中考二次函数复习典型题.ppt

[解析] 建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为 y＝ax2 ＋bx＋c，A(0.5，－1.5)，B(2,0), O(0,0)，所以 a＝2，b＝－4， c＝0，所以解析式为 y＝2x2－4x，所以顶点坐标为(1，－2)， 即最低点距地面的距离为 2.5－2＝0.5(米)．
10．某商店经营一种小商品，进价为 2.5 元，据市场调查， 销售单价是 13.5 元时，平均每天销售量是 500 件，而销售单 价每降低 1 元，平均每天就可以多售出 100 件． (1)假设每件商品降低 x 元，商店每天销售这种小商品的利润 是 y 元，请你写出 y 与 x 之间的函数关系式，并注明 x 的取 值范围；
图 17－2
解： (2)∵抛物线 y＝13x2＋bx＋c 经过点 C(1,0)， 点 D(－2,3)， 代入，解得 b＝－23，c＝13.
∴所求抛物线解析式为 y＝13x2－23x＋13.
考点2 二次函数与几何图形
4.如图 17－3，正方形 ABCD 的边长为 1，E，F，G， H 分别为各边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH，设小 正方形 EFGH 的面积为 S，AE 为 x，则 S 关于 x 的
种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定
为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？ 每天的最大利润是多少？
[解析] (1)相等关系：甲、乙两种商品的进货单价之和是 5 元； 购买甲商品 3 件和乙商品 2 件，共付了 19 元．
(2)利润＝(售价－进价)×件数．
(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品 的利润最大？最大利润是多少？
(注：销售利润＝销售收入－购进成本)
解： (1)降低 x 元后，所销售的件数是(500＋100x)，y＝(13.5－ x－2.5)(500＋100x)＝－100x2＋600x＋5500 (0＜x≤11)． (2)y＝－100x2＋600x＋5500 (0＜x≤11 )配方得 y＝－100(x－3)2＋6400. 当 x＝3 时，y 的最大值是 6400 元．即降价为 3 元时，利润最 大．所以销售单价为 10.5 元时，利润最大，最大利润为 6400 元．
二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题 通常是先求出两个变量的一次函数关系，再求二次函数关系，然后转 化为求二次函数的最值．
情况，如下表：
月份 1 月
5月
销售量 3.9 万台 4.3 万台
求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？
最大是多少？
解： 设 p 与 x 的函数关系为 p＝kx＋b(k≠0)，
根据题意，得k5＋ k＋b＝ b＝3.49.3，.
解得kb＝ ＝03..18.， 所以 p＝0.1x＋3.8.
设月销售金额为 w 万元， 则 w＝py＝(0.1x＋3.8)(－50x＋2600)． 化简，得 w＝－5x2＋70x＋9880， 所以，w＝－5(x－7)2＋10125. 当 x＝7 时，w 取得最大值，最大值为 10125. 答：该品牌电视机在去年 7 月份销往农村的销售金额最大， 最大是 10125 万元．
A．3.5 m
B．4 m
图 17－7 C．4.5 m
D．4.6 m
[解析] 把 y＝3.05 代入函数关系式，解得 x1＝1.5，x2＝－1.5(舍 去)，结合小敏站在题图所示的 y 轴左侧 2.5 m 处，2.5＋1.5＝4 (m)．
8．如图 17－8 所示，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度
6．如图 17－6，抛物线 y＝ax2＋bx 经过点 A(4,0)，B(2,2)，连 接 OB，AB. (1)求该抛物线的解析式； (2)求证：△OAB 是等腰直角三角形．
图 17－6
解： (1)由题意得146aa＋＋24bb＝＝20，，
解得a＝－21， b＝2，
∴该抛物线的解析式为 y＝－12x2＋2x.
类型之二 二次函数在销售问题方面的应用
命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用
利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
图 17－2
请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ (2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查 发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可 各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两
第18讲 二次函数的应用
│考点随堂练│
考点1 二次函数与一次函数、反比例函数的综合
1.如图 17－1，抛物线 y＝x2＋1 与双曲线 y＝kx的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式kx＋x2＋1 < 0 的解集是( D ) A．x > 1 B．x<－1 C．0 < x<1 D．－1 < x< 0
h(单位：m)与小球运动时间 t(单位：s)之间的关系式为 h＝30t－5t2，
那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( A )
A．6 s
B．4 s
C．3 s
D．2 s
图 17－8
[解析] 小球抛出离手前的瞬间距地面 0 m，小球抛出后经历一 段时间落地又距地面 0 m，由此设 h＝0，得 30t－5t2＝0，解得 t＝0 或 6,6－0＝6(s)，所以选 A.
(2)证明：过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，则 OC＝BC＝AC，
∴∠BOC＝∠OBC＝∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠OBA＝90°，OB＝AB，
∴△OAB 是等腰直角三角形．
考点3 二次函数与生产生活问题
7.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y＝－15x2＋3.5 的一部分(如图 17－7)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 是( B )
5．如图 17－5，用长为 18 m 的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成 矩形苗圃． (1)设矩形的一边长为 x(m)，面积为 y(m2)，求 y 关于 x 的函数关 系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)当 x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
图 17－5
3．如图 17－2 所示，已知点 B(1,3)、C(1,0)，直线 y＝x＋k 经 过点 B，且与 x 轴交于点 A，将△ABC 沿直线 AB 折叠得到△ ABD. (1)填空：A 点坐标为(__－__2____，___0_____)， D 点坐标为(___－__2___，___3_____)； (2)若抛物线 y＝13x2＋bx＋c 经过 C、D 两点，求抛物线的解析 式．
归类示例
类型之一 二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1．二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛物线形 问题 2．二次函数解决拱桥、护栏等问题
王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满 足抛物线 y＝－15x2＋85x，其中 y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的 水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2 m.
解：(1)y＝－15x2＋85x＝－15(x－4)2＋156. ∴抛物线 y＝－15x2＋85x 开口向下，顶点为4，156，对称轴为 x＝4. (2)令 y＝0，得－15x2＋85x＝0， 解得 x1＝0，x2＝8. ∴球飞行的最大水平距离是 8 m.
(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距 离为 10 m.
图 17－1 [解析] 由kx＋x2＋1 < 0，kx<－x2－1，即 y＝kx与 y＝－x2－1 交点的横坐标为－1，所以－1 < x< 0 时，kx<－x2－1.
2．某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价
y(元)与月份 x 之间满足函数关系 y＝－50x＋2600，去年的月销
售量 p(万台)与月份 x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售
9．如图 17－9，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳 子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那 棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的 距离为___0_.5_____米．
图 17－9
∴抛物线的对称轴为 x＝5，顶点为5，156. 设此时对应的抛物线解析式为 y＝a(x－5)2＋156， 又∵点(0,0)在此抛物线上，∴25a＋156＝0， a＝－11265， 所以解析式为 y＝－11265(x－5)2＋156.
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的 特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问 题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求 出的结果转化为实际问题的答案．
(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)请求出球飞行的最大水平距离； (3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且 球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式．
图 17－1
[解析] (1)由飞行路线满足抛物线，结合抛物线的性质，容易得 到开口方向、顶点坐标、对称轴；(2)要想求出球飞行的最大水平距 离，实际就是求出抛物线与x轴的另外一个交点的坐标；对于(3)需 要重新建立一个解析式，但此抛物线已经知道了和x轴的两个交点和 顶点坐标．
函数图象大致是( B )
图 17－3
A
B
C
D
[解析] S＝1－12x(1－x)×4，整理图得1，7－S＝4 2x－122＋12，抛物线开口
向上，顶点为12，12.
解： (1) 由已知，矩形的另一边长为(18－x)m，则 y＝－x2＋ 18x，自变量 x 的取值范围是 0＜x＜18. (2)∵y＝－x2＋18x＝－(x－9)2＋81，∴ 当 x＝9 时(0<x<18)苗 圃的面积最大，最大面积是 81 m2. 又解：∵a＝－1＜0，y 有最大值． ∴当 x＝－2×18－1＝9 时(0<x<18)，y 最大值＝40×－－1812＝81 m2.
解：(1)设甲商品的进货单价是 x 元，乙商品的进货单价是 y 元．
x＋y＝5， 根据题意，得3x＋1＋22y－1＝19，
x＝2， 解得y＝3. 答：甲商品的进货单价是 2 元，乙商品的进货单价是 3 元． (2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为 s 元，则 s＝(1－m)5Hale Waihona Puke Baidu0＋100×0m.1＋(5－3－m)300＋100×0m.1. 即 s＝－2000m2＋2200m＋1100 ＝－2000(m－0.55)2＋1705. ∴当 m＝0.55 元时，s 有最大值，最大值为 1705. 答：当 m 定为 0.55 时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润 最大，每天的最大利润是 1705 元．