x + c)2 + ？） x ( 化简
| PF |= ( x + c)2 + y 2 , | PF2 |= ( x − c)2 + y 2 1
( x + c)2 + y 2 + ( x − c)2 + y 2 = 2a
（问题：下面怎样化简？） 问题：下面怎样化简？） 化简
移项， 移项，再平方
( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 − 4aΒιβλιοθήκη Baidu( x − c)2 + y 2 + ( x − c)2 + y 2 a
F1 F1F2
a 2 = b2 + c 2
F2
探索－ 探索－嫦娥奔月
2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现 第 二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度 约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球 的球心为一个焦点的 椭圆形轨道。已知月 球半径约3475公里， 试求“嫦娥”二号卫 星运行的轨迹方程。
和为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 改变两图钉之间的距离， 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？ ．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 改变两图钉之间的距离， 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
宁德二中
马茂鸿
2010.11.26
“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空
♦自然界处处存在着椭圆,我们如
何用自己的双手画出椭圆呢?
先 回 忆 如 何 画 圆
♦实验
♦如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之
x2 y2 + =1 25 9
b 2 = a 2 − c 2 = 25 − 16 = 9
所求方程为
小结： 小结：
一种方法： 一种方法： 求椭圆标准方程的方法 二类方程: 二类方程
x2 y2 y2 x2 + 2 =1 2 + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b a b
三个意识： 求美意识， 求简意识， 三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识
a 2 = b2 + c 2
F
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 a b
y P
O
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 b a y
F P x
F
x
O
F
F1 ( -c , 0 )，F2 ( c , 0 )
F1 ( 0 , - c )，F2 ( 0 , c )
F1
F2
2
− cx = a
(x − c)2 + y
2
两边再平方， 两边再平方，得
a 4 − 2 a 2 cx + c 2 x 2 = a 2 x 2 − 2 a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2
整理得 ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 )
2
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上。
♦
标准方程 不 同 点 标 相 同 点 a b c F1F2
x2 (1) + y 2 = 1 4 x2 y2 ( 2) + =1 4 5 x2 y2 + 2 =1 2 a b
(3)4 x 2 + 3 y 2 = 4
解：椭圆方程具有形式 因此 c =
a 2 − b2 = 4 −1 = 3
其中
a = 2, b = 1
两焦点坐标为
(− 3 ,0), ( 3 ,0)
标准方程 不 同 点 标 相 同 点 a b c
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 a b
y P F
O
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 b a y
F P x
F
x
O
F
F1 ( -c , 0 )，F2 ( c , 0 )
F1 ( 0 , - c )，F2 ( 0 , c )
作业： Ｐ40 题 习题１“学而时习之” 第1 《课堂新坐标》