数学思想方法在二次函数中的运用

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数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用

数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用摘要：数形结合、方程与函数、建模思想、分类讨论、整体思想、转化化归以及待定系数法、配方法、消元法等都是初中阶段核心的思想方法。

二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，掌握思想方法，在解题中的运用技巧，整合所学的知识，能提高分析问题和解决问题的能力。

关键词：二次函数综合问题数学思想方法中图分类号：g633.6 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2012）10-0087-02函数是“数与代数”领域的核心内容，更是难点所在。

二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，能充分体现学生获取数学信息以及运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，因而成为广大师生关注的热点问题。

解函数综合问题，要善于借助点的坐标将线段和函数解析式结合起来，通过计算和证明是正确求解的关键。

本文以2011年施恩自治州中考数学题为例予以分析。

1 数学实例【题】：如图，在平面直角坐标系中，直线ac：y=■x+8与x轴交与点a，与y轴交与点c，抛物线y=ɑx2+bx+c过点a、点c，且与x轴的另一交点为b（x0，0），其中x0>0，又点p是抛物线的对称轴l上一动点。

⑴求点a的坐标，并在图1中的上找一点p0，使p0到点a与点c的距离之和最小；⑵若△pac周长的最小值为10+2■，求抛物线的解析式及顶点n 的坐标；⑶如图2，在线段co上有一动点m以每秒2个单位的速度从点c向点o移动（m不与端点c、o重合），过点m作mh∥cb交x轴与点h，设m移动的时间为t秒，试把△p0hm的面积s表示成时间t 的函数，当t为何值时，s有最大值，并求出最大值；⑷在⑶的条件下，当s=■时，过m作x轴的平行线交抛物线于e、f两点，问：过e、f、c三点的圆与直线cn能否相切于点c？请证明你的结论。

解：⑴直线ac与x轴的交点为a，令y=0得，x=-6，即点a（-6，0）；如图1，连接cb与直线l交于点p0即为所求。

数学思想方法妙解二次函数

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有效运用数学思想解答二次函数综合题

有效运用数学思想解答二次函数综合题梁遐（四川省旺苍县双河中学四川广元628200）中图分类号：G62 文献标识码：A文章编号：ISSN1004-1621渊2015冤03-076-02二次函数在整个初中数学教学以及中考中均占有相当大的比例，是整个初中教学的重点内容，也是一个难点内容。

很多同学一看到二次函数，总觉得头疼，尤其是二次函数中相对较综合性比较强的题目，更是摸不着头脑。

那么，怎样才能很好的掌握二次函数的相关知识、运用二次函数解决数学问题呢？这是所有数学教师一直在探究的一个问题。

笔者将与大家一起来探讨：如何在中考二次函数的复习中，有效地贯穿数学思想，解答二次函数综合题。

运用分类思想解决二次函数的综合题，主要考查一次函数、二次函数解析式的确定，三角形面积的求法，相似三角形的判定和性质以及直线与圆的位置关系等知识；需要注意的是要认真审题，全面考虑试题中涉及到的方方面面，因此在解题时，充分运用分类讨论的思想，要将所有的情况都考虑到，以免漏解。

例在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax +bx+c 与x轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，点A 的坐标为（﹣3，0），若将经过A、C 两点的直线y=kx+b 沿y 轴向下平移3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=﹣2．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段AC 上一点，设△ABP、△BPC 的面积分别为S△ABP、S△BPC，且S△ABP：S△BPC=2：3，求点P 的坐标；（3）设⊙Q 的半径为1，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切．（1）根据" 过A、C 两点的直线y=kx+b 沿y 轴向下平移3 个单位后恰好经过原点"，即可得到c﹣3=0，由此可得到C点的坐标，根据A、C 的坐标即可求出直线AC 的解析式；根据抛物线的对称轴及A、C 的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由于△ABP和△BPC 等高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，由此可求出AP、PC 的比例关系，过P 作x轴的垂线，通过构建的相似三角形的相似比即可求出P 点的坐标；（3）①此题要分成两种情况讨论：讨论1：⊙Q 与x 轴相切，可设出Q 点的横坐标，根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，若⊙Q 与x 轴相切，那么Q 点的纵坐标的绝对值即为⊙Q 的半径1，由此可列方程求出Q 点的坐标；讨论2：⊙Q 与y 轴相切，方法同上。

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题在数学学科中，二次函数和一次函数都是比较基础和常见的函数类型。

它们具有广泛的应用领域，包括物理、经济、工程等各种学科和实践中。

在解决一些实际问题时，常常需要运用数学思想和知识，来分析和计算给定的数学模型或方程式。

下面，本文将通过几个例子，来展示运用数学思想解决二次函数、一次函数及方程等综合问题的方法和技巧。

第一个例子是二次函数应用题，涉及到物理中的自由落体问题。

问题描述如下：一个物体从100米高的地方自由落下，当它下落到80米高时，它的速度是多少？解题思路：这是一个典型的自由落体问题，可以利用物理学的基本公式来求解。

首先，判断物体下落时所处的位置和速度，可以通过二次函数的解析式来表示。

设物体下落的时间为t，下落时的速度为v，则由物理学的基本公式得：h=100-0.5gt^2 (1)v=gt (2)其中，h表示物体的高度，g为重力加速度，取9.8m/s^2。

根据题目，物体下落到80米高时，即解得t=2s。

将t=2带入公式(2)，得物体下落到80米高时的速度为16m/s。

第二个例子是一次函数应用题，涉及到经济中的成本和收益问题。

问题描述如下：某公司生产某种产品，每生产10个产品需要40元的固定成本和20元的可变成本，卖出一个产品可获得30元的收益，问该公司每月需要生产多少个产品才能盈利？解题思路：这是经济学中常见的成本和收益问题，可以利用一次函数的解析式来计算。

设该公司每月生产x个产品，则该公司的收益为y，有：y=30x-20x-40该公司的成本是固定成本和可变成本之和，即：C=40+20x该公司盈利当且仅当收益大于成本，即y>C将y和C代入得：10x-40>40+20x解得x>8因此，该公司每月需要生产至少9个产品才能盈利。

第三个例子是方程应用题，涉及到物理中的加速度问题。

问题描述如下：一辆车行驶了1200米，速度从40m/s逐渐降到停车。

数形结合思想在二次函数中的应用

数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。

标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数无形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事休。

切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。

”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。

二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。

“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。

数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。

因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。

数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。

一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。

（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。

解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学是一门精确的科学，常常被用来解决各种实际问题。

在解决二次函数、一次函数及方程等综合问题时，我们可以运用数学的思想和方法，来得到准确的答案。

我们来看二次函数的问题。

二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

在解决二次函数的问题时，我们可以利用一些基本的性质和定理。

要判断二次函数的开口方向。

如果a>0，则二次函数开口向上；如果a<0，则二次函数开口向下。

根据开口方向，我们可以判断二次函数的最值及其位置。

要求解二次函数的零点。

零点即函数f(x)的解，即f(x)=0。

我们可以利用求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac)) / 2a来求解零点。

除了这些基本性质和定理，还有一些与二次函数相关的应用问题。

给定二次函数的图像，我们可以求出其顶点坐标、对称轴等相关信息；或者给定二次函数的零点，我们可以根据这些零点求出二次函数的表达式。

在解决一次函数的问题时，我们可以利用直线的性质和定理。

要求解一次函数的解。

解即函数f(x)的零点，即f(x) = 0。

对于一次函数，解的存在与唯一性是显然的，可以直接求解。

要求出一次函数的斜率。

斜率即直线的倾斜程度，可以用来描述直线的陡峭程度。

一次函数的斜率可以通过函数的表达式直接求出。

我们还可以利用一次函数的直线方程解决一些几何问题。

给定一次函数的两个点的坐标，我们可以通过求解直线的方程，来计算直线与坐标轴、直线之间的夹角等几何量。

我们来看方程的问题。

方程是数学中的基本概念，常常被用来描述物理、化学等实际问题。

在解决方程的问题时，我们可以利用方程的性质和定理。

要求解方程的解。

解即方程的等式成立时的未知量的取值。

对于一次方程，我们可以直接求解；而对于二次方程，我们可以利用一元二次方程的一些基本方法来求解。

要判断方程的解的个数。

对于一次方程，解的个数可以通过方程的系数来判断；而对于二次方程，我们可以通过判别式来判断。

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。

二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。

一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。

通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。

但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。

例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。

要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。

将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。

令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。

将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。

2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。

可以通过解方程或者配方法求解交点。

例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。

将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。

数形结合思想在二次函数问题中的应用探析

2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。

在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。

初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。

一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。

在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。

有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。

华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。

数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。

通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。

二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法在二次函数中的应用二次函数是高中数学中比较重要的一个章节，它的应用涉及到很多领域，如物理、经济等。

在学习二次函数的过程中，数学思想方法可以帮助我们更好地理解二次函数的概念和性质，并且更加深入地掌握它的应用。

下面我将阐述数学思想方法在二次函数中的应用。

1. 递推思想递推思想是数学思想方法中非常重要的一种方法，它在二次函数中也是可以应用的。

当我们学习二次函数时，我们可以通过递推的思想来推导二次函数的通项公式。

例如，对于二次函数f(x) = x² + x + 1，我们可以先求出它的第n项，然后利用递推的思想来求出它的通项公式。

假设f(1) = 3，f(2) = 6，f(3) = 11，那么我们可以列出如下的表格：n 1 2 3 4 ...f(n) 3 6 11 18 ...我们可以发现，每一项之间的差都是相同的，且这个差是1，即：f(2) - f(1) = 6 - 3 = 3f(3) - f(2) = 11 - 6 = 5f(4) - f(3) = 18 - 11 = 7因此，我们可以得到递推公式：f(n) = f(n-1) + 2n-1将其展开，化简后得到通项公式：通过递推和不断化简，我们成功地推导出了二次函数f(x)的通项公式，这一过程中运用了递推思想的方法。

2. 极值思想f'(x) = 2ax + b = 0x = -b/2a因此，f(x)的最大值就是f(-b/2a)，即：f(-b/2a) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c= (4ac - b²)/4a通过极值思想，我们成功地求出了二次函数f(x)的最大值。

3. 类比思想例如，我们可以将二次函数看作空间中的一个抛物面，它的顶点就是抛物面的顶点。

抛物面上的每一个点都与二次函数上的某一个点对应，它们之间有相似的性质和规律。

可以看出，在这种类比思想的方法中，我们更加直观地理解了二次函数的概念和性质，也更加深入地掌握了它的应用。

二次函数中的数学思想

二次函数中的数学思想一、数形结合思想在图形中隐含着数的关系，这时若能运用数的规律，来探究形的特征，可使感性的“形”多一些“理性”.例 1 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：解决这类问题应从两个方面入手，一是看图象的开口方向、对称轴、与y 轴交点的位置；二是根据图象确定当自变量x 取某些特殊值时，对应的函数值的符号.因为图象与x 轴有两个交点，所以240b ac ->，所以①正确. 因为图象的开口向上，所以a ＞0；由图象的对称轴直线x =1，可得－ab 2=1，所以b = -2a ，所以b ＜0；由图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，所以c ＜0，所以abc ＞0，所以②正确.由图象可知，当x =-2时，y =4a-2b+c ＞0，又b = -2a ，所以4a+4a +c ＞0，即8a+c ＞0，所以③正确.根据图象的对称性，图象与x 轴的另一个交点B 到对称轴直线x =1的距离大于2，所以交点坐标大于3，所以当x =3时，y =9a +3b +c ＜0，所以④正确.故选D.二、数学建模思想能根据问题中的数量关系，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质解决实际问题（如求最大值与最小值），这就是建立二次函数模型解决实际问题的思想.例2 （2013年滨州市）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）分析：直接由长方体体积公式建立二次函数模型，然后配方求出最值.解：根据题意，得y ＝20x (1802－x ). 整理，得y ＝－20x 2+1800x . y ＝－20x 2+1800x ＝－20(x 2－90x +2025)+40 500＝－20(x －45)2+40 500，而－20＜0，所以当x ＝45时，函数有最大值，y 最大值＝40 500.所以当底面的宽为45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm 2.三、分类讨论思想某些数学问题，常常会产生几种可能性，需要分类进行讨论.分类讨论必须遵循两条原则：一是每一次分类按照同一标准进行；二是分类要做到不重复、不遗漏..例3 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点.（1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （－3，0），求C 2的函数解析式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；（3）若),2(),,(21y Q y n P 是C 1上的两点，且21y y >，求实数n 的取值范围.解析：（1）因为1)1(222-++=++=m x m x x y ，所以对称轴是直线1-=x .因为与x 轴有且只有一个公共点，所以顶点的纵坐标为0.所以C 1的顶点坐标为（-1，0）.（2）设C 2的函数解析式为k x y ++=2)1(.把A （-3，0）代入上式,得0)13(2=++-k ，得4-=k ，所以C 2的函数解析式为4)1(2-+=x y .因为抛物线的对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为A （-3，0），由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）.（3）当1-≥x 时，y 随x 的增大而增大，而),(1y n P 的位置不确定，所以需要分类讨论.①当1-≥n 时，要使21y y > ，必须2>n ；②当1-<n 时，),(1y n P 的对称点的坐标为),2(1y n --，且-2-n ＞-1，要使21y y >，必须-2-n ＞2，即n ＜-4.综上所述2>n 或n ＜-4.四、整体思想整体思想就是通过对问题的细心观察和深入分析，找出整体与局部的联系，从整体上把握，进而解决问题的一种思想方法．例4 已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式20132+-m m 的值为（）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014解析：将点(0)m ，代入抛物线的解析式，得m 2-m-1=0.若此时直接求m 的值,再代入求值，显然比较繁琐，故可考虑整体代入，即m 2-m =1，所以20132+-m m =2014.故选D.。

二次函数中的数学思想

二次函数中的数学思想数学思想是数学解题的“灵魂”，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，提高独立分析问题和解决问题的能力。

二次函数中隐含着许多重要的数学思想，需要我们去挖掘和运用。

归纳起来主要有以下几种。

一、数形结合思想数形结合思想就是把数、式与图形结合起来考虑，用几何图形直观地反映和描述数量关系，用代数方法来分析几何图形中蕴含的数量关系，从而使问题巧妙快速解决。

解决这类题，首先，要注意学会观察，提高图形信息的识别能力，其次，要学会分析和推理，作出正确的判断。

例1，下图都是而此函数y=ax2+bx+a2-1 的图像，若b>0 ，则a 的值等于（ D ）解析：∵b>0，而抛物线（a）（b）中b0∴方程x2+（2k+1）x-k2+k=0有两个不相等的实数根。

∴抛物线与X轴有两个不同的交点。

（2）当k=0 时，原抛物线为y=x2+x由x=0 得y=02+0=0x2+x=0得x1=0，x2=-1∴此抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），与X轴的交点坐标为（0，0），（-1，0）。

三、整体思想整体思想就是根据问题的整体结构特征，把一组数或一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察、分析、探究问题的一种方法，从而使问题得以简捷巧妙的解决。

例3：如图，矩形ABCD 的长AB=4cm ，宽AD=2cm , op ⊥AB是的中点，,两半圆的直径分别为OA 与OB ，抛物线的顶点是O ，关于OP 对称且经过C、D 两点，求图中阴影部分面积？解析：由抛物线顶点是O ，关于OP对称且经过C、D 两点，根据抛物线、矩形的对称性可知，S阴=S半圆∴s=s=1/2πg=π/2 （cm）注：解此题的关键是运用对称性，把两个不规则的阴影部分视为一个整体。

四、分类讨论思想所谓分类讨论思想，就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干类不同的情形，然后再逐步进行研究和求解的一种数学解题思想。

对于因存在一些不确定因素，解答无法用统一的方法或者结论不能以统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类来解决。

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法在二次函数中的应用数学思想方法是数学学科的核心，其重要性不言而喻。

在二次函数中，数学思想方法的应用尤为明显，它能够帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质和特点。

本文将重点介绍数学思想方法在二次函数中的应用。

数学思想方法之一是归纳法。

在二次函数中，我们通过观察某些特殊情况下的曲线来发现一般规律。

在观察二次函数的图像时，我们发现当二次函数的二次项系数大于0时，图像开口朝上，当二次项系数小于0时，图像开口朝下。

通过这种观察，我们可以归纳出“二次项系数的正负与二次函数图像开口的方向相对应”的规律。

数学思想方法之二是对证法。

在二次函数中，我们常常需要证明某些关于二次函数性质的定理或公式。

对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望证明其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

我们可以通过对二次函数进行配方变换，再利用数学方法进行推导，最终得到该结论。

这个过程充分体现了对证法的应用。

数学思想方法之三是分析法。

在二次函数中，我们经常需要分析二次函数的增减性、极值点、拐点等。

当二次函数的二次项系数大于0时，我们可以通过求解一阶导数f'(x) = 2ax + b的根来确定二次函数的增减性和极值点。

当二次项系数小于0时，我们可以通过求解一阶导数的根来确定二次函数的增减性、极值点和拐点。

通过这种分析方法，我们可以更直观地了解二次函数的性质和特点。

数学思想方法之四是抽象方法。

在二次函数中，我们常常通过抽象的方式来处理问题。

我们可以将二次函数拆分成两个一次函数的和或差，从而更方便地进行分析。

又如，我们可以将二次函数的图像看作是一个平面上的凹或凸曲线，来研究其性质。

通过这种抽象方法，我们可以将复杂的问题简化，更好地理解和掌握二次函数。

数学思想方法在二次函数中的应用有归纳法、对证法、分析法和抽象方法。

这些方法相互配合，可以帮助我们更深入地理解和应用二次函数的相关知识。

在学习和应用中，我们应充分发挥数学思想方法的优势，灵活运用，以更好地理解数学问题。

二次函数中的数学思想方法应用

y xoA B二次函数中的数形结合过程与方法：研究二次函数图象的特点和性质，利用图象探究抛物线的一般应用，达到数——形——数的同一，找寻较佳解决方案。

中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学思想的理解和应用。

例如代数中的一元二次方程与二次函数的关系问题，一元二次方程的根与二次函数图形与x 轴交点之间的关系，是中考内容必考的内容之一。

要从结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。

二次函数知识本身就是数形结合思想的数学思想的一个很好的体现。

在解决这类问题时，学生往往要么只注意到代数知识，要么只注意到几何知识，不会把它们互相转化，如坐标系中点的坐标与几何图形中线段的长的关系；坐标系中x 轴与y 轴相互垂直与几何图形中的直角、垂直、对称及切线等的关系；函数解析式与图形的焦点之间的关系等数形结合就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法。

根据解题需要我们可以把数量关系的问题转化为图形性质的问题来讨论，或者把图形性质的问题转化为数量关系的问题来研究。

1．以形助数——通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而找出最佳解题途径。

1．（2005宁夏）如图，抛物线的对称轴为x=1，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(则A 点坐标为。

2．（2002浙江杭州）已知二次函数c bx ax y ++=21（a ≠0）与一次函数n mx y +=2（m ≠0）的图象相交于点A （-2，4）、B （8，2）（如图所示），则能使1y ＞2y 成立的 x 的取值范围是。

3．（2005南通市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24，c b a N +-=，b a P +=4，则下列结论正确的是（）A ．Μ＞0，Ν＞0，Ρ＞０B ．Μ＞0，Ν＜0，Ρ＞０C ．Μ＜0，Ν＞0，Ρ＞０D ．Μ＜0，Ν＞0，Ρ＜０4．二次函数c bx ax y ++=21与3)2(2)1(22+++-+=c x b x a y 在同一坐标系中的图象如图。

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法在二次函数中的应用二次函数是初中数学中一个重要的内容，掌握了二次函数的思想方法，对于学习高中数学乃至更高层次的数学都有很大的帮助。

本文将从数学思想方法的角度，解析二次函数的应用。

函数是数学中一个非常基础的概念，它将一个值的集合映射到另一个值的集合。

在二次函数中的应用中，函数的共性思想方法是很重要的。

在二次函数中，我们首先需要明确的一点是，二次函数是一种含有平方项的函数，其一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

其次，二次函数是函数的特例，也就是说，它同样遵循函数的共性思想方法。

我们可以通过以下几个方面详细探究：1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的取值范围。

在二次函数中，由于x^2的取值范围为非负实数，因此函数的定义域一般为全体实数，值域的范围则取决于二次函数的形状和系数。

当a>0时，二次函数的最小值为c-Δ/4a，该函数的值域为[c-Δ/4a,+∞)；当a<0时，二次函数的最大值为c-Δ/4a，该函数的值域为(-∞,c-Δ/4a]。

通过函数的定义域和值域，我们可以更加深入地了解二次函数的性质和特点。

2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数满足f(-x)=f(x)还是f(-x)=-f(x)。

在二次函数中，如果函数的系数b和常数项c都为偶数，则该函数为偶函数，即f(-x)=f(x)；如果函数的系数b和常数项c都为奇数，则该函数为奇函数，即f(-x)=-f(x)。

利用函数的奇偶性，我们可以更加方便地求解二次函数的对称轴和奇偶点。

3. 最值点和拐点函数的最值点和拐点是二次函数中常见的重要概念。

在二次函数中，最值点的横坐标为-x= -b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)，当a>0时是函数的最小值，当a<0时是函数的最大值。

而拐点的横坐标为-x= -b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)-Δ/4a。

通过找出最值点和拐点，我们可以更加准确地绘制二次函数的图像和分析函数的变化趋势。

化斜为直思想在二次函数中的应用

1,0 B
l
y x b 2 x 2x 3 x b 2 y x 2x 3 21 △=0 b= 3 21 4 x 2 y x 4 15 2 y x y x 2 x 3 4
C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
2
1 3 y x2 x 2 2 2
N M
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE 的面积为S1，△BCE的面积为 S2，求 S1 的最大值；
S2
小结：
一个数学思想：转化思想两个基本线段：竖直线段和水平线段三个转化：斜线段三角形周长三角形面积
D
O
三角形周长转化竖直线段
x
4
变式2：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），求P 点到直线AC距离的最大值；
3 15 ( , )P 2 4
y
解：作直线AC的平行线 l使直线与抛物线只有一个交点P. 设直线
H
y=x+b. l 解析式为：
C(0,3)
P
(3, 0) A
竖直线段转化竖直线段
转化
转化竖直线段
P (
3 15 , ) 2 4
变式3：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），连接 PA,PC,求△PAC面积的最大值； y 9 S△PAC= S△PAQ+ S△PCQ PQmax= 1 1 4 P = PQ· AD+ PQ· OD
H
C
2 2 1 = 2 PQ（AD+OD） 1 = 2 PQ· AO

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题解题过程中运用数学思想可以帮助我们更快更准确地解决问题。

下面，我们以二次函数、一次函数及方程等为例，介绍数学思想在解题中的应用。

一、二次函数1. 求解方程假设我们要解方程$x^2-3x+2=0$，首先可以通过因式分解解出$x=1$和$x=2$，再用$0$在方程两边得到$2$个解：$x=1$和$x=2$。

2. 求最值和零点对于一般的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，我们可以通过公式求出其零点和最值。

零点公式：$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$最值公式：$f(x)=\begin{cases}\frac{4ac-b^2}{4a},a>0\\-\infty,a<0\end{cases}$3. 求导求极值二次函数可以通过求导求极值。

对于$f(x)=ax^2+bx+c$，它的导数为$f'(x)=2ax+b$。

解出$f'(x)=0$，得到极值点$x=\frac{-b}{2a}$，再带入原函数求解极值。

1. 求解方程对于一次方程，假设我们要解线性方程$2x+3=5x-1$，可以将其化简为$3x=4$，进而解得$x=\frac{4}{3}$。

2. 给定两个点，求解函数及其图像通过给定两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，可以定出两点式方程$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，进而解出函数。

函数的图像为一条直线，可以利用截距式方程$y=kx+b$来表示，其中$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$b=y_1-kx_1$。

三、方程1. 去项化简通过运用去项化简法，我们可以将方程从一般的形式$a_1x+b_1=a_2x+b_2$，化简为更简单的形式$a_1x=a_2x+(b_2-b_1)$，进而解出$x$。

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法在二次函数中的应用
二次函数是代数学中常见的一种函数形式，其表达式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数在数学中有着广泛的应用，包括物理学、经济学、工程学等领域。

在使用二次函数进行分析和解决问题时，数学思想方法能够发挥重要的作用。

数学思想方法可以帮助我们理解和分析二次函数的特性。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次系数的正负性。

当a > 0时，抛物线开口向上，称为正抛物线；当a < 0时，抛物线开口向下，称为负抛物线。

数学思想方法通过几何直观的图像展示，能够帮助我们直观地理解这一特性，并在分析问题时有所启发。

数学思想方法可以帮助我们求解二次函数的图像特性。

通过求解二次函数的零点（即函数与x轴交点），可以确定抛物线的顶点和开口方向。

使用数学思想方法的代数运算，我们可以将二次函数转化成标准形式，即f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

通过求解二次函数的导数，我们可以确定最值点的位置，进一步分析二次函数的最大值或最小值。

数学思想方法可以帮助我们解决与二次函数相关的实际问题。

给定二次函数的表达式和特性，我们可以通过代入数值来计算具体的函数值或解决方程。

在物理学中，二次函数经常用于描述自由落体运动或抛体的轨迹。

我们可以通过数学思想方法将问题转化为求解二次函数的相关参数，进而解答问题。

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法在二次函数中的应用数学思想方法是指用数学的思维方式和方法解决问题的过程，它包括数学思维的特点、数学思维的基本要素和数学思维的过程等。

二次函数是数学中的一种重要函数，其表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

在二次函数中，数学思想方法能够很好地应用于解决相关问题。

在二次函数的图像中，数学思想方法可以通过观察和分析图像的形状以及各个点的坐标来研究函数的性质。

我们可以利用平移、伸缩和翻转等变换来推导出二次函数的图像与参数之间的关系，从而得到二次函数的性质。

通过计算二次函数的导数和二次函数图像的切线斜率，我们可以进一步研究二次函数的增减性、最值、拐点等特点。

在二次函数中，数学思想方法可以通过代数的方法来求解相关问题。

二次函数的解即为使得函数值等于零的x值，我们可以通过求解二次方程来得到函数的零点。

对于y=ax²+bx+c=0，我们可以根据判别式b²-4ac的正负情况来判断方程的解的情况，再进一步求解二次方程。

通过观察二次函数图像与x轴的交点，我们也可以大致估算出函数的解的范围和个数。

在二次函数中，数学思想方法还可以通过函数的特点和性质来解决实际问题。

在物理学中，通过建立二次函数模型，我们可以研究弹射物体的轨迹和最高点；在经济学和管理学中，通过建立二次函数模型，我们可以研究销售量与价格、成本之间的关系，从而预测最佳价格和最大利润等。

通过在函数中引入参数，我们可以进一步研究函数与其他变量之间的关系，从而解决更加复杂和抽象的问题。

数学思想方法在二次函数中的应用十分广泛和重要。

通过观察和分析图像、代数运算和实际问题的应用，我们可以更加深入地理解和应用二次函数的性质和特点，为解决相关问题提供了有效的思路和方法。

数学思想方法也培养了我们的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，对于培养学生的数学思维和创造力具有重要意义。

我们应该在学习二次函数和解决相关问题的过程中，积极运用数学思想方法，并不断提高自己的数学思维水平。

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法在二次函数中的应用二次函数是高中数学中非常重要的一章，学好二次函数不仅可以提高数学成绩，也有助于理解日常生活中的许多问题。

二次函数中的数学思想和方法包括：函数图像的性质、函数的零点和极值、判别式、配方法和公式等。

1. 函数图像的性质二次函数的图像是一个拱形，称为抛物线。

抛物线的顶点是函数图像的最低或最高点，称为极值。

由于二次函数的抛物线对称于顶点，因此可以通过顶点来确定图像的对称轴。

这些性质的应用包括：- 通过函数图像来判断二次函数的符号。

如果 a>0，则抛物线开口向上，函数值随着x 的增大而增大；如果 a<0，则抛物线开口向下，函数值随着 x 的增大而减小。

- 通过顶点来确定函数的最值。

如果 a>0，则函数的最小值等于 y 坐标的值，即f(x) = f(h)；如果 a<0，则函数的最大值等于 y 坐标的值，即 f(x) = f(h)。

2. 函数的零点和极值二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标。

二次函数的极值是顶点处的函数值。

通过求解二次方程 f(x) = ax^2 + bx + c = 0 来确定函数的零点，分为以下情况：- 当判别式 b^2-4ac>0 时，二次函数有两个不同的实数根，即x=(−b±√(b^2−4ac))/2a。

这时函数图像与 x 轴有两个交点，函数有两个零点。

- 当判别式 b^2-4ac=0 时，二次函数有一个实数根（相当于它与 x 轴只有一个交点），即 x=-b/2a。

这时函数图像在顶点处与 x 轴相切，函数有一个零点。

- 当判别式 b^2-4ac<0 时，二次函数没有实数根，即函数值始终大于或小于零。

这时函数图像与 x 轴没有交点，函数没有零点。

3. 判别式判别式是二次方程 b^2-4ac 的值，它可以用来判断二次函数的根的情况（上文第二点）。

当判别式为负数时，二次函数没有实数根；当判别式为零时，二次函数有一个实数根；当判别式为正数时，二次函数有两个不同的实数根。