7.1 最佳接收准则的相关接收机 09
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2018/8/8 通信系统原理-7
22
ML准则
Pai , bi Psi t Psi t | r t Pra , rb | ai , bi Pr t | si t Pra , rb Pr t
一般信息是先验等概的，因此比较P(s1(t)|r(t)) 和 P(s2(t)|r(t)) ，等价于比较P(ra,rb|a1,b1) 和P(ra,rb|a2,b2) ， 等价于比较P(r(t)|s1(t)) 和P(r(t)|s2(t)) 因为P(r(t)|si(t)) ，或者P(ra,rb|ai,bi)也叫似然概率或似然 函数，所以MAP准则演化为ML准则
相关器
判发s1 t
E1 2
2
dt
r t
s2 t
2018/8/8
dt
过零 判决
若E1=E2 ?
30
通信系统原理-72
E 2
相关接收机
另一形式
等价于
判发s1 t
2 r t s2 t dt E2
-
判发s2 t
2 r t s t dt E
- 1
1
判发s1 t
r t s t s t dt
2018/8/8 通信系统原理-7 15
E1fa t i 1 则 si t afa t bfb t i 2
图解
二元信号可以表示 成平面上的两个点
fb t
s1 t a1, b1
t f t cos c
a2 , b2
s1(t)或s2(t)
2018/8/8 通信系统原理-7
r(t)=si(t)+nw(t)
4
二元通信：发送端
二元通信发送两种波形以表达两种信息
It tomorrow the homework deadline ?
“Yes, the deadest ” “Eh, not yet ”
2018/8/8
通信系统原理-7
2
7.1最佳接收准则与相关接收机
1. 2. 3. 4. 数字信号的最佳接收问题 MAP准则与理想接收机模型 最小均方误差准则与相关接收机 最大输出信噪比准则与匹配滤波器
2018/8/8
通信系统原理-7
3
二元通信系统
高斯白噪声nw(t)
0或1 Transmitter Channel Receiver 0或1
通信系统原理-7
判决
2018/8/8
10
如何实现MAP准则?
如何用电子器件实现后验概率计算？ 求解思路：
把随机函数形式的条件概率转化成随机变量 形式的条件概率
信号空间上的信号描述
2018/8/8
通信系统原理-7
11
Proposition
任意二元信号s1(t)、s2(t)，一定可以表达成
最佳接收机的最小均方误差判决规则
判发s1 t
r t s t dt
2 - 2
判发s2 t
r t s t dt
2 - 1
即
判发s1 t
2 r t s2 t dt E2
-
2018/8/8
2 通信系统原理 -7
r t rafa t rbfb t vt
ra r t fa t dt
si t nw t fa t dt ai na
rb r t fb t dt
si t nw t fb t dt bi nb
通信系统原理
北京交通大学 电子信息工程学院 通信工程教研室 郭宇春
2018/8/8
通信系统原理-7
1
Chap.7 数字信号最佳接收
1. 2. 3. 4. 5. 最佳接收准则与相关接收机 匹配滤波器 最佳接收误码性能分析 CPFSK和MSK信号误码分析 随相信号最佳接收
2018/8/8
通信系统原理-7
先验概率： a priori probability
未获任何观察的情况下预先知道的发送s1(t)或s2(t)的概率
Ps1 t P 1
后验概率
Ps2 t P2 Ps2 t | r t
9
观察到r(t)的条件下，发送s1(t)或s2(t)的概率
Ps1 t | r t
5
二元通信：接收端
接收端试图从受噪声干扰的波形中识别出 发送信息 Which one？
s1 t r t
2018/8/8 通信系统原理-7
s2 t
6
最佳接收问题
观察到r(t)，接收机该怎么做才是最佳？ 最佳的含义？
误码率最小
判决准则如何设计？
2018/8/8
通信系统原理-7
si t aif t
或者
i 1,2
(A)
si t aifa t bifb t
i 1,2 (B)
其中f(t)或者fa(t)、fb(t)能量为1， fa(t)、fb(t)相互正 交
2018/8/8
通信系统原理-7
12
证明（1）
如果s1(t)、s2(t)中有一个是0。不妨设s1(t) 不为0，其能量为E1。令
2018/8/8 通信系统原理-7 14
证明 (3)
若不属于前两种情况，令
fa t s1 t
ut s2 t fa t s2 t fa t dt
E1
s2(t)在fa(t) 上的投影
fb t ut
u t dt
2
其中 a s2 t fa t dt b s2 t fb t dt
ML：Maximum Likelihood 最大似然 若先验概率不等概，则演化为似然比准则（思考题）
2018/8/8 通信系统原理-7 23
ra、rb的特性
ra r t fa t dt
si t ni t fa t dt ai na
通信系统原理-7
fa t
19
信号距离
可以证明
思考题
2
ra ai rb bi
2
r t si t dt Ev
2
定义：信号r(t)和si(t)之间的欧氏距离为
d E r t , si t
r t s t dt
s1 t f t E1
E1f t i 1 si t 0 f t i 2
通信系统原理-7 13
则
2018/8/8
证明（2）
如果s2(t)=ks1(t)，令
s1 t f t E1
E1f t i 1 si t k E1f t i 2
2018/8/8
s1 t
ra a1 2 rb b1 2
a1 , b1
ra , rb
ra a2 2 rb b2 2
s2 t
a2 , b2
通信系统原理-7
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最小均方误差准则
ra ai rb bi
2 2
2 r t si t dt Ev
2018/8/8
通信系统原理-7
MAP准则与理想接收机模型
MAP准则
Ps t | r t
1
判发s1 t
Ps2 t | r t
判发s2 t
MAP准则不保证判断结果一定正确，但保证判断正确概率 最大，即误码率最小
理想接收机模型
r t
Ps1 t | r t Ps2 t | r t
2 i
通信系统原理-7 20
2018/8/8
ra ai rb bi
2
r t rafa t rbfb t vt
2
r t si t dt Ev
2
r t
2 r t s t dt i
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信号空间图示
fb t
s1 t
a1, b1
ra , Biblioteka Baidub
nb na
25
a2 , b2
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s2 t
fa t
似然函数
ra=ai+na， rb=bi+nb 相互独立的高斯过程
pra | ai prb | bi 1 2 2 1 2
fb t
ra , rb
2018/8/8
ai , bi si t
通信系统原理-7
ra ai 2 rb bi 2
fa t
21
应用MAP准则
计算后验概率并比较其大小
Psi t | r t Pai , bi | ra , rb , vt Pai , bi | ra , rb Pai , bi Pra , rb | ai , bi Pra , rb Psi t Pr t | si t Pr t
7
7.1最佳接收准则与相关接收机
1. 2. 3. 4. 数字信号的最佳接收问题 MAP准则与理想接收机模型 最小均方误差准则与相关接收机 最大输出信噪比准则与匹配滤波器
2018/8/8
通信系统原理-7
8
MAP准则
MAP：最大后验概率
Maximum a posteriori probability a posteriori: 拉丁文后验的意思
2018/8/8
通信系统原理-7
27
最小均方误差准则
r a r b 最佳接收判决准 1 2 e 则：最小信号距 pra , rb | ai , bi 2 2 离
a i 2 b i 2 2
比较平面上接收 信号点(ra,rb)到两 个可能发送信号 点(a1,b1)和点(a2,b2) 的距离，谁近就 判发谁 我们教材称最小 均方误差准则
rb r t fb t dt
si t ni t fb t dt bi nb
nb ni t fb t dt
ra=ai+na， rb=bi+nb
na ni t fa t dt
易证：na ，nb独立且服从N(0, 2)分布（思考题）
2
e e
ra ai 2
2 2
rb bi 2
2 2
pra , rb | ai , bi
2018/8/8
1 2
2
e
ra ai 2 rb bi 2
2 2
通信系统原理-7
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7.1最佳接收准则与相关接收机
1. 2. 3. 4. 数字信号的最佳接收问题 MAP准则与理想接收机模型 最小均方误差准则与相关接收机 最大输出信噪比准则与匹配滤波器
思考: 证明 (*)
Ent si t 0 n(t)和s1(t)、s2(t)不相关 (*)
2018/8/8 通信系统原理-7 18
r t rafa t rbfb t vt
r t
fb t
a1 , b1
2018/8/8
ra , rb a2 , b2
判发s t
2 r t s t dt E
- 1
1
29
相关接收机
依据此判决准 2 r t s1 t dt E1 则设计的最佳 2- r t s2 t dt E2 - 接收机 判发 s t
相关接收机
s1 t
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f t a s2 t f t cos ct
16
图解
fb t
0.95,0.30
fa t
s2 t a2fa t b2fb t
s1 t fa t
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接收信号
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ML准则
Pai , bi Psi t Psi t | r t Pra , rb | ai , bi Pr t | si t Pra , rb Pr t
一般信息是先验等概的，因此比较P(s1(t)|r(t)) 和 P(s2(t)|r(t)) ，等价于比较P(ra,rb|a1,b1) 和P(ra,rb|a2,b2) ， 等价于比较P(r(t)|s1(t)) 和P(r(t)|s2(t)) 因为P(r(t)|si(t)) ，或者P(ra,rb|ai,bi)也叫似然概率或似然 函数，所以MAP准则演化为ML准则
相关器
判发s1 t
E1 2
2
dt
r t
s2 t
2018/8/8
dt
过零 判决
若E1=E2 ?
30
通信系统原理-72
E 2
相关接收机
另一形式
等价于
判发s1 t
2 r t s2 t dt E2
-
判发s2 t
2 r t s t dt E
- 1
1
判发s1 t
r t s t s t dt
2018/8/8 通信系统原理-7 15
E1fa t i 1 则 si t afa t bfb t i 2
图解
二元信号可以表示 成平面上的两个点
fb t
s1 t a1, b1
t f t cos c
a2 , b2
s1(t)或s2(t)
2018/8/8 通信系统原理-7
r(t)=si(t)+nw(t)
4
二元通信：发送端
二元通信发送两种波形以表达两种信息
It tomorrow the homework deadline ?
“Yes, the deadest ” “Eh, not yet ”
2018/8/8
通信系统原理-7
2
7.1最佳接收准则与相关接收机
1. 2. 3. 4. 数字信号的最佳接收问题 MAP准则与理想接收机模型 最小均方误差准则与相关接收机 最大输出信噪比准则与匹配滤波器
2018/8/8
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3
二元通信系统
高斯白噪声nw(t)
0或1 Transmitter Channel Receiver 0或1
通信系统原理-7
判决
2018/8/8
10
如何实现MAP准则?
如何用电子器件实现后验概率计算？ 求解思路：
把随机函数形式的条件概率转化成随机变量 形式的条件概率
信号空间上的信号描述
2018/8/8
通信系统原理-7
11
Proposition
任意二元信号s1(t)、s2(t)，一定可以表达成
最佳接收机的最小均方误差判决规则
判发s1 t
r t s t dt
2 - 2
判发s2 t
r t s t dt
2 - 1
即
判发s1 t
2 r t s2 t dt E2
-
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2 通信系统原理 -7
r t rafa t rbfb t vt
ra r t fa t dt
si t nw t fa t dt ai na
rb r t fb t dt
si t nw t fb t dt bi nb
通信系统原理
北京交通大学 电子信息工程学院 通信工程教研室 郭宇春
2018/8/8
通信系统原理-7
1
Chap.7 数字信号最佳接收
1. 2. 3. 4. 5. 最佳接收准则与相关接收机 匹配滤波器 最佳接收误码性能分析 CPFSK和MSK信号误码分析 随相信号最佳接收
2018/8/8
通信系统原理-7
先验概率： a priori probability
未获任何观察的情况下预先知道的发送s1(t)或s2(t)的概率
Ps1 t P 1
后验概率
Ps2 t P2 Ps2 t | r t
9
观察到r(t)的条件下，发送s1(t)或s2(t)的概率
Ps1 t | r t
5
二元通信：接收端
接收端试图从受噪声干扰的波形中识别出 发送信息 Which one？
s1 t r t
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s2 t
6
最佳接收问题
观察到r(t)，接收机该怎么做才是最佳？ 最佳的含义？
误码率最小
判决准则如何设计？
2018/8/8
通信系统原理-7
si t aif t
或者
i 1,2
(A)
si t aifa t bifb t
i 1,2 (B)
其中f(t)或者fa(t)、fb(t)能量为1， fa(t)、fb(t)相互正 交
2018/8/8
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12
证明（1）
如果s1(t)、s2(t)中有一个是0。不妨设s1(t) 不为0，其能量为E1。令
2018/8/8 通信系统原理-7 14
证明 (3)
若不属于前两种情况，令
fa t s1 t
ut s2 t fa t s2 t fa t dt
E1
s2(t)在fa(t) 上的投影
fb t ut
u t dt
2
其中 a s2 t fa t dt b s2 t fb t dt
ML：Maximum Likelihood 最大似然 若先验概率不等概，则演化为似然比准则（思考题）
2018/8/8 通信系统原理-7 23
ra、rb的特性
ra r t fa t dt
si t ni t fa t dt ai na
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fa t
19
信号距离
可以证明
思考题
2
ra ai rb bi
2
r t si t dt Ev
2
定义：信号r(t)和si(t)之间的欧氏距离为
d E r t , si t
r t s t dt
s1 t f t E1
E1f t i 1 si t 0 f t i 2
通信系统原理-7 13
则
2018/8/8
证明（2）
如果s2(t)=ks1(t)，令
s1 t f t E1
E1f t i 1 si t k E1f t i 2
2018/8/8
s1 t
ra a1 2 rb b1 2
a1 , b1
ra , rb
ra a2 2 rb b2 2
s2 t
a2 , b2
通信系统原理-7
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最小均方误差准则
ra ai rb bi
2 2
2 r t si t dt Ev
2018/8/8
通信系统原理-7
MAP准则与理想接收机模型
MAP准则
Ps t | r t
1
判发s1 t
Ps2 t | r t
判发s2 t
MAP准则不保证判断结果一定正确，但保证判断正确概率 最大，即误码率最小
理想接收机模型
r t
Ps1 t | r t Ps2 t | r t
2 i
通信系统原理-7 20
2018/8/8
ra ai rb bi
2
r t rafa t rbfb t vt
2
r t si t dt Ev
2
r t
2 r t s t dt i
2018/8/8 通信系统原理-7 24
信号空间图示
fb t
s1 t
a1, b1
ra , Biblioteka Baidub
nb na
25
a2 , b2
2018/8/8 通信系统原理-7
s2 t
fa t
似然函数
ra=ai+na， rb=bi+nb 相互独立的高斯过程
pra | ai prb | bi 1 2 2 1 2
fb t
ra , rb
2018/8/8
ai , bi si t
通信系统原理-7
ra ai 2 rb bi 2
fa t
21
应用MAP准则
计算后验概率并比较其大小
Psi t | r t Pai , bi | ra , rb , vt Pai , bi | ra , rb Pai , bi Pra , rb | ai , bi Pra , rb Psi t Pr t | si t Pr t
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7.1最佳接收准则与相关接收机
1. 2. 3. 4. 数字信号的最佳接收问题 MAP准则与理想接收机模型 最小均方误差准则与相关接收机 最大输出信噪比准则与匹配滤波器
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MAP准则
MAP：最大后验概率
Maximum a posteriori probability a posteriori: 拉丁文后验的意思
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最小均方误差准则
r a r b 最佳接收判决准 1 2 e 则：最小信号距 pra , rb | ai , bi 2 2 离
a i 2 b i 2 2
比较平面上接收 信号点(ra,rb)到两 个可能发送信号 点(a1,b1)和点(a2,b2) 的距离，谁近就 判发谁 我们教材称最小 均方误差准则
rb r t fb t dt
si t ni t fb t dt bi nb
nb ni t fb t dt
ra=ai+na， rb=bi+nb
na ni t fa t dt
易证：na ，nb独立且服从N(0, 2)分布（思考题）
2
e e
ra ai 2
2 2
rb bi 2
2 2
pra , rb | ai , bi
2018/8/8
1 2
2
e
ra ai 2 rb bi 2
2 2
通信系统原理-7
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7.1最佳接收准则与相关接收机
1. 2. 3. 4. 数字信号的最佳接收问题 MAP准则与理想接收机模型 最小均方误差准则与相关接收机 最大输出信噪比准则与匹配滤波器
思考: 证明 (*)
Ent si t 0 n(t)和s1(t)、s2(t)不相关 (*)
2018/8/8 通信系统原理-7 18
r t rafa t rbfb t vt
r t
fb t
a1 , b1
2018/8/8
ra , rb a2 , b2
判发s t
2 r t s t dt E
- 1
1
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相关接收机
依据此判决准 2 r t s1 t dt E1 则设计的最佳 2- r t s2 t dt E2 - 接收机 判发 s t
相关接收机
s1 t
2018/8/8 通信系统原理-7
f t a s2 t f t cos ct
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图解
fb t
0.95,0.30
fa t
s2 t a2fa t b2fb t
s1 t fa t
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接收信号