第一章_随机事件

事件组或称为样本空间的一个划分.
6. 事件 A 与 B 的差
由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
B A
B A
AA B
B
S
B A AB S
7. 事件 A 的对立事件 若A B S 且 AB ，称 A 与 B是相互对立事件
二、 概率的公理化定义
定义 设E为随机试验, S是样本空间,对于E中的事件A,
赋予一个实数P(A),如果满足下列条件：
(1)非负性：0 P( A) 1
(2)规范性： P(S) 1
(3)可列可加性：若 A1, A2 ,, An 是一组两两不相
容的事件,则有

P( Ai ) P( Ai )
例2 设一个工人生产了四个零件, Ai 表示他生 产的第 i 个零件是正品( i 1, 2, 3,4), 试用 Ai 表 示下列各事件:
(1)没有一个是次品; (3)只有一个是次品;
(2)至少有一个是次品; (4)至少有三个不是次品;
(5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品.
02
第2节 概率、古典概率
2）规范性 必然事件S 的频率为1: fn (S) 1
3）有限可加性 若 A1, A2 ,, Am是一组两两不相
容的事件,则有
m
m
f
n
(

i 1
Ai
)


i 1
fn
(
Ai
)
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的 增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概 率，记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，
例题 则这一试验的样本空间为：
={0，1，2，3，4，5，6，7，8}
引入下列随机事件: A={正品件数不超过3}={0，1，2，3} B={取到2件至3件正品}={2，3} C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5} D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5} E={取到的正品数至少为4}={4，5，6，7，8} F={取到的正品数多于4}={5，6，7，8}
或者互逆事件，记为 A B , B A. 即, A 表示“事件 A 出现”, 则 A 表示“事件 A 不出现”.
A 实例 “骰子出现1点”对立
B A S
“骰子不出现1点”
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A
S
A B S 且 AB
一、 概率的统计意义
定义 在相同条件下,进行了 n 次试验,
在这 n 次试验中事件 A 发生的次数
n(A) 称为事件 A 的频数,比值 n(A) / n
称为事件 A 发生的频率,并记为 fn ( A) ,
即
fn
( A)

n( A) n
频率具有如下性质:
1）非负性 任意事件A的频率非负: fn (A) 0
例5 盒中有有3只红球,7只蓝球,从中一次任取三只, 试求下列事件的概率:
A={没有红球}； B={只有1只红球}； C={至少1件红球} ；D={最多1件红球}.
例5′将例4上题中的取法改为有放回地从中取两次, 每次取一只,试求取到两只蓝球的概率.
例5″ 将例4取法改为无放回地抽取两次,每次抽 取一只,试求取到两只蓝球的概率.
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件)
事件 A B { x x A 且 x B}称为事件A 与 事件 B 的积事件.即，A、B同时发生.
积事件也可记作 A B 或 AB.
A AB B
S
n
推广 称 Ak 为n个事件 A1, A2,, An 的积事件;
k 1
称 Ak 为可列个事件 A1, A2,的积事件.
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规 律性的一门基础学科。
概率论与数理统计
对随机现象进行的观察或实验称为试验。 若一个试验具有下列三个特点： （1）在相同条件下可重复进行。
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可 以知道试验的所有可能结果。
（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个 结果。
A AB AB, B BA B A,
A B ( AB) ( AB) ( AB),
AA B
B
S
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有 (1) 交换律 A B B A, AB BA.
(2) 结合律 ( A B) C A (B C ), ( AB)C A(BC ).
P( AC ) P(BC ) 0, P( AB) 1 ,求A, B,C都不发生 6
的概率.
概率论与数理统计
定义1.4
设随机试验E满足如下条件: (1) 试验的样本空间只有有限个样本点，即 (2) 每个样本点的发生是等可能的，即 则称试验为古典概型，也称为等可能概型。
古典概型 中事件A 的概率计算公式为
3. 事件 A 与 B 的并(和事件)
事件 A B { x x A 或 x B}称为事件 A 与 事件B的和事件. 即，事件A、B至少有一个发生.
B AB A
S
n
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1, A2 ,, An 的和事件; k 1 称 Ak 为可列个事件 A1, A2 ,的和事件. k 1
Ai
)
（4） (减法公式) 对任意事A,B,则有
P(B A) P(B) P( AB) P( A B) P( A) P( AB) 特别地，当A B时，P(B A) P(B) P( A)
P(B) P( A)
证 知 B ( AB) (B A)
且 ( AB)(B A)
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊 （Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.
实验者 德·摩根 蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n 2048 4040 12000 24000
k 1061 2048 6019 12012
f 0.5181 0.5069 0.5016 0.5006
则把这一试验称为随机试验，常用E表示。
概率论与数理统计
2. 样本空间与随机事件
随机事件（简称事件）： 在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。 通常用大写字母A、B,…表示。
基本结果： （1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。 （2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。
设试验 E 的样本空间为S, 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 S 的子集.
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
则称事件 B 包含事件 A, 记作 B A 或 A B.
AB S
2. A等于B 若事件 A 包含事件 B， 而且事件 B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B.
(3) 分配律 ( A B) C ( A C ) (B C ) AC BC, ( A B) C ( A C) (B C) ( A C)(B C).
(4)德 摩根律: A B A B, A B A B.
(5)A B A AB AB, B A B BA B A,
BB A AB A S
故 P(B) P(B A) P( AB)
（5）（加法公式）对于任意两个事件A,B有
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
推广：P(A B C) P(A) P(B) P(C)
P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)
i 1
i 1
则称 P( A) 为事件 A 的概率.
三、概率的性质
（1）不可能事件的概率为零,即 P() 0；
（2）设A为A的对立事件，则P( A) 1 P( A)；
（3）（有限可加性）若事件 A1, A2 ,, An 两 两互不相容,则有
n
n
P
(

i 1
Ai
)


i 1
P
(
概率论与数理统计（第3版）
普通高等教育“十三五”规划教材
第1章 概率论的基本概念
目录 CONTENTS
第1节 样本空间、随机事件 第2节 概率、古典概型 第3节 条件概率、全概率公式 第4节 独立性
01
第1节 样本空间、随机事件
概率论与数理统计
1. 随机实验
在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不 能预测是哪一种结果的现象称随机现象。
例 2 已知 P( A) 0.3 ，P(B) 0.25 ，P( AB) 0.1 ,求：
（1）P( A B); （3）P( AB);
(2)P( A B), P(B A) ; (4) P(( A B) (B A))
例3 设随机事件 A, B，C, P( A) P(B) P(C ) 1 , 5
概率论与数理统计
样本空间：
随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。
随机事件中有两个极端情况：
•每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。
•每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。
必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
3. 事件间的关系及其运算
二、分房问题(球在盒中的分布问题)
例 将张三, 李四, 王五3人等可能地分配到三间房中 去,试求每个房间恰有一人的概率.
Hale Waihona Puke Baidu
解: E:将三人等可能地分配到三间房中去.
k 1
5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥)
若事件 A 、 B 不出现不能同时发生，则称 事件 A与B互不相容, 即 A B AB （空事件）.
A
B
S
推广（完备事件组）：n个事件 A1, A2 ,, An 两两互不相容，
n
即Ai Aj , i j,且 Ak S,称A1 , A2 , , An 为一个完备 k 1
P( A1 )

3 8
（2）由于 A2 {TTT },于是有
P( A2
)

1
P(
A2
)

1
1 8

7 8
一、 摸球问题 (产品的随机抽样问题 )
注 意:
从产品中任抽一件进行检验之后放回原产品 中,再抽一件进行检验,以至进行数次,这种抽取产 品的方式叫有放回抽样,若每次抽取的产品都不放 回原产品中,则叫无放回抽样.
对立
和事件、积事件与差事件的运算性质
A A A, A S S, A A, A A S,
A A A, A S A, A . A A ,
S A A, A B A AB AB, B A B BA B A,
例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现; (6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现; (8) 三个事件至少有两个出现; (9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰好有两个出现.
例 将一枚硬币抛掷三次.(1)设事件A1为“恰有一 次出现正面”,求P(A1);(2)设事件A2为“至少有一次 出现正面”,求P(A2) .
解 （1）样本空间为
S {HHH, HHT, HTH,THH, HTT ,THT ,TTH ,TTT}
而
A1 {HTT ,THT ,TTH }
故 n=8,k=3,于是
n
n
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn

P(Ai Aj Ak ) (1)n1 P(A1A2 An )
1i jkn
上述公式有时又被称为多除少补原理。
例1 设随机事件A, B的概率P( A) 0.4, P(B) 0.3 求下列情况下P( AB)的值 : (1)A, B互不相容;(2)B A;(3)P( AB) 0.12