2019长春中考数学压轴题详细解析

2019长春中考压轴题分析

已知函数y= （1）当n=5，

①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值． ②求此函数的最大值．

（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，求n 的取值范围． 解：

（1） ①当n=5时，y=

∵4＜5，∴b=-12（-42+5×4+5）=9

2

②将函数解析式化为顶点式得y=

当x ≥5时，x=5取最大值y=5. 当x ＜5时，x=52时y 取最大值458 ∴此时函数最大值为45

8

（2） 由y=得两抛物线对称轴为x=n

2，开口均向下，

抛物线图像分成左右两部分，当n 增大时，图像从左到右移动，x=n 的右侧图像先与线段AB 有交点，临界点是A 点落在抛物线y=-x ²+nx+n(x≥n)上把A （2，2）代入解析

式中得n=2，n 增大，直到x=n 左侧抛物线y=-12x ²+n 2x+n 2 (x ＜n)与A(2,2)相交,此时n=8

3

所以2

≤n ＜8

3

n 增大

n 继续增大，x=n 右侧图像过B （4，2）时n=15

8，n 继续增大抛物线y=-x ²+nx+n(x≥n)与线段AB 无交点，x=n 左侧图像有线段AB 有1交点，直到左侧图像y=-1

2x ²+n

2x+n

2 (x ＜n)过B （4.2）点，此时n=4，所以15

8＜n ≤4 综上所述n 的取值范围是2≤n ＜8

3

或158＜n ≤4。

（3）

作直线y=4和y=-4，找两直线与抛物线有4交点的情况，n 从小到大考虑 n ＜0时

① 两抛物线对称轴在x=n 右侧（n ＜n

2

）

y=-x ²+nx+n(x≥n)抛物线最高点是x=n 2时，y=n ²

4+n 。x=n 时y=n

y=-1

2

x ²+n

2

x+n

2

(x ＜n)抛物线最高点是x=n 时，y=n

2

＞y=n （x=n 时蓝线在上） n 足够小时抛物线与y=4和y=-4有4个交点

当n 增大y=n

2=-4时n=-8，所以n ≤-8满足题意。

n 增大

②n 继续增大，抛物线与y=±4有5个交点，直到抛物线y=-x ²+nx+n(x≥n)顶点纵坐标y=n ²

4+n=4时n=-2-2√5 （取n ＜0）此时有4个交点，n 继续增大有3个交点

∴n ＜0时 n ≤-8 或 n= n=-2-2√5满足题意。

n ＞0时

③两抛物对称轴在直线x=n 左侧（n

2＜n ）

y=-x ²+nx+n(x≥n)抛物线最高点是x=n 时y=n

y=-1

2x ²+n

2x+n

2 (x ＜n)抛物线最高点是x=n

2时，y=n ²8+n

2。x=n, y=n

2

当n 足够大时，y=n ＞4，y=n

2＞4如图，满足题意，n 减小过程中y=n

2=4为临界点此时n=8，所以n ≥8满足题意

④n 继续减小，抛物线与直线y=±4有5个交点，直到抛物线最高点y=n=4或y=n ²8

+n

2

=4 得n=4

n 继续减小，抛物线与直线y=±4有2个交点

综上，n ＜0时 n ≤-8 或 n=-2-2√5，n ＞0时n ≥8或n=4