中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题及答案

∠ ABD=2∠ BDN，AC= ，BN= ，tan∠ ABC= ，求 BF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24. 【解析】 试题分析：（1）易证 OH 为△ ABC 的中位线，可得 AC=2OH；（2）∠ APB=∠ PAC+∠ ACP， ∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD，又∵ ∠ PAC =∠ BCD，可证∠ ACD=∠ APB；（3）连接 AO 延长交于
∵ tan∠ ABC= ，∴
，∴
，
∴
，∵ ∠ BNQ=∠ QHD=90°，
∴ ∠ ABC=∠ QDH，∵ OE=OD， ∴ ∠ OED=∠ QDH，∵ ∠ ERG=90°，∴ ∠ OED=∠ GBN，∴ ∠ GBN=∠ ABC，∵ AB⊥ED，
∴ BG=BQ= ，GN=NQ= ，
∵ ∠ ACI=90°，tan∠ AIC=tan∠ ABC= ，∴ AI=25， 设 QH=x，∵ tan∠ ABC=tan∠ ODE= ，∴
∴ △ DOC∽ △ BCA，
∴ AC AB BC ， OC CD OD
∴ 6 10 8 ， 3 CD OD
∴ CD=5（cm），OD=4（cm），
∵ PB=t，PE⊥AB，
易知：PE= 3 t，BE= 5 t，
4
4
当点 E 在∠ BAC 的平分线上时，
∵ EP⊥AB，EC⊥AC，
∴ PE=EC，
（2）根据（1）结论得到 AD=BD=BC，根据 AD+DC 表示出 AC，由（1）两三角形相似得比
例求出 x 的值即可；
（3）过 B 作 BE 垂直于 AC，交 AC 于点 E，在直角三角形 ABE 和直角三角形 BCE 中，利用
锐角三角函数定义求出 cos36°与 cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．
度，最后利用 tan∠ OED= 即可求得 RG 的长度，最后由垂径定理可求得 BF 的长度．
试题解析：（1）在⊙O 中，∵ OD⊥BC，∴ BH=HC，∵ 点 O 是 AB 的中点，∴ AC=2OH； （2）在⊙O 中，∵ OD⊥BC，∴ 弧 BD=弧 CD，∴ ∠ PAC=∠ BCD，∵ ∠ APB=∠ PAC+∠ ACP， ∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD，∴ ∠ ACD=∠ APB；（3）连接 AO 延长交于⊙O 于点 I，连接 IC，AB 与 OD 相交于点 M，连接 OB， ∵ ∠ ACD﹣∠ ABD=2∠ BDN，∴ ∠ ACD﹣∠ BDN=∠ ABD+∠ BDN，∵ ∠ ABD+∠ BDN=∠ AND， ∴ ∠ ACD﹣∠ BDN=∠ AND，∵ ∠ ACD+∠ ABD=180°，∴ 2∠ AND=180°，∴ ∠ AND=90°，
8
5 4
t
3 5
t
1 2
3
8
5 4
t
= 8 t2 15 t 16(0 t 5) ． 33
（3）存在．
∵
S
8 3
t
5 2
2
68 3
(0
t
5) ，
∴ t= 5 时，四边形 OPEG 的面积最大，最大值为 68 ．
2
3
（4）存在．如图，连接 OQ．
∵ OE⊥OQ，
∴ ∠ EOC+∠ QOC=90°，
∵ BD=CD，
∴ E 为 CD 中点，即 DE=CE= 1 5 ， 4
在
Rt△
ABE
中，cosA=cos36°=
AE
1
1 4
5
AB 1 5 1
2
5 1， 4
1 5
在 Rt△ BCE 中，cosC=cos72°= EC 4 1 5 ，
BC 1
4
则 cos36°-cos72°= 5 1 - 1 5 = 1 ．
中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题及答案
一、直角三角形的边角关系
1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥ CD， ∠ ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂 直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出 发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥ AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP， EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
(2)若 = ，且 OC=4，求 PA 的长和 tan D 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3 ，tan D= . 【解析】 试题分析: （1）连接 OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP 是线段 AB 的垂直平 分线，进而可得：PA=PB，然后证明△ PAO≌ △ PBO，进而可得∠ PBO=∠ PAO，然后根据切 线的性质可得∠ PBO=90°，进而可得：∠ PAO=90°，进而可证：PA 是⊙O 的切线；
，∴ GD=GN+ND=
,∴ EG=ED﹣GD= ，
∵ tan∠ OED= ，∴
，
∴ EG= RG，∴ RG= ，∴ BR=RG+BG=12,∴ BF=2BR=24．
考点：1 圆；2 相似三角形；3 三角函数；4 直角三角形.
5．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°，∠ B=60°，BC=16cm，AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 D，BE=1cm．点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动，以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH．点 M 到达点 D 时停止运动，点 N 到达点 C 时停止运动．设运动时间为 t（s）． （1）当 t 为何值时，点 G 刚好落在线段 AD 上？ （2）设正方形 MNGH 与 Rt△ ABC 重叠部分的图形的面积为 S，当重叠部分的图形是正方形 时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围． （3）设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连接 DP，当 t 为何值时， △ CPD 是等腰三角形？
可解决问题．
【详解】
（1）在 Rt△ ABC 中，∵ ∠ ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴ AC= 102 82 =6（cm），
∵ OD 垂直平分线段 AC， ∴ OC=OA=3（cm），∠ DOC=90°， ∵ CD∥ AB，
∴ ∠ BAC=∠ DCO，
∵ ∠ DOC=∠ ACB，
4
42
【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角
形．
3．如图，PB 为☉ O 的切线，B 为切点，过 B 作 OP 的垂线 BA，垂足为 C，交☉ O 于点 A， 连接 PA，AO.并延长 AO 交☉ O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D．
(1)求证：PA 是☉ O 的切线；
∴ 3 t=8- 5 t， 44
∴ t=4．
∴ 当 t 为 4 秒时，点 E 在∠ BAC 的平分线上．
（2）如图，连接 OE，PC．
S 四边形 OPEG=S△ OEG+S△ OPE=S△ OEG+（S△ OPC+S△ PCE-S△ OEC）
=
1 2
4
4 5
t
3
1 2
3
8
4 5
t
1 2
，
∴ AE=2OA=4 ，OB=OA=2 ， 在 Rt△ APO 中，∵ AC⊥OP，∴ AC2=OC PC，解得：PC=9，∴ OP=PC+OC=13，
在 Rt△ APO 中，由勾股定理得：AP=
=3 .
易证
，所以
,解得
，
则
，在
中，
.
考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．
（2）连接 BE，由
，且 OC=4，可求 AC，OA 的值，然后根据射影定理可求 PC 的
值，从而可求 OP 的值，然后根据勾股定理可求 AP 的值．
试题解析：（1）连接 OB，则 OA=OB，
∵ OP⊥AB，∴ AC=BC， ∴ OP 是 AB 的垂直平分线，∴ PA=PB，
在△ PAO 和△ PBO 中，∵
∵ ∠ QOC+∠ QOG=90°，
∴ ∠ EOC=∠ QOG，
∴ tan∠ EOC=tan∠ QOG，
∴ EC GQ ， OC OG
8 5t 3t
∴
4 5 ， 3 44t
5
整理得：5t2-66t+160=0，
解得 t 16 或 10（舍弃） 5
∴ 当 t 16 秒时，OE⊥OQ． 5
【点睛】
⊙O 于点 I，连接 IC，AB 与 OD 相交于点 M，连接 OB，易证∠ GBN=∠ ABC，所以 BG=BQ.
在 Rt△ BNQ 中，根据 tan∠ ABC= ，可求得 NQ、BQ 的长.利用圆周角定理可求得 IC 和 AI
的长度，设 QH=x，利用勾股定理可求出 QH 和 HD 的长度，利用垂径定理可求得 ED 的长
【答案】（1） t=4s ；（2） S四边形PEGO
3t2 8
15 t 8
6
， (0
t
5) ；（3） t
5 2
时，
Hale Waihona Puke Baidu
S四边形PEGO
取得最大值；（4）
t
16 5
时，
OE
OQ
.
【解析】
【分析】
（1）当点 E 在∠ BAC 的平分线上时，因为 EP⊥AB，EC⊥AC，可得 PE=EC，由此构建方程
即可解决问题．
∴ AD=BD=CD=1，
设 CD=x，则有 AB=AC=x+1，
∵ △ ABC∽ △ BCD，
∴ AB BC ，即 x 1 1 ，
BD CD
1x
整理得：x2+x-1=0，
解得：x1= 1 5 ，x2= 1 5 （负值，舍去），
2
2
则 x= 1 5 ； 2
（3）过 B 作 BE⊥AC，交 AC 于点 E，
，∴ △ PAO≌ △ PBO（SSS）
∴ ∠ PBO=∠ PAO，PB=PA，
∵ PB 为⊙O 的切线，B 为切点，∴ ∠ PBO=90°，∴ ∠ PAO=90°，即 PA⊥OA，
∴ PA 是⊙O 的切线；
（2）连接 BE，
∵
，且 OC=4，∴ AC=6，∴ AB=12，
在 Rt△ ACO 中，由勾股定理得：AO=
（2）根据 S 四边形 OPEG=S△ OEG+S△ OPE=S△ OEG+（S△ OPC+S△ PCE-S△ OEC）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．
（4）证明∠ EOC=∠ QOG，可得 tan∠ EOC=tan∠ QOG，推出 EC GQ ，由此构建方程即 OC OG
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函
数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
2．如图，等腰△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=36°，BC=1，点 D 在边 AC 上且 BD 平分∠ ABC， 设 CD=x． （1）求证：△ ABC∽ △ BCD； （2）求 x 的值； （3）求 cos36°-cos72°的值．
【答案】(1)证明见解析；（2） 1 5 ；（3） 7 5 8 ．
2
16
【解析】
试题分析：（1）由等腰三角形 ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由 BD 为角平分线
求出∠ DBC 的度数，得到∠ DBC=∠ A，再由∠ C 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得
到三角形 ABC 与三角形 BCD 相似；
试题解析：（1）∵ 等腰△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=36°，
∴ ∠ ABC=∠ C=72°，
∵ BD 平分∠ ABC，
∴ ∠ ABD=∠ CBD=36°，
∵ ∠ CBD=∠ A=36°，∠ C=∠ C，
∴ △ ABC∽ △ BCD；
（2）∵ ∠ A=∠ ABD=36°，
∴ AD=BD，
∵ BD=BC，
4．已知：△ ABC 内接于⊙O，D 是弧 BC 上一点，OD⊥BC，垂足为 H． （1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证：AC=2OH； （2）如图 2，当圆心 O 在△ ABC 外部时，连接 AD、CD，AD 与 BC 交于点 P，求证： ∠ ACD=∠ APB； （3）在（2）的条件下，如图 3，连接 BD，E 为⊙O 上一点，连接 DE 交 BC 于点 Q、交 AB 于点 N，连接 OE，BF 为⊙O 的弦，BF⊥OE 于点 R 交 DE 于点 G，若∠ ACD﹣
，∴ IC=
，∴ 由勾股定理可求得：
，∴ HD=2x，∴ OH=OD﹣HD=
，
BH=BQ+QH=
，
∵ OB2=BH2+OH2，∴
，解得：
，当 QH=
时，∴ QD= ， ∴ ND= ，∴ MN= ，MD=15,∵ 时，∴ QD=
，∴ QH= 不符合题意，舍去，当 QH=
∴ ND=NQ+QD= ，ED=