15量子物理基础(2-4)

a sin ( 2k 1)

2
a sin k
k 1.2.3
明纹
暗纹
1、 位置的不确定程度 我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不 确定程度。 电子在单 用单缝来确定电子在穿过单缝 缝的何处 时的位置 通过是不 确定的! 只知是在 宽为a的 的缝中通 过. U 结论:电子在单缝处的位置 不确定量为：
解：利用归一化条件

( x 0, x a) (0 x a )

( x )
2
dx
a
0
2 A a 2 A sin dx 1 a 2
2 x
A
2 a
0 2 w 2 2 x sin a a
( x 0, x a) (0 x a )
例如：电子经加速电势差 U加速后
1 2 即： m0v eU 2
2eU v m0
所以电子的德布罗意波长为：

h 12.3 0 ( A) 2m0 eU U
1A
0
当：U 150V
1929诺贝尔物理学奖

L.V.德布罗意， 法国物理学家 电子波动性的理论研究

二、物质波的实验验证
(2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的 速率运动,求其波长 若 m=0.1g 的小球速率
vm v
q BR vm v m
h h 1 h m 则 ：m mvm m v m q BR h m 6.64 10 27 34 6 . 64 10 m 3 q BR m 0.1 10
二、薛定谔方程 1、薛定谔方程 (并不是理论推导) 一维自由粒子的波函数
( x , t ) Ae
i ( Et px )
p 2 2 x
2 2
i E t
对于非相对论粒子 E p 2 2m
2 2 ( x , t ) ( x , t ) i 2 2m x t
2）但它们的总能量是不相同的。电子的总能量大于 光子的能量。
光子的能量：
hc hv pc
Ee
电子的总能量： E e
(cp ) 2 ( m0 c 2 ) 2
例1: 、粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场 中沿半径为R=0.83cm的轨道作圆周运动.试求: (1) 粒子德布罗意波长; (2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的速率 运动,则其波长为多少? (粒子质量为ma =6.64ⅹ10-27kg)(05.08…) 解: (1) 求粒子德布罗意波长
波函数的统计解释。因此于1954年获得诺贝尔物理学奖
15-3 位置和动量的不确定关系
经典粒子，用坐标和动量来描述其运动状态；但微 观粒子具有波粒二象性，用坐标和动量来描述其运动 状态就会出现不确定现象。
如图a: 微观自由粒子的波函数 为简谐波，有其确定波长（即有 确定的动量p=h/),但其位置x无定 域可任取(即位置非常不确定）。 见图b,考虑另一种波函数为波包 波包是由不同波长的简谐波叠加 ，对应具有不同动量的微观粒子。 波包区间x越窄,波长范围就越宽 ，微观自由粒子的位置越确定，动 量越不确定。
15-4 薛定谔方程
E.薛定谔 (1887-1961) 奥地利物理学家，1933年诺贝尔 物理奖获得者。 ① 描述微观粒子的波函数必须 满足哪些条件？ ② 波函数的物理意义是什么？ ③ 描述微观粒子运动状态的基本 方程——薛定谔方程？ ④ 什么是隧道效应？
一、波函数
概率密度
1 、波函数： 描述微观粒子运动状态的函数。 经典单色平面简谐波波动方程：
x a
2、单缝处电子的动量的不确定程度 X K pa
a
b c
d
a
U X
p
B
pb pc pe pd
pa pb pc pe p
其衍射角 分别为：
px
单缝处，衍射角为θ的电子在X轴上存在动量的分量

eE
a b c d e
· · · · · · 即处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值
3 、波函数的标准化条件与归一化条件（波函数必须满足的条件） 波函数的标准条件：单值、有限、连续 归一化条件
W



dV 1
因为粒子在全空间出现是必然事件.
例1：求波函数归一化常数和概率密度。
0 x i Et sin x Ae a
U
粒子的观点 极大值 较多电子到达 波动的观点
波强度大， 2或 2大
0 2 0
2 波强度小， 极小值 较少电子到达 或 小 2 2 统一地看：粒子出现的几率正比于 0 或 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
2）一个粒子多次重复性行为
U 较长时间以后
粒子的观点
波动的观点
2 波强度大， 极大值 较多电子到达 0 极小值 较少电子到达 波强度小， 02 2 统一地看：粒子出现的几率正比于 中间值 波强介于二者之间 介于二者之间 0
y( x , t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae i 2 (t x ) 只取实部
( x ,t )
0
区别于经典波动
i 2 (t x )
( x, t ) 0e
自由粒子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数
设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相 关联的频率为 、波长为，将德布罗意关系式代入：
h h 先求： m v ? p m v
v2 而 ：q vB m m v q BR R
h h m v q BR
o 6.63 10 34 11 1.00 10 m 0.1A 19 2 1.60 10 0.025 0.083 10
x
电子束
px
x a
p

py
屏 幕
a
缝
2
X方向电子的位置不确定量为：
x a
电子大部分都到达中央明纹处. 研究正负一级暗纹间的电子。这部分电子在单 缝处的动量在X轴上的分量值为：
0 p x p sin
为一级暗纹的衍射角
x
电子束
px
x a
p

py
屏 幕
a
缝
x 方向电子的位置不确定量为： x a

(a)简谐波

(b) 波包
因此，任意时刻微观粒子的空间位置和对应的动 量不可能同时具有确定的值。 1927年海森伯（德国物理学家1932年获诺贝尔奖）分析了几 个理想实验后（如电子单缝衍射）提出了测不准关系。 电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单缝衍射的图 样，若电子波长为，则让电子进行单缝衍射则应满足：
或 大
2
2
或 小 2 或
结论：
某时刻空间某体元dV中出现粒子的几率 正比于该地点波函数模的平方和体积元 体积： 2
dW , dV
2
通常比例系数取1:
dW dV dV

( 为共轭复数)
则波函数模的平方表征了t 时刻，在空间(x,y,z)处 出现粒子的概率密度----波函数的物理意义.
三、德布罗意波的统计解释
1926年，德国物理学家玻恩 (Born 1882--1972) 提出了概率波的 概念，认为个别微观粒子在何处出 现有一定的偶然性，但是大量粒子 在空间何处出现的空间分布却服从 一定的统计规律。 也就是说，德布罗意波既不是 机械波,也不是电磁波.而是一种 概率波.
玻恩对量子力学的基础研究，特别是对量子力学中
根据衍射理论，衍射最大值应满足布拉格公式：
德布罗意假说，电子的波长为：波

h 2meU
代入上式得：
说明：一切微观粒子都具有波粒二象性。
思考题: 若一个电子的德布罗意波长和光子的波长相同。 试问：1）它们的动量大小是否相同？ 2）它们的总能量是否相同？（05年） 解：1） 由德布罗意关系可知,它们的波长相同.因此， 它们的动量大小相同．
px x 2
py y 2
pz z 2
h 1.054 588 10-34 J .s 2 (约化普朗克常量 )
这就是著名的海森伯不确定关系式
二、能量与时间不确定关系 设有一个动量为p，质量为m的粒子，能量
E m c p c
2 4 0 2
考虑到自由粒子沿三维来自百度文库向的传播
式中的 、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性
2、概率密度——波函数的统计解释
根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波
波函数是对微观粒子运动的统计描述,即物质波是
概率波, 概率波只能给出粒子在各处出现的概率。
波函数物理意义
如何描述微观粒子的运动
(r,t)代表什么？看电子的单缝衍射： 1）大量电子的一次性行为：
dW 2 w dV
（由叫概率分布函数）
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的 决定性规律。
牛顿说： 只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨 迹是已知的，决定性的。
量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达 某点，只给出到达各点的统计分布；即只 知道||2大的地方粒子出现的可能性大， ||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出 现在什么地方，走什么路径是不知道的 （非决定性的）
这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程
若粒子处在外力场中(非自由粒子)其粒子的总能量为：
算符: 就是一种运 算符号，是 对量子态(波 函数)的操作。 某物理量算 符常用对应 的该物理量 字母上方加 “^”符号表 示。
一维薛定谔方程 三维薛定谔方程:
拉普拉斯算符 哈密顿（能量）算符
则薛定谔方程为：
2、定态薛定谔方程
15-2 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性 本次课的内容：
① 什么是德布罗意波？如何确定德布罗意波波长？ ② 物质波的实验验证；
③ 玻恩对德布罗意波的统计解释？
④ 如何理解海森伯的测不准关系？
一、德布罗意波 (物质波)
独创性
1924年，法国物理学家德布罗意提出了物质波的假设：
一切实物粒子(如电子、质子、中子)都与光子一样, 具有波粒二象性。
具有能量为E、动量为p 的实物粒子就有一定频率 和一定波长与之对应。它们之间满足如下关系：
E mc h
2
h p mv
德布罗意公式(或假设)
与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)
h h h v2 1 2 p mv m0 v c
h 如果v c , 则 m0 v
如果势能函数不是时间的函数,即： 用分离变量法将波函数写为：
代入上式薛定谔方程中整理得：
只是空间坐标的函数
只是时间的函数
此方程仅是空间坐标的函数--称为定态薛定谔方程.
那么，粒子在空间出现的几率密度：
2
考虑到E的增量：
c 2 mv p E 2 4 2 2 E 2 m0 c p c x vp p t
2c 2 pp
Et xp / 2
即： Et 能量与时间不确定关系式
2
测不准关系式的讨论
1. 用经典物理学量来描写微观粒子行为时必然会出 现不确定性 。在位置和动量的不确定量中,位置不确 定量越小,则同方向的动量不确定量就越大。反之亦 然。 2.测不准关系是微观粒子波粒二象性的必然反映,决不 是测量仪器的缺陷或测量方法不完善所致。 3. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典 力学来描写还是用量子力学来描写。
2
到达正负一级暗纹间的电子在单缝处的动量在X 轴上的分量的不确定量为: 由单缝暗纹条件： a sin px p sin
p a p x
为一级暗纹的衍射角
p x x P
h p
h p h p
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现， 所以： p x x h 经严格证明此式应为：
1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体 上进行电子衍射实验。 狭缝 K 器 电 φ 集 电 流 计
电子射线
U
G
φ
晶 单 镍
实验发现：保持 角不变，改变电压值，电流并
不随电压单调的改变，而是出现选择性。
I
U
0
5
10
15
20
25
当电压为某一特定值时，电流才有极大值（此规律 与x射线的衍射规律相似 ）。