什么是函数思想

小学数学教学中函数思想的渗透

高泽新（北京市东城区教师研修中心）

陈琦（北京市东城区东交民巷小学）

高辉（北京市东城区春江小学）

一、源起

在北京市进行的一次说课比赛中，当一位选手进行了“正比例的意义”的说课后，评委向他提出了这样一个问题：“你在说课中几次提到了要在‘正比例’一课的教学中渗透函数的思想，请问你认为‘正比例’是函数吗？”说课者答道：“正比例是一种特殊的函数。”评委又问：“你说课中出现的一些图表能反映出一定的函数关系吗？”说课者却不敢断言。可以看出，这位教师对于什么是函数及函数本质的认识和理解不够准确和全面，那么其对什么是函数思想以及如何在小学数学课堂教学中进行有效渗透更可见一斑。目前，在小学数学课堂教学中非常重视数学思想方法的有效渗透。然而，教师们对一些数学思想方法的理解和把握又是怎样的呢？是不是能在教学中进行有效的渗透呢？带着这样的问题，我们决定从众多的数学思想方法之中选择函数思想作为研究点。

二、调研及分析

（一）调研目的

为了了解小学数学教师对函数的理解、对函数思想的认识以及对函数思想在课堂教学中渗透的情况，我们对东城区17名六年级数学教师进行了问卷调查。

（二）调研问卷（见附件一）

（三）调研结果统计

（四）调研分析

1.通过对以上调研结果的分析，可以得到以下结论：

（1）通过表1可以看出，绝大多数教师不能用准确的语言描述函数的定义；

（2）通过表2可以看出，教师对于函数的本质有一定的认识，部分教师还存在模棱两可的认识；

（3）通过表3可以看出，大多数教师认为能写出表达式的才叫函数，而图、表、文字等呈现方式他们认为不是函数；

（4）通过表4可以看出，大多数教师能用运动变化的观点审视小学数学教材，知道哪些知识的教学中可以渗透函数思想。

2.基于以上的调研，我们认为要做到小学数学教学中有效渗透函数思想，教师应解决好以下三个方面的问题。

（1）什么是函数？（函数的本质）

（2）什么是函数思想？

（3）小学数学教学中如何渗透函数思想？

三、问题解决

（一）什么是函数

我们认为，要想解决一线老师们的问题，首先就是要澄清他们对函数的认识，建立正确的函数概念，这是一切的基础所在。

1.函数定义

（1）初中定义：一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y为x的函数。[1]（2）高中定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集

合A中的任一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B

为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合：｛f （x）｜x∈A｝叫作函数的值域。[2]

（3）大学定义：设非空集合D R，则映射f：D→R称为D上的一个函数，记作y＝f

（x），x∈D。[3]

以上三种定义就反映了函数的发展史，依次叫做函数的“变量说”“对应说”和“关系说”。

“变量说”建立在变量(数)的基础上，优点是形象、直观、自然，通俗易懂，但没有突出函数的本质——对应关系。“对应说”和“关系说”建立在集合论的基础上，更接近现代数学的语言，普适性强，更重要的是它们都抓住了函数的本质——对应关系。[4]

2.函数的常用表示法

数学中研究函数主要是研究函数的变化特征（因为函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征），一般来说主要研究函数的性质。为了研究函数的性质人们往往借助解析式表示法、表格表示法和图像表示法这三种表示方法。

解析式表示法是最常用的方法，适用于表述连续函数或者分段函数。解析式有利于研究函数的性质、构建数学模型，对初学者来说也是最抽象的。

表格表示法适用于表述变量取值是离散的情况。

图像表示法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质。

3.澄清几个问题

在调研中发现，多数教师对于数列、图像、表格等是否是函数认识不清。

（1）数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，也可以为自然数集，或者自然数集的子集。自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数。[5]（2）图像是函数。

（3）表格是函数。

教师应该认识到，虽然某些数列、图像、表格虽然不能用解析式表达出内在的规律，但是其中的变量仍旧存在着一定的关系，所以它们都是函数。

（二）什么是函数思想

函数的思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系,通过类比、联想、转化合理地构造函数,运用函数的图像和性质,使问题获得解决。函数的思想方法是最重要、最基本的数学思想方法之一。

《九年义务教育全日制小学数学课程标准》在基本理念中指出：教师帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法[6]。这说明了数学思想方法对小学数学学习有着极其重要的作用。虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式，但这不等于没有函数的雏形、没有函数思想的存在。在小学阶段渗透函数思想方法，可以使学生懂得一切事物都是在不断变化、而且是相互联系与相互制约的，从而了解事物的变化趋势及其运动的规律。这对于培养学生的辩证唯物主义观点、培养他们分析和解决实际问题的能力都有极其重要的意义，而且可以为学生以后进一步学习数学奠定良好的基础。

（三）在小学数学教学中如何渗透函数思想

教师澄清了对函数的认识，知道了什么是函数思想及其教育价值，有利于教师站在函数思想的高度审视教材、设计教学。我们认为在小学数学教学中可以从以下几方面做起。

1.在探索“数与运算”的规律中渗透函数思想

在人教版小学数学五年级上册第20页中安排了以下练习。

算一算，填一填。

被除数 1.5 15 150

除数 5 50 500

商

有些老师让学生计算完毕、答案正确就满足了。如果我们以函数思想的高度来设计教学，则可以这样做：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点（找规律）并思考这个特点是怎样引起的，然后再出现教科书第24页的如下练习。

虽然学生还没有学过一个数除以小数的计算方法，但可以根据前一题得到的规律加以解决。这种整合不光是能解决一两个练习的问题，而是让学生从中体会到“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”这种朴素的函数思想，同时为六年级学习正、反比例做了很好的孕伏。这样做可以把商不变的性质、小数除法、正比例和反比例的相关知识串联起来，使知识脉络化，可以说是一举多得，而这种“得”归根到底是依赖于函数思想而实现的。

2．在“空间与图形”领域的教学中渗透函数思想

在学习了长方形与正方形周长和面积后我们可以设计“周长和面积”的练习课。课上设计这样的环节：用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格。