数学思想方法在二次函数中的运用

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数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法是指数学家在解决问题时所运用的一系列思考和求解的方法。在二次函数中，数学思想方法可以被广泛应用，帮助我们理解和解决与二次函数相关的问题。

对于二次函数的图像，我们可以运用函数的图像性质来分析、研究和描述二次函数。通过观察二次函数的图像，我们可以直观地了解二次函数的性质和特点，比如函数的开口方向、对称轴、顶点位置等。通过图像的变化趋势，我们还可以探讨二次函数的增减性、最值以及零点等问题。数学思想方法让我们能够更加直观地理解和解释二次函数的图像。

对于二次函数的解析式，我们可以运用函数的性质和方程的求解方法来研究和解决与二次函数相关的问题。通过对二次函数进行求导，我们可以得到函数的导函数，从而探讨函数的单调性和极值问题。利用函数的极值，我们可以解决一些优化问题，比如求解最大面积、最小路径等问题。通过将二次函数与直线相交，我们可以求解二次函数与直线的交点。利用这些交点或者二次函数的特点，我们可以解决一些几何和物理中的问题，比如求解抛物线的焦点位置、求解物体的轨迹等问题。

对于二次函数的解法和证明，我们可以运用数学思想方法来研究和深化对二次函数的理解。一方面，我们可以运用数学归纳法来证明二次函数的性质和定理。通过归纳法，我们可以从一些简单的情况开始，逐步推导出一般情况的结论。我们可以运用反证法来解决一些关于二次函数的问题。通过假设二次函数不满足某个性质或定理，然后利用推理和逻辑推导出矛盾，从而证明该二次函数必须满足该性质或定理。

数学思想方法还可以帮助我们发现和解决二次函数中的一些有趣和有意思的问题。我们可以探索一些特殊的二次函数，如二次函数的对称形式、平移形式、标准形式等。我们还可以利用代数方法、几何方法、推理方法等尝试解决一些非常规的问题，比如二次函数中的一致性问题、最值问题、递推问题等。通过这些问题的探索和解决，我们可以锻炼我们的求解问题的能力和创新思维。

二次函数问题的解题思想与策略

二次函数章节在整个初中阶段数学学科知识体系中所占据的地位和作用十分显著和重要，通过对二次函数概念、图象性质、表达式的表示、抛物线的性质等方面内容以及相关问题案例的探析解答活动，数形结合、分类讨论、化归转化以及函数方程等解题思想在该章节问题案例教学中有着广泛深刻的运用，并对初中生良好解题思想策略的培养提供了载体和平台.本人现结合二次函数章节内容教学，简要对数形结合、分类讨论、化归转化以及函数方程等解题思想在二次函数问题解答的运用进行简单论述.

一、运用数形结合解答二次函数章节问题

“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”数形结合思想抓住了数学学科数学语言的抽象性和平面图形的直观性特征，通过“数”“形”互补，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.通过对二次函数章节内容的整体研析发现，二次函数章节知识点的抽象内容，通过图象的直观画面进行展示，同时借助图象反映出来的性质内容，进行二次函数问题的有效解答，达到变繁为简，优化解题途径的目的.

图1问题1：有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m.水位上升3 m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10 m.若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？

在该问题的教学活动中，如果单纯对问题条件内容进行分析，学生在理解抽象性的数学语言符号时，解决问题就有一定的难度.此时，教师利用数形结合的解题思想，根据问题条件内容，采用“以形补数”的形式，做出如图1所示的图形，这样，学生可以借助于图形的直观性和语言的精确性等特性，在对问题条件及解题策略的分析和找寻中变得更加“简便”、“易行”.

数学思想方法妙解二次函数

时，＆＝００ｙ女９０．
）米．所以Ｓ（－）－Ｚ６．所以Ｓ６ｘ＝ｘ＋ｘ与
所以
＝ＡＤ：４，６，因为ＥＯ
Ｘ函数关系式为５缸（＜）的＝０６．
答案．
豳
本题考查函数图象与性
式，并判断△ＡＯ与ＡＤ是否相似ＥＡＯ
Ｌ，
质以及分析问题、决问题的综合能解
力．对于此类问题的处理．常用的方法有两种：１假定其中的一个函数图（）象正确，然后以此确定系数的范围．根据确定的范围．剐第二个函数的判图象正确与否；）假定系数的范围，（先２
Ａ一Ｂ了’
（）因为点Ｅ轴上， △ ２在ＳＡ，
＼／
＼／０
Ｄ
形巾某些位置关系所隐含的等量关
系（线段和差、面积和差、相似三角形
对应边成比例）等构造方程．通过将
图形的变换、元二次方程、何问一几题综合进二次函数中．以解答题的形
、
所以．Ｄ．Ｅ．，Ｅ旦ＡＯ：所￣Ｏ：Ｘ

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题

数学是一门研究数量，结构，空间以及变化等概念的学科。在数学中，二次函数和一次函数是两个重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。本文将介绍如何运用数学思想解决二次函数、一次函数以及方程等综合问题。

首先让我们来回顾一下二次函数和一次函数的定义。

二次函数是指形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数，且a≠0。二次函数的图像通常是一个抛物线。在解析几何中，二次函数也可表示为二次曲线的方程。

解决二次函数和一次函数问题的关键是要理解函数的性质和图像的特点。下面我们将给出一些实际问题，并运用数学思想解决这些问题。

问题一：一辆汽车行驶的距离与时间的关系可以用一次函数来表示。已知一辆汽车行驶1小时可以行驶80公里，行驶5小时可以行驶多少公里？

解决方法：

根据题目中所给的信息，可以得到一次函数的表达式为f(x)=80x，其中x表示行驶的时间，f(x)表示行驶的距离。

根据一次函数的性质，我们可以算出行驶5小时可以行驶的距离为f(5)=80×5=400公里。

问题二：一个球从离地面10米的地方自由下落，设t表示下落的时间（秒），可知球下落的高度与下落的时间t的关系可以用二次函数来表示。球下落的高度与时间的关系式是h(t)=-4.9t²+10，其中h(t)表示球的下落的高度。

求解以下问题：

1) 球下落1秒的高度是多少？

2) 球从离地面10米的地方自由下落，球何时落地？

解决方法：

1) 根据题目中所给的二次函数的表达式，可以算出球下落1秒的高度为

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法是指解决数学问题时所采用的思维方式和方法，也是数学学科的核心内

容之一。在二次函数中，数学思想方法的应用非常重要，可以帮助我们更好地理解和解决

问题。

数学思想方法中的分类与抽象思维在二次函数中得到了广泛应用。二次函数的一般形

式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。通过对二次函数的分析与分类，我们可以根据a的正负和零点情况，将二次函数分为开口向上和开口向下的两

种类型。这样的分类有利于我们对二次函数的特性和性质进行更深入的研究和理解。

利用数学思想方法中的归纳与演绎思维可以帮助我们推导和证明二次函数的一些重要

结论。通过对二次函数的图像进行观察，我们可以发现二次函数的图像关于y轴对称，这

就是二次函数的对称性质。利用归纳与演绎思维，我们可以证明二次函数的这一性质成

立。

在二次函数中，数学思想方法中的抽象与具体思维也得到了广泛应用。通过对二次函

数的图像、函数表达式和特性的研究，我们可以将二次函数与实际问题相联系，从而找到

解决实际问题的方法。在物理学中，弹射物的运动轨迹可以用二次函数来表示，通过对二

次函数的分析，我们可以计算出物体的最高点、最远点和时间等相关信息，从而解决物理

问题。

在解决二次函数问题时，数学思想方法中的逻辑思维也是必不可少的。逻辑思维帮助

我们建立起严密的逻辑推理链条，通过已知条件和命题之间的逻辑关系，来推导出新的结论。在处理二次函数的问题时，我们经常需要运用逻辑思维来分析问题的条件和要求，找

到解决问题的方法。

数学思想方法在二次函数中的应用非常广泛，包括分类与抽象思维、归纳与演绎思维、抽象与具体思维以及逻辑思维等。这些方法可以帮助我们更好地理解二次函数的性质和特点，解决与二次函数相关的问题。通过学习和运用这些方法，我们可以培养和发展自己的

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法广泛应用于各个数学领域中，其中二次函数作为数学中的重要概念之一，也同样涉及到数学思想方法的运用。以下是数学思想方法在二次函数中的几个应用。

一、借助图像思维解决二次函数问题

二次函数的图像为抛物线，通过对图像的观察和分析，可以解决一些与二次函数相关

的问题。

分析图像的开口方向。当二次函数的二次项系数大于0时，抛物线开口向上，二次项

系数小于0时，抛物线开口向下。

然后，观察图像与坐标轴的交点。二次函数与x轴相交的点称为零点，与y轴相交的

点称为截距。通过求解二次函数与x轴的交点，可以求得其零点；通过求解二次函数与y

轴的交点，可以求得其截距。

还可以利用图像的对称性推出二次函数的对称轴和顶点信息。对称轴是垂直于x轴的

一条线，抛物线关于对称轴对称；顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的极值点。

二、使用函数分析法解决二次函数问题

函数分析法是一种通过对函数的定义域、值域、增减性、极值和凹凸性进行分析，以

推导出函数的性质和解决问题的方法。

对于二次函数。可以通过求解二次函数的导数来确定函数的增减性、极值点和凹凸性。二次函数的导函数是一次函数。

求解一次函数的零点，得到增减性的分界点；然后，通过求解一次函数的导数的零点，得到极值点。

二次函数导数的符号与一次函数的增减性相同。当二次函数的导数大于0时，二次函

数递增；当导数小于0时，二次函数递减。

通过分析函数的增减性和极值点，可以得到二次函数在不同区间的变化趋势和取值范围，从而对二次函数进行更深入的理解和应用。

方程法是指通过建立方程，利用方程的性质来解决问题的方法。

浅议“数学思想方法在二次函数教学中的运用”

发布时间：2023-03-23T03:27:34.680Z 来源：《中国教师》2023年第1期第1月作者：马来雄[导读] 二次函数内容是继一次函数、反比例函数后初中数学安排的最后一块函数内容.从知识结构上分析,它包括四个方面的主要内容

马来雄

河南省新乡市获嘉县邮编453800

二次函数内容是继一次函数、反比例函数后初中数学安排的最后一块函数内容.从知识结构上分析,它包括四个方面的主要内容,即二次函数的定义、图象、性质及其应用.从数学思想方法上来看,始终贯穿运动、变化的观点,形、数结合的观点.通过变化,深刻揭露了二次函数与二次三项式、一元二次方程以及一元二次不等式的内在联系,从而提供了用函数观点深化理解其的可能性.通过二次函数的教学,学生还接受到具体的诸如“配方法”、“待定系数法”等数学方法的学习.那么如何通过二次函数进行数学思想方法的教学呢?

一、纵向联系,类比迁移

二次函数的教学,就近而言,是在学生已掌握了函数的概念,正比例函数与反比例函数以及一次函数的图象和性质的基础上继续深化的;就远而言,将来要进一步系统地研究初等函数.因此从数学知识及数学思想方法的延续性和发展性入手,顺其自然地组织教学,应当是二次函数教学的出发点.

教学时,可通过回溯,分析及深入浅出的示例讲述,使学生从理性的高度认识到:研究二次函数同研究正、反比例函数及一次函数一样，都遵循着函数研究的基本方法和步骤,即:实例一定义(解析式的定义)一图象与性质一应用.

学生只要从思想上真正把握了函数研究的逻辑线索.那么,掌握二次函数研究的主要内容和研究方法;是并不困难的.如在二次函数的教学中，应当重视配方法及待定系数法等数学方法.比如关于求y=ax2+bx+c(a≠0)的最大（小）值问题，应引导学生不要局限于会应用公式，而且要掌握公式的来源,从中认识到配方法本身是一种重要的数学方法，体会其在数学学习中的重要性.待定系数法的学习主要表现在求函数的解析式,其方法不难掌握,重点是引导学生从中总出应用的一般步骤,形成应用待定系数法的意识.

二次函数中的数学思想

庄亿农

数学思想是数学知识的精髓，是数学解题的灵魂，在解题中如能恰当地运用它，则能顺利解决许多问题。

一、数形结合思想

例. （年四川省泸州市中考试题）已知函数ax ax y 2+=与函数

x a y =，则它们在同一坐标系中的大致图象是（）

解析：本题将反比例函数与二次函数的图象放在同一个坐标系中进行考查，增加知识的综合性，解决这类问题的基本方法是利用数形结合思想，先由反比例函数图象的位置确定的符号，再由的符号确定二次函数图象的位置，充分体现了“数”、“形”相依的优越性，通过观察分析，只有选项是有可能的，故选。

二、转化思想

例. （年江苏省徐州市中考试题）某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如下图所示。

（）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；

（）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与箱共高，此车能否通过隧道？并说明理由。

解析：解决本题的关键是利用转化思想转化为数学问题，图中已建立了坐标系，只要求出点或的坐标，即可求出抛物线的表达式。然后根据抛物线的表达式进行分析即可解决问题。

（）由图可设所求抛物线的表达式为2

ax y =，

因为点的坐标为（，），

所以有23a 3⨯=-，解得31a -=。所以抛物线的表达式为

x 31y -=。（）因为车与箱共高m 5.4，

故令5.0y -=，则有

x 315.0-=-。解得

26x 1=，26x 2-=。因为36|x x |21<=-，所以此车不能通过隧道。

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题【摘要】

本文通过引言部分介绍了二次函数、一次函数以及方程的基本概

念和研究意义。接着在正文部分分别详细阐述了二次函数的基本概念，一次函数的特点与性质，以及二次函数与一次函数的比较分析。也探

讨了利用数学思想解决二次函数与一次函数的问题的方法和方程的求

解方法。在结论部分总结了数学思想在解决二次函数、一次函数及方

程问题中的应用，展望了未来可能的研究方向。通过本文的研究可以

更全面地理解和运用数学思想来解决相关问题，为深入研究和应用提

供了理论基础。

【关键词】

。

1. 引言

1.1 背景介绍

在数学领域中，二次函数和一次函数是非常基础和重要的概念。

二次函数是一种特殊的函数形式，其图像是一个抛物线，具有很多独

特的性质和特点，而一次函数则是一个线性函数，其特点是图像是一

条直线，也具有一些特殊的性质。二次函数和一次函数在数学中有着

广泛的应用，可以用来描述各种实际问题和现象。

对于学生来说，掌握二次函数和一次函数的基本概念和性质是非

常重要的，可以帮助他们更好地理解数学知识，提高数学解题的能力。通过比较分析二次函数和一次函数的特点，可以帮助学生更好地理解

它们之间的联系和区别，从而更好地应用它们解决实际问题。

本文将深入探讨二次函数和一次函数的基本概念和性质，比较分

析二次函数和一次函数的区别，以及利用数学思想解决二次函数和一

次函数的问题。同时也将介绍方程的求解方法，并探讨数学思想在解

决二次函数、一次函数及方程问题中的应用。希望通过本文的阐述，

读者能更好地理解和运用数学思想解决相关问题，提高数学解题的能力。

浅谈初中数学二次函数教学中的数学思想方法

摘要：本文从初中数学二次函数教学内容出发，对数学思想方法在相关教学中

的渗透做出简要分析。

关键词：初中数学；数学思想方法；二次函数

新课程标准中明确提出，学生通过义务教育阶段的数学学习，需要获得适应

未来发展所必需的基础数学知识、技能、思想方法和活动经验。因此，教师除了

要在实际教学中注重基础知识和解题技巧的传授与训练，还要对相关的数学思想

方法加以渗透。

一、创设情境，完成导入

创设科学合理且恰当的情境，能够充分调动起学生的探究欲望，并推动课堂

教学的前进和发展。那么初中数学函数知识教学一般都会选在概念知识教学环节

前进行，可供教师所选的题材有数学概念的发现，概念知识的形成及发展，当然

也可以用学生比较熟悉的生活元素进行导入，如超市商品的打折活动、物理中的

平抛运动等等。无论是那一种方式，只有最大限度地贴近学生的认知实际才能够

更好地促进其对数学概念知识的感知和理解，对于其学习兴趣的培养自然也有极

大意义。

以“二次函数的图像与性质”一课为例，课堂教学一开始教师可以为学生出示

两张图片，分别是弯弯的拱桥和雨后的彩虹，引导学生发现这两者之间的共同点。不难发现，这两张图中事物的形态都是弯曲，像一条曲线。由此引出“理解二次函数意义和实质，通过认识和了解抛物线及其概念内涵，学会熟练使用描点法，并

作画二次函数y=ax2的图像。”即本课的主要教学内容。那么这两张图与本课教学之间的联系自然就是一个较好的过渡，因为教师通过学生所具备的认知经验来引

出了未知，并且顺势提出假设，引发思考，将其思维和状态完全带入到对二次函

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题

数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解

决。

一、二次函数问题

1、最值问题

对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。通过求导或者

配方法可以得到二次函数的顶点坐标。但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者

条件限制等方式来解决最值问题。

例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长

和宽分别为多少？

解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。

要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。

将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到

$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到

$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。令$\frac{df}{dw}=0$，得到

$w=\frac{πx^2}{4}$。将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为

$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。

2、交点问题

对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。可以通过解方程或者配方法求解交点。

数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用

摘要：数形结合、方程与函数、建模思想、分类讨论、整体思想、转化化归以及待定系数法、配方法、消元法等都是初中阶段核心的思想方法。二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，掌握思想方法，在解题中的运用技巧，整合所学的知识，能提高分析问题和解决问题的能力。

关键词：二次函数综合问题数学思想方法

函数是“数与代数”领域的核心内容，更是难点所在。二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，能充分体现学生获取数学信息以及运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，因而成为广大师生关注的热点问题。解函数综合问题，要善于借助点的坐标将线段和函数解析式结合起来，通过计算和证明是正确求解的关键。本文以2011年施恩自治州中考数学题为例予以分析。

1 数学实例

【题】：如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=■x+8与x轴交与点A，与y轴交与点C，抛物线y=ɑx2+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B （x0，0），其中x0>0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点。

⑴求点A的坐标，并在图1中的上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；

⑵若△PAC周长的最小值为10+2■，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；

⑶如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O 移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴与点H，设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S 有最大值，并求出最大值；

二次函数中的数学思想

数学思想是数学解题的“灵魂”，总结概括数学思想

有利于透彻地理解所学知识，提高独立分析问题和解决问题的能力。二次函数中隐含着许多重要的数学思想，需要我们去挖掘和运用。归纳起来主要有以下几种。

一、数形结合思想

数形结合思想就是把数、式与图形结合起来考虑，用几何图形直观地反映和描述数量关系，用代数方法来分析几何图形中蕴含的数量关系，从而使问题巧妙快速解决。解决这类题，首先，要注意学会观察，提高图形信息的识别能力，其次，要学会分析和推理，作出正确的判断。

例1，下图都是而此函数y=ax2+bx+a2-1 的图像，若b>0 ，则a 的值等于（ D ）

解析：∵b>0，而抛物线（a）（b）中b0

∴方程x2+（2k+1）x-k2+k=0有两个不相等的实数根。

∴抛物线与X轴有两个不同的交点。

（2）当k=0 时，原抛物线为y=x2+x

由x=0 得y=02+0=0

x2+x=0得x1=0，x2=-1

∴此抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），与X轴的交

点坐标为（0，0），（-1，0）。

三、整体思想

整体思想就是根据问题的整体结构特征，把一组数或一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察、分析、探究问题的一种方法，从而使问题得以简捷巧妙的解决。

例3：如图，矩形ABCD 的长AB=4cm ，宽AD=2cm , op ⊥AB是的中点，,两半圆的直径分别为OA 与OB ，抛物线的顶点是O ，关于OP 对称且经过C、D 两点，求图中阴影部分面积？

解析：由抛物线顶点是O ，关于OP对称且经过C、D 两点，根据抛物线、矩形的对称性可知，S阴=S半圆

二次函数中的数学思想

一、数形结合思想

在图形中隐含着数的关系，这时若能运用数的规律，来探究形的特征，可使感性的“形”多一些“理性”.

例 1 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图

所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；

④930a b c ++<．

其中，正确结论的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解析：解决这类问题应从两个方面入手，一是看图象的

开口方向、对称轴、与y 轴交点的位置；二是根据图象确定

当自变量x 取某些特殊值时，对应的函数值的符号.

因为图象与x 轴有两个交点，所以240b ac ->，所以①

正确. 因为图象的开口向上，所以a ＞0；由图象的对称轴直线x =1，可得－a

b 2=1，所以b = -2a ，所以b ＜0；由图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，所以

c ＜0，所以abc ＞0，所以②正确.

由图象可知，当x =-2时，y =4a-2b+c ＞0，又b = -2a ，所以4a+4a +c ＞0，即8a+c ＞0，所以③正确.

根据图象的对称性，图象与x 轴的另一个交点B 到对称轴直线x =1的距离大于2，所以交点坐标大于3，所以当x =3时，y =9a +3b +c ＜0，所以④正确.

故选D.

二、数学建模思想

能根据问题中的数量关系，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质解决实际问题（如求最大值与最小值），这就是建立二次函数模型解决实际问题的思想.

例2 （2013年滨州市）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法是数学学科的核心，其重要性不言而喻。在二次函数中，数学思想方法

的应用尤为明显，它能够帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质和特点。本文将重点

介绍数学思想方法在二次函数中的应用。

数学思想方法之一是归纳法。在二次函数中，我们通过观察某些特殊情况下的曲线来

发现一般规律。在观察二次函数的图像时，我们发现当二次函数的二次项系数大于0时，

图像开口朝上，当二次项系数小于0时，图像开口朝下。通过这种观察，我们可以归纳出“二次项系数的正负与二次函数图像开口的方向相对应”的规律。

数学思想方法之二是对证法。在二次函数中，我们常常需要证明某些关于二次函数性

质的定理或公式。对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望证明其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。我们可以通过对二次函数进行配方变换，再利用数学方法进行推导，最终得到该结论。这个过程充分体现了对证法的应用。

数学思想方法之三是分析法。在二次函数中，我们经常需要分析二次函数的增减性、

极值点、拐点等。当二次函数的二次项系数大于0时，我们可以通过求解一阶导数f'(x) = 2ax + b的根来确定二次函数的增减性和极值点。当二次项系数小于0时，我们可以通过求解一阶导数的根来确定二次函数的增减性、极值点和拐点。通过这种分析方法，我们可以

更直观地了解二次函数的性质和特点。

数学思想方法之四是抽象方法。在二次函数中，我们常常通过抽象的方式来处理问题。我们可以将二次函数拆分成两个一次函数的和或差，从而更方便地进行分析。又如，我们

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法在二次函数中的应用作者：庄梅芳

来源：《读与写·上旬刊》2019年第11期

摘要：数学思想方法在二次函数中的应用，蕴含的数学思想方法集中，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会，涉及到的知识点多，掌握思想方法，在解题中的运用技巧，整合所学的知识，学生能提高分析问题和解决问题的能力。

关键词：数学思想方法在二次函数中的应用;分类讨论思想;转化思想;方程思想;数形结合

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2019）31-0143-02

1.分类讨论思想在二次函数中的应用

分类讨论思想是一种重要的数学思想，在解决二次函数问题时经常用到。许多二次函数问题，往往在相同的题设下，会产生几种不同的结果，这就需要借助于分类讨论思想按照同一标准，确定分类对象，把可能存在的一切情况都列举出来，一一加以研究，然后进行归纳，合并，综合得出结论。

例1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0），它与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，试求S△AoC+S△BoC

2.转化思想在二次函数中的应用

转化思想是一种最基本的数学思想，是解决二次函数问题不可忽视的方法。二次函数的问题一般都是综合性很强的题目，如何把复杂的问题向简单的问题转化，是解题成败的关键所在。转化思想在二次函数中运用的思想一般是把生活、生产、科研中的实际问题通过建立数学模型转化为数学问题;把几何问题转化为函数问题;把位置关系转化为数量关系;把非常规问题转化为常规问题，最终实现未知向已知的转化，从而使问题得到解决。