哈密顿算符运算原理
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在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁 场有关的问题。
例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等， 都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以 电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、 X射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共 同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实 验都有重大的意义。
近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot
A
0
称为无旋场。
3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem）
LA ds ( A) ds
s
它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合
曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。
§0-4 正交曲线坐标系中 运算
的表达式
Expression of Operation on
y为常数平面
y
x x为常数平面
a) 笛卡儿坐标
x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
A
Ax
Ay
Az
x y z
ex ey ez A x y z
Ax Ay Az
2 2 2 2
x 2 y 2 z 2
r r r r 2 2 z 2
2
A
(
2
A)
r
er
(
2
A)
e
(
2
A)
z
ez
将
2A
(
A) (
A)
应用于圆柱坐标可得：
(2 A)r
2 Ar
Ar r2
2 r2
A
(2 A)
2 A
A r2
2 r2
Ar
(2 A)z 2 Az
c) 球坐标系
称为dN矢量vv通c过os面d元sds的v通 d量s。
nˆ
对于有向曲面s，总可以
将s分成许多足够小的面元ds，
v
θ
于是通过
ds
曲面s的通量N即为每一面元通量之积
N
v
ds
s
对于闭合曲面s，通量N为
N v ds
s
2、散度
设封闭曲面s所包围A的 d体s积/ 为VV，则
s
就是矢量场 A(x)在V中单位体积的平均通量，或者
Hale Waihona Puke 电动力学Electrodynamics
主讲教师 石东平（教授、硕士）
引言
Introduction
电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规 律以及它和带电物质之间的相互作用。
电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要 从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’s equations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射 及电动力学的参考系问题。
2、方向导数
方向导数是标量函数(x在) 一点处沿任意方向
对l
距离的变化率，它的数值与所取 的l方向有关，
一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但
它并不是矢量。如图所示， l为l 场Pl 中的任意方向，P1
是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的
一点。
P2
l
P1
为l p2和p1之间的距离，从p1沿 l到p2的增量为
e2 h1h3
x3
(h1 A1)
x1
(h3 A3 )
e3 h1h2
x1
(h2 A2 )
x2
(h1 A1)
2
1 h1h2h3
x1
( h2h3 h1
)
x1
x2
( h3h1 h2
x2
)
x3
( h1h2 h3
x3
)
其中 e1, e2 , e3 为正交曲线坐标系的基矢；
(
1 h2
x2
e3
1 h3
x3
A
1 h1h2 h3
x1
(h2 h3 A1 )
x2
(h3h1 A2 )
x3
(h2 h1 A3 )
A
1
h1e1
h2e2
h3e3
h1h2h3 x1 x2 x2
h1 A1 h2 A2 h3 A3
e1 h2 h3
x2
(h3 A3 )
x3
(h2 A2 )
2
A
(
2
Ax
)e x
(
2
Ay
)e y
(
2
Az
)e z
b) 圆柱坐标系
坐标变量: x1= r x2=φ x3= z
与笛卡儿坐标的关系：
x=rcosφ y=rsinφ
z= z
x
z
z为常数平面
ez
e
y
φ r er
r为常数平面
拉梅系数: h1=1 h2=r φ为常数平面
h3=1
er
r
e
n p1
cos
l
n
该式表明：
cos
nˆ
l
grad
l
l
n n
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投 影。
梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 ( x)
在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。
4、算符（哈密顿算符）
算符既具有微分性质又具有方向性质。在任
意方向l 上移动线元距离dl， 的增量d 称为方向微
A
0，表示该点有散发通量
的当正div源A； 当0 ，div表A示该0 点，为表无示源该场点。有吸收通量的负源；
3、高斯定理
A ds AdV
s
V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围
体积的体积分，反之亦然。
§0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理
Rotation of Vector Field, Stoke’s Theorem
本章主要内容
标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二阶微分算符 格林定理
§0-1 标量场的梯度， 算符
Gradient of Scalar Field,
Operator
1、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
若下列极限
( p2 ) ( p1 )
lim lim ( p2 ) ( p1)
l0 l l0
l
存在，则该极限值记作(x，) 称之为标量场 沿 的方l向导数。 3、梯度
在l pPl 1处
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 (x在) 一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过
该点沿某一确定方向取得(x在) 该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。记作
分，即
d
dl
dl
l
显然，任意两点值差为
B
B A
dl
A
§0-2 矢量场的散度 高斯定理
Divergence of Vector Field, Gauss’s Theorem
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量
场 v方向通过ds的流量是dN，而dN是以ds为底，以
v cosθ为高的斜柱体的体积，即
x1
,
x2
,
x3
)
是一个标量函数；
A
A(x1,
x2 ,
x3 )
A1e1
A2e2
A3e3
量函数，只有在笛卡儿坐标系中， 2 A (
是一个矢
2
A)1
e1
(2
A)2
e2
(2
A)3
e3
，在其它正交坐标系中
(2 A)i 2 Ai
3、不同坐标系中的微分表达式
z
ez
p ey ex
(x,y,z)
表上c示p11l过点p法2线点方的向任单一位方矢向量。。它指向
显见， 当p1 p2 0 , p1 p0 0时 ,
p1 p2
p1 p0
cos
.
所以 即
lim ( p2 ) ( p1)
l P1
p1 p0 0
p1 p2
cos lim ( p0 ) ( p1)
p1 p0
p1 p0
cos
Preliminary Knowledge — Revise in the Vector Field Theory
本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概 念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者 之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算 和算符 运算的重要公式。
学习电动力学课程的主要目的是：
1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和 时空概念的理解；
2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的 初步能力，为以后解决实际问题打下基础；
3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更 深刻领会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主义 的世界观。
学习电动力学课程的主要意义是：
r
ez
z
u
er
u r
e
1 r
u
ez
u z
A
1 r
r
(rAr
)
1 r
A
Az z
1 r
er
e
1 r
ez
A
r z
Ar rA Az
(1 Az
r
A z
)er
( Ar z
Az r
)e
1
r
r
(rA
)
1 r
Ar
ez
2u 1 (r u ) 1 2u 2u
郭硕鸿 电动力学 高等教育出版社 第二版
学习参考书
1、经典电动力学，蔡圣善、朱耘 编著 复旦大学出版社
2、电动力学，吴寿煌，丁士章 编 西安交通大学出版社
3、Classical Electrodynamics，J.D.Jackson (经典电动力学 J.D.杰克逊 著） 人民教育出版社
第0 章
预备知识—矢量场论复习
xi
xi
xi
(i 1,2,3)
称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三 个拉梅系数h1, h2, h3来描述。 2、哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算 符 2 在正交曲线坐标系下的一般表达式
e1
1 h1
x1
e2
1 h2
x2
e3
1 h3
x3
e1
1 h1
x1
e2
Orthogonal Curvilinear CoOrdinates System
1、度量系数
设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的 正交曲线坐标，长度元的平方表示为
其中
dl2 dx2 dy2 dz2 h12dx12 h22dx22 h32dx32
hi
( x )2 ( y )2 ( z )2
grad nˆ
n
称之为(x在) 该点的梯度（grad 是gradient 缩写），
它是一个矢量，其大小
|
grad
|
n
， (其l方)max
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 nˆ
表示。
方向导数与梯度的关系：
p
nˆ
0
θ
p
p2
l
1
等值面 等值面 c2
c1
nˆ是等值面
增长 的方向。
1、矢量场 的环流
在数学上，将矢量场 A(x沿) 一条有向闭合曲线L
（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分
c LA dl
称为 A沿该曲线L的循环量或流量。
2、旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么
以渐减闭小合，曲线一L般为说界来的，面这积两者S逐的渐比缩值小有，一L极A限dl值也，将记逐
平均发散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积V 向 其内某点M (x) 收缩时，若平均发散量的极限值存在，
便记作
A ds
divA A lim s
V 0 V
称为矢量场 A(x) 在该点的散度(div是divergence的缩 写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场
发散的强弱程度，当div
学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣带渐宽 终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天涯路”， 站得高，看得远。
电
第0章 绪论及数学准备
动
第1章 电磁现象的普遍规律 第2章 静电场
力
第3章 静磁场
学
第4章 电磁波的传播
第5章 电磁波的辐射
目
录
第6章 狭义相对论
课程类型：物理学、应用物理学本科生限选课 学时学分：72学时，4学分 先修要求：普通物理电磁学，数学物理方程
要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和 刻苦的学习作风。
电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解 上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这 些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树 木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数 学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容 进行推导，并明确它们的物理意义和图象。
课 基本目的： 程 1. 学习处理电磁问题的一般理论和方法
2. 学习狭义相对论的理论和方法
简 内容提要： 介 1．电磁场的基本规律
2．静电问题和静磁问题 3．电磁波的辐射和传播 4．狭义相对论的概念和理论的数学形式
成绩评定： 考试（70%），作业（10%）, 学业小论文（半期测验）（20%）。
教材
作
lim LA dl
s0 s
即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状
无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方
向 nˆ ，且通常L的正方向与 nˆ 规定要构成右手螺旋法
则，为此定义
rotA A
lim
LA dl
nˆ
s0 s
称为矢量场 A(x) 的旋度（rot是rotation缩写）。
旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附
例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等， 都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以 电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、 X射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共 同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实 验都有重大的意义。
近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot
A
0
称为无旋场。
3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem）
LA ds ( A) ds
s
它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合
曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。
§0-4 正交曲线坐标系中 运算
的表达式
Expression of Operation on
y为常数平面
y
x x为常数平面
a) 笛卡儿坐标
x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
A
Ax
Ay
Az
x y z
ex ey ez A x y z
Ax Ay Az
2 2 2 2
x 2 y 2 z 2
r r r r 2 2 z 2
2
A
(
2
A)
r
er
(
2
A)
e
(
2
A)
z
ez
将
2A
(
A) (
A)
应用于圆柱坐标可得：
(2 A)r
2 Ar
Ar r2
2 r2
A
(2 A)
2 A
A r2
2 r2
Ar
(2 A)z 2 Az
c) 球坐标系
称为dN矢量vv通c过os面d元sds的v通 d量s。
nˆ
对于有向曲面s，总可以
将s分成许多足够小的面元ds，
v
θ
于是通过
ds
曲面s的通量N即为每一面元通量之积
N
v
ds
s
对于闭合曲面s，通量N为
N v ds
s
2、散度
设封闭曲面s所包围A的 d体s积/ 为VV，则
s
就是矢量场 A(x)在V中单位体积的平均通量，或者
Hale Waihona Puke 电动力学Electrodynamics
主讲教师 石东平（教授、硕士）
引言
Introduction
电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规 律以及它和带电物质之间的相互作用。
电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要 从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’s equations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射 及电动力学的参考系问题。
2、方向导数
方向导数是标量函数(x在) 一点处沿任意方向
对l
距离的变化率，它的数值与所取 的l方向有关，
一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但
它并不是矢量。如图所示， l为l 场Pl 中的任意方向，P1
是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的
一点。
P2
l
P1
为l p2和p1之间的距离，从p1沿 l到p2的增量为
e2 h1h3
x3
(h1 A1)
x1
(h3 A3 )
e3 h1h2
x1
(h2 A2 )
x2
(h1 A1)
2
1 h1h2h3
x1
( h2h3 h1
)
x1
x2
( h3h1 h2
x2
)
x3
( h1h2 h3
x3
)
其中 e1, e2 , e3 为正交曲线坐标系的基矢；
(
1 h2
x2
e3
1 h3
x3
A
1 h1h2 h3
x1
(h2 h3 A1 )
x2
(h3h1 A2 )
x3
(h2 h1 A3 )
A
1
h1e1
h2e2
h3e3
h1h2h3 x1 x2 x2
h1 A1 h2 A2 h3 A3
e1 h2 h3
x2
(h3 A3 )
x3
(h2 A2 )
2
A
(
2
Ax
)e x
(
2
Ay
)e y
(
2
Az
)e z
b) 圆柱坐标系
坐标变量: x1= r x2=φ x3= z
与笛卡儿坐标的关系：
x=rcosφ y=rsinφ
z= z
x
z
z为常数平面
ez
e
y
φ r er
r为常数平面
拉梅系数: h1=1 h2=r φ为常数平面
h3=1
er
r
e
n p1
cos
l
n
该式表明：
cos
nˆ
l
grad
l
l
n n
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投 影。
梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 ( x)
在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。
4、算符（哈密顿算符）
算符既具有微分性质又具有方向性质。在任
意方向l 上移动线元距离dl， 的增量d 称为方向微
A
0，表示该点有散发通量
的当正div源A； 当0 ，div表A示该0 点，为表无示源该场点。有吸收通量的负源；
3、高斯定理
A ds AdV
s
V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围
体积的体积分，反之亦然。
§0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理
Rotation of Vector Field, Stoke’s Theorem
本章主要内容
标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二阶微分算符 格林定理
§0-1 标量场的梯度， 算符
Gradient of Scalar Field,
Operator
1、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
若下列极限
( p2 ) ( p1 )
lim lim ( p2 ) ( p1)
l0 l l0
l
存在，则该极限值记作(x，) 称之为标量场 沿 的方l向导数。 3、梯度
在l pPl 1处
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 (x在) 一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过
该点沿某一确定方向取得(x在) 该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。记作
分，即
d
dl
dl
l
显然，任意两点值差为
B
B A
dl
A
§0-2 矢量场的散度 高斯定理
Divergence of Vector Field, Gauss’s Theorem
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量
场 v方向通过ds的流量是dN，而dN是以ds为底，以
v cosθ为高的斜柱体的体积，即
x1
,
x2
,
x3
)
是一个标量函数；
A
A(x1,
x2 ,
x3 )
A1e1
A2e2
A3e3
量函数，只有在笛卡儿坐标系中， 2 A (
是一个矢
2
A)1
e1
(2
A)2
e2
(2
A)3
e3
，在其它正交坐标系中
(2 A)i 2 Ai
3、不同坐标系中的微分表达式
z
ez
p ey ex
(x,y,z)
表上c示p11l过点p法2线点方的向任单一位方矢向量。。它指向
显见， 当p1 p2 0 , p1 p0 0时 ,
p1 p2
p1 p0
cos
.
所以 即
lim ( p2 ) ( p1)
l P1
p1 p0 0
p1 p2
cos lim ( p0 ) ( p1)
p1 p0
p1 p0
cos
Preliminary Knowledge — Revise in the Vector Field Theory
本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概 念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者 之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算 和算符 运算的重要公式。
学习电动力学课程的主要目的是：
1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和 时空概念的理解；
2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的 初步能力，为以后解决实际问题打下基础；
3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更 深刻领会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主义 的世界观。
学习电动力学课程的主要意义是：
r
ez
z
u
er
u r
e
1 r
u
ez
u z
A
1 r
r
(rAr
)
1 r
A
Az z
1 r
er
e
1 r
ez
A
r z
Ar rA Az
(1 Az
r
A z
)er
( Ar z
Az r
)e
1
r
r
(rA
)
1 r
Ar
ez
2u 1 (r u ) 1 2u 2u
郭硕鸿 电动力学 高等教育出版社 第二版
学习参考书
1、经典电动力学，蔡圣善、朱耘 编著 复旦大学出版社
2、电动力学，吴寿煌，丁士章 编 西安交通大学出版社
3、Classical Electrodynamics，J.D.Jackson (经典电动力学 J.D.杰克逊 著） 人民教育出版社
第0 章
预备知识—矢量场论复习
xi
xi
xi
(i 1,2,3)
称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三 个拉梅系数h1, h2, h3来描述。 2、哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算 符 2 在正交曲线坐标系下的一般表达式
e1
1 h1
x1
e2
1 h2
x2
e3
1 h3
x3
e1
1 h1
x1
e2
Orthogonal Curvilinear CoOrdinates System
1、度量系数
设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的 正交曲线坐标，长度元的平方表示为
其中
dl2 dx2 dy2 dz2 h12dx12 h22dx22 h32dx32
hi
( x )2 ( y )2 ( z )2
grad nˆ
n
称之为(x在) 该点的梯度（grad 是gradient 缩写），
它是一个矢量，其大小
|
grad
|
n
， (其l方)max
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 nˆ
表示。
方向导数与梯度的关系：
p
nˆ
0
θ
p
p2
l
1
等值面 等值面 c2
c1
nˆ是等值面
增长 的方向。
1、矢量场 的环流
在数学上，将矢量场 A(x沿) 一条有向闭合曲线L
（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分
c LA dl
称为 A沿该曲线L的循环量或流量。
2、旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么
以渐减闭小合，曲线一L般为说界来的，面这积两者S逐的渐比缩值小有，一L极A限dl值也，将记逐
平均发散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积V 向 其内某点M (x) 收缩时，若平均发散量的极限值存在，
便记作
A ds
divA A lim s
V 0 V
称为矢量场 A(x) 在该点的散度(div是divergence的缩 写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场
发散的强弱程度，当div
学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣带渐宽 终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天涯路”， 站得高，看得远。
电
第0章 绪论及数学准备
动
第1章 电磁现象的普遍规律 第2章 静电场
力
第3章 静磁场
学
第4章 电磁波的传播
第5章 电磁波的辐射
目
录
第6章 狭义相对论
课程类型：物理学、应用物理学本科生限选课 学时学分：72学时，4学分 先修要求：普通物理电磁学，数学物理方程
要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和 刻苦的学习作风。
电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解 上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这 些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树 木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数 学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容 进行推导，并明确它们的物理意义和图象。
课 基本目的： 程 1. 学习处理电磁问题的一般理论和方法
2. 学习狭义相对论的理论和方法
简 内容提要： 介 1．电磁场的基本规律
2．静电问题和静磁问题 3．电磁波的辐射和传播 4．狭义相对论的概念和理论的数学形式
成绩评定： 考试（70%），作业（10%）, 学业小论文（半期测验）（20%）。
教材
作
lim LA dl
s0 s
即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状
无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方
向 nˆ ，且通常L的正方向与 nˆ 规定要构成右手螺旋法
则，为此定义
rotA A
lim
LA dl
nˆ
s0 s
称为矢量场 A(x) 的旋度（rot是rotation缩写）。
旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附