多元正态分布二次型分布的推广
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该 定理 的证 明从 略 （参 阅文 献 ［４］）．下 面做 推
６６
高 等 数 学 研 究
２０１８年 ７月
广 ，首 先 将 Ｊ 推 广 到 一 般 的非 奇 异 的 协 方 差 矩 阵 则 由定 理 １，
利用 定 理 １的结 果 ，可有 如 下推 论 ，
．
Ｘ ＢＸ 一 （ｙ＋ Ｚ），Ａ＇ＢＡ（１ｒ＋ Ｚ）
异 正 态 分 布 的 情 况 ．
关 键 词 多元 正 态分 布 ；二 次 型 ；非 中心 卡 方 分 布
中 图分 类 号 ０２９
文 献 标 识 码 Ａ
文 章 编 号 １００８—１３９９（２０１８）０４—００６５—０２
Ｏｎ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｑｕａｄｒａｔｉｃ Ｆｏｒｍ ｏｆ Ｎｏｒｍａｌ Ｖａｒｉａｂｌｅ
推论 １ 若 ｘ～Ｎ （ ，三），Ｂ为 Ｐ×Ｐ阶 对 称矩 服从非 中心 的 ］（。分 布 的充 分 必 要 条 件 为 Ａ ＢＡ 为
阵 ，则 ｘ ＢＸ 服从 非 中心 的 分 布 的充 分 必 要 条件 幂 等矩 阵 ，即
为 为 幂 等 矩 阵 ，其 中 分 布 的 自 由度 为 志一
２ 主 要 结 果
我们 采 用 文 献 ［４３中 的结 果 作 为 出发 点 ，定 理 如 下 ，
定 理 １ 若 ｘ～Ｎｐ（ｐ，Ｉｐ），Ｂ为 Ｐ×Ｐ阶对称 矩 阵 ，则 ｘ Ｂｘ 服从 非 中心 的 。分 布 的充 分 必 要条 件 为 Ｂ为 幂等 矩 阵 （Ｂ。：曰），其 中 。分 布 的 自由度 为 ｋ—ｒａｎｋ（Ｂ）＝ｔｒＢ，非 中心参 数 一ＩＩＩ ．
第 ２１卷 第 ４期 ２０１８年 ７月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭＡＴＩＣＳ
ｄｏｉ：１０。３９６９／Ｊ．ｉｓｓｎ，１００８—１３９９．２０１８．０４．０２０
ＶＯ１．２１，Ｎｏ．４ Ｊｕｌｙ，２０１８
多 元 正 态 分 布 二 次 型 分 布 的 推 广
修 改 日期 ：２０１７—１１—２５
基 金项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 （６１５０３３１８），山 东 省 高 校 科 研 计 划 项
目 （Ｊ１３Ｌ１０６）．
作 者 简 介 ：李 斐 （１９８２一 ），女 ，山 东 烟 台 ，博 士 ，讲 师 ，研 究 方 向 为 多
Baidu Nhomakorabea
元 统 计 分 析 ，Ｅｍａｉｌ：ｆｅｉｌｉ＠ｙｔｕ．ｅｄｕ．ｅｎ
１ 引 言
多 元 正 态 分 布 的性 质 是 统 计 学 中 的 重 要 教 授 内容 ，多元正 态 随机 向量 的 二 次 型分 布是 其 中 的一 个 重要 性质 ，在 后续 的多 元 正 态 分 布 均 值 检 验 中有 重 要 的 应 用 ．
在 多数 教 材 （３ｃ献［１，２］）中该 性 质 表 述 为 ：ｘ～ Ｎｐ（ ，三）， 为 Ｐ×Ｐ阶 的非奇 异矩 阵 ，则有
（ｘ － ｐ） 一。（ｘ － ｐ）～ （ ）．
即相 当于若 ｙ～Ｎｐ（０， ），则 ｙ ｌ，～ 。（ｐ）． 该 结 果 要 求 协 方 差 矩 阵 是 非 奇 异 的 ，文 献
［３，４，５］均 定义 了奇 异 的 多维 正 态 分 布 ，文 献 Ｅ３－１还
收 稿 日期 ：２０１７—１０—１１
Ａ ＢＡ Ａ ＢＡ ＝ ＡｔＢＡ ｚＢ∑Ｂ 一 ｚＢ ，
ｒａｎｋ（Ｂ），非 中心参 数 艿＝ｐ Ｂｐ．
自由度 ｋ— ｒａｎｋ（Ａ ＢＡ）一 ｒａｎｋ（Ｂ ），非 中 心 参 数
李 斐 ，吕 文 ，李 琴
（烟 台 大学 数 学 与信 息 科 学 学 院 ，山东 烟 台 ２６４００５）
摘 要 通 过 利 用 矩 阵 广 义 逆 和 多元 正 态 分 布 的 相 关性 质 ，给 出 并证 明 了 Ｐ维 正 态 向量 Ｘ 的二 次 型 Ｘ ＢＸ 的 分 布
的 一般 结 果 ，即 ｘ～ Ｎｐ（Ｊｌｌ， ）（ 为 奇 异 矩 阵）时 ，Ｘ ＢＸ 的 分 布 ．最 后 将 线 性 模 型 中 感 兴 趣 的 一 个 结 果 推 广 到 了奇
ＬＩ Ｆｅｉ，ＬＶ Ｗ ｅｎ，ａｎｄ ＬＩ Ｑｉｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍ ａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｙａｎｔａｉ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｔａｉ ２６４００５，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｑｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ， ｗｅ ｄｅｄｕｃｅ ａ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ｏｆ ｍ ｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍ ａｌ ｖａｒｉａｂｌｅ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｓｉｎ— ｇｕｌａｒ ｍ ａｔｒｉｘ． Ａ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｉｎ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ａｌｓｏ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ ｍ ａｔｒｉｘ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍ ａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ，ｎｏｎ—ｃｅｎｔｒａｌ Ｃｈｉ Ｓｑｕａｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
给 出 了奇异 Ｗｉｓｈａｒｔ分 布 的定 义 ，文献 ［４３将 上 述 二 次 型结 果推 广 到 了非 中心 的情 况 ，即 ≠ ０．但 对 当 协 方差 矩 阵 三 是 奇 异 的情 况 ，并 未 多做 研 究 （仅 给 出了 ｐ＝ ０时 的结 果 ）．我 们 希 望 借 助 一 个 基 本 定 理 ，将 其它 现 有 结 论 作 为 该 定 理 的推 论 ，系统 地 梳 理 现有 结论 之 间 的关 系 ，统 一 证 明方 法 ．并 在 此 基 础 上 ，给 出最一 般 情 况 即 ｙ～ Ｎｐ（ｐ， ），ｒａｎｋ（２Ｄ— ｒ≤Ｐ时二 次 型 ｌ， 一ｌ，的分布 ．
６６
高 等 数 学 研 究
２０１８年 ７月
广 ，首 先 将 Ｊ 推 广 到 一 般 的非 奇 异 的 协 方 差 矩 阵 则 由定 理 １，
利用 定 理 １的结 果 ，可有 如 下推 论 ，
．
Ｘ ＢＸ 一 （ｙ＋ Ｚ），Ａ＇ＢＡ（１ｒ＋ Ｚ）
异 正 态 分 布 的 情 况 ．
关 键 词 多元 正 态分 布 ；二 次 型 ；非 中心 卡 方 分 布
中 图分 类 号 ０２９
文 献 标 识 码 Ａ
文 章 编 号 １００８—１３９９（２０１８）０４—００６５—０２
Ｏｎ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｑｕａｄｒａｔｉｃ Ｆｏｒｍ ｏｆ Ｎｏｒｍａｌ Ｖａｒｉａｂｌｅ
推论 １ 若 ｘ～Ｎ （ ，三），Ｂ为 Ｐ×Ｐ阶 对 称矩 服从非 中心 的 ］（。分 布 的充 分 必 要 条 件 为 Ａ ＢＡ 为
阵 ，则 ｘ ＢＸ 服从 非 中心 的 分 布 的充 分 必 要 条件 幂 等矩 阵 ，即
为 为 幂 等 矩 阵 ，其 中 分 布 的 自 由度 为 志一
２ 主 要 结 果
我们 采 用 文 献 ［４３中 的结 果 作 为 出发 点 ，定 理 如 下 ，
定 理 １ 若 ｘ～Ｎｐ（ｐ，Ｉｐ），Ｂ为 Ｐ×Ｐ阶对称 矩 阵 ，则 ｘ Ｂｘ 服从 非 中心 的 。分 布 的充 分 必 要条 件 为 Ｂ为 幂等 矩 阵 （Ｂ。：曰），其 中 。分 布 的 自由度 为 ｋ—ｒａｎｋ（Ｂ）＝ｔｒＢ，非 中心参 数 一ＩＩＩ ．
第 ２１卷 第 ４期 ２０１８年 ７月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭＡＴＩＣＳ
ｄｏｉ：１０。３９６９／Ｊ．ｉｓｓｎ，１００８—１３９９．２０１８．０４．０２０
ＶＯ１．２１，Ｎｏ．４ Ｊｕｌｙ，２０１８
多 元 正 态 分 布 二 次 型 分 布 的 推 广
修 改 日期 ：２０１７—１１—２５
基 金项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 （６１５０３３１８），山 东 省 高 校 科 研 计 划 项
目 （Ｊ１３Ｌ１０６）．
作 者 简 介 ：李 斐 （１９８２一 ），女 ，山 东 烟 台 ，博 士 ，讲 师 ，研 究 方 向 为 多
Baidu Nhomakorabea
元 统 计 分 析 ，Ｅｍａｉｌ：ｆｅｉｌｉ＠ｙｔｕ．ｅｄｕ．ｅｎ
１ 引 言
多 元 正 态 分 布 的性 质 是 统 计 学 中 的 重 要 教 授 内容 ，多元正 态 随机 向量 的 二 次 型分 布是 其 中 的一 个 重要 性质 ，在 后续 的多 元 正 态 分 布 均 值 检 验 中有 重 要 的 应 用 ．
在 多数 教 材 （３ｃ献［１，２］）中该 性 质 表 述 为 ：ｘ～ Ｎｐ（ ，三）， 为 Ｐ×Ｐ阶 的非奇 异矩 阵 ，则有
（ｘ － ｐ） 一。（ｘ － ｐ）～ （ ）．
即相 当于若 ｙ～Ｎｐ（０， ），则 ｙ ｌ，～ 。（ｐ）． 该 结 果 要 求 协 方 差 矩 阵 是 非 奇 异 的 ，文 献
［３，４，５］均 定义 了奇 异 的 多维 正 态 分 布 ，文 献 Ｅ３－１还
收 稿 日期 ：２０１７—１０—１１
Ａ ＢＡ Ａ ＢＡ ＝ ＡｔＢＡ ｚＢ∑Ｂ 一 ｚＢ ，
ｒａｎｋ（Ｂ），非 中心参 数 艿＝ｐ Ｂｐ．
自由度 ｋ— ｒａｎｋ（Ａ ＢＡ）一 ｒａｎｋ（Ｂ ），非 中 心 参 数
李 斐 ，吕 文 ，李 琴
（烟 台 大学 数 学 与信 息 科 学 学 院 ，山东 烟 台 ２６４００５）
摘 要 通 过 利 用 矩 阵 广 义 逆 和 多元 正 态 分 布 的 相 关性 质 ，给 出 并证 明 了 Ｐ维 正 态 向量 Ｘ 的二 次 型 Ｘ ＢＸ 的 分 布
的 一般 结 果 ，即 ｘ～ Ｎｐ（Ｊｌｌ， ）（ 为 奇 异 矩 阵）时 ，Ｘ ＢＸ 的 分 布 ．最 后 将 线 性 模 型 中 感 兴 趣 的 一 个 结 果 推 广 到 了奇
ＬＩ Ｆｅｉ，ＬＶ Ｗ ｅｎ，ａｎｄ ＬＩ Ｑｉｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍ ａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｙａｎｔａｉ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｔａｉ ２６４００５，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｑｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ， ｗｅ ｄｅｄｕｃｅ ａ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ｏｆ ｍ ｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍ ａｌ ｖａｒｉａｂｌｅ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｓｉｎ— ｇｕｌａｒ ｍ ａｔｒｉｘ． Ａ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｉｎ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ａｌｓｏ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ ｍ ａｔｒｉｘ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍ ａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ，ｎｏｎ—ｃｅｎｔｒａｌ Ｃｈｉ Ｓｑｕａｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
给 出 了奇异 Ｗｉｓｈａｒｔ分 布 的定 义 ，文献 ［４３将 上 述 二 次 型结 果推 广 到 了非 中心 的情 况 ，即 ≠ ０．但 对 当 协 方差 矩 阵 三 是 奇 异 的情 况 ，并 未 多做 研 究 （仅 给 出了 ｐ＝ ０时 的结 果 ）．我 们 希 望 借 助 一 个 基 本 定 理 ，将 其它 现 有 结 论 作 为 该 定 理 的推 论 ，系统 地 梳 理 现有 结论 之 间 的关 系 ，统 一 证 明方 法 ．并 在 此 基 础 上 ，给 出最一 般 情 况 即 ｙ～ Ｎｐ（ｐ， ），ｒａｎｋ（２Ｄ— ｒ≤Ｐ时二 次 型 ｌ， 一ｌ，的分布 ．