高三一轮复习之古典、几何概型

1.古典概率

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。 P （A ）=

总的基本事件个数

包含的基本事件个数A

在使用古典概型的概率公式时，应该注意：

（1）要判断该概率模型是不是古典概型；

（2）要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

（3）所有的基本事件必须是互斥的；

（4）m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏。

求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数常用的方法是列举法（画树状图和列表），注意做到不重不漏。

例1、从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

例2、单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？

例3 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点） 所以基本事件数n=6，

事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），

其包含的基本事件数m=3

所以，P （A ）=n m =63=2

1=0.5

例4．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

例5、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．

例6、同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是5的概率是多少？

例7.三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词

BEE 的概率为 。

2.几何概型

几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

P （A ）=积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； 几何概型与古典概型的区别与联系

随机事件不可数，随机事件也是等可能发生。

试验构成的区域有线段、面积、容积、角度、还有相遇问题。从两个方面讲就分为两类，一类可看成一维的，一类可看成二维的，比如相遇问题等。

一定要关注试验构成的区域是什么？而不能淡化这个问题，通过事例给予说明，也可以通过让学生先由于没有注意试验构成的区域，然后再让学生讨论，给予说明解释。这样印象会更深刻一些。

例1. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．

分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.

例2．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客到达站台立即乘上车的概率。

例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？

例4. 如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是

A ．4π

B ．4π

C ．44π-

D ．π

例5. 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？

例6. 长为1的木棒随机分成三段，求这三段能构成三角形的概率。

例7、在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是

A ．16

B ．14

C ．13

D ． 12

例8、在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。 例9.送报问题

小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6点到8点之间把报纸送到家，而小明可能在7点到9点之间出门上班，问在小明出门前能看到报纸的概率是多少？

例10.停船问题

码头上有两艘轮船需要在24小时内停靠，但每次只能停靠1艘，且需要在码头停6个小时，在这段时间内另一艘船到码头就需要等待，问两艘船停靠不需要等待的概率是多少？

均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．

例11.曲线y=-x 2+1与x 轴、y 轴围成一个区域A ，直线x=1、直线y=1、x 轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A 内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。

二、练习

1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ ）

A ．

4030 B ．4012 C ．30

12 D ．以上都不对

2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是