物理-刚体平面运动动力学
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有滑滚动 滚动 无滑滚动（纯滚动）√
纯滚动的运动学判据
三、刚体的滚动
若刚体相对某惯性系的静止，则有
其质心处在静止状态 不能绕过任何点的轴转动
刚体静态平衡的充要条件：
Fex 0
M 0
——刚体的静态平衡方程
随堂练习
例1 一质量为m, 半径为R 的均质圆柱, 在水平外力F 作用
下, 在粗糙的水平面上作纯滚动, 力的作用线与圆柱中心轴
线的垂直距离为l. 求: 质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力.
F l
ac
Rm
f
随堂练习
圆柱在竖直面内作平面运动。 由质心运动定理：
F f maC
又由对质心轴的转动ຫໍສະໝຸດ Baidu理：
Fl fR 1 mR 2
2
纯滚动的运动学判据 aC R
以上三式联立，可解得
2F(R 3mR 2
l)；
f (R 2l) F 3R
随堂练习
例3 长为2l，质量为M 的均匀梯子，上端靠在光滑的墙上， 梯与地面的摩擦系数为。有一质量为m 的人攀登到距离下 端l1的地方，如图所示。求梯子不滑动的条件。
ml Ml1 cot (m M ) y N2 C
2l
讨论：
(1)对一定q，人所能攀登的高度；
m g
l1 N1
(2)若要求人攀登的高度为l1，
一、刚体平面运动的动力学方程
【平面运动】刚体上各点均在平面内运动， 且这些平面均与一固定平面平行。
例：圆柱体沿直线路径的滚动。
一、刚体平面运动的动力学方程
刚体的平面运动可分解为
随质心的平动 绕过质心且垂直于固定平面的轴的转动
ω C
一、刚体平面运动的动力学方程
1、质心的运动
——刚体的质量 ——合外力
C
MC
IC
IC
d
dt
——过质心且垂直于固定平面的轴的转动惯量
——相对于上述转轴的合外力矩
一、刚体平面运动的动力学方程
归纳
Fx
m
d 2 xC dt 2
Fy
m
d 2 yC dt 2
d
MC IC dt
y
C
aC
x
刚体平面运动的基本动力学方程
二、刚体平面运动的动能
可以证明：刚体的平面运动中的动能为
三、刚体的滚动
2l
故有
N2
f
Wl Pl1 2l
cot
梯子不滑动的条件 f N1
Wl Pl1 cot (W P) 2l
随堂练习
例2 如图，均匀细棒AO，长为l，质量为m，其一端固定，
可绕O点在竖直面内自由转动。开始时使棒处于水平位置，
先释放A端，当棒转到竖直位置时，松开O点，任棒自由下
落，选取如图所示的坐标系。
（1）写出O点松开后棒的质心C 的运动轨迹；
（2）当棒从竖直位置下落高度h时，它绕质心转了多少圈
A
O
x
y
则梯子的倾角？
Mq Ogf
x
随堂练习
设梯子不滑动时与地面的夹角为q， y N2 C
水平方向的力平衡： N 2 f 竖直方向的力平衡： N1 W P
为简化计算，取C为力矩的参考点，
2 fl sin Wl cos Pl1 cos
m g
l1 N1
Mq x
Ogf
解之得
f Wl Pl1 cot
由质心的运动定理决定
C
aC
——代表刚体作整体平移运动的加速度
一、刚体平面运动的动力学方程
对刚体的平面运动 y
在固定平面投影
Fx
m
d 2 xC dt 2
Fy
m
d 2 yC dt 2
C
aC
x
一、刚体平面运动的动力学方程
2、绕质心轴的转动
可以证明：对刚体的平面运动，
刚体定轴转动定理对通过质心、
且有加速度的转轴仍成立：
纯滚动的运动学判据
三、刚体的滚动
若刚体相对某惯性系的静止，则有
其质心处在静止状态 不能绕过任何点的轴转动
刚体静态平衡的充要条件：
Fex 0
M 0
——刚体的静态平衡方程
随堂练习
例1 一质量为m, 半径为R 的均质圆柱, 在水平外力F 作用
下, 在粗糙的水平面上作纯滚动, 力的作用线与圆柱中心轴
线的垂直距离为l. 求: 质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力.
F l
ac
Rm
f
随堂练习
圆柱在竖直面内作平面运动。 由质心运动定理：
F f maC
又由对质心轴的转动ຫໍສະໝຸດ Baidu理：
Fl fR 1 mR 2
2
纯滚动的运动学判据 aC R
以上三式联立，可解得
2F(R 3mR 2
l)；
f (R 2l) F 3R
随堂练习
例3 长为2l，质量为M 的均匀梯子，上端靠在光滑的墙上， 梯与地面的摩擦系数为。有一质量为m 的人攀登到距离下 端l1的地方，如图所示。求梯子不滑动的条件。
ml Ml1 cot (m M ) y N2 C
2l
讨论：
(1)对一定q，人所能攀登的高度；
m g
l1 N1
(2)若要求人攀登的高度为l1，
一、刚体平面运动的动力学方程
【平面运动】刚体上各点均在平面内运动， 且这些平面均与一固定平面平行。
例：圆柱体沿直线路径的滚动。
一、刚体平面运动的动力学方程
刚体的平面运动可分解为
随质心的平动 绕过质心且垂直于固定平面的轴的转动
ω C
一、刚体平面运动的动力学方程
1、质心的运动
——刚体的质量 ——合外力
C
MC
IC
IC
d
dt
——过质心且垂直于固定平面的轴的转动惯量
——相对于上述转轴的合外力矩
一、刚体平面运动的动力学方程
归纳
Fx
m
d 2 xC dt 2
Fy
m
d 2 yC dt 2
d
MC IC dt
y
C
aC
x
刚体平面运动的基本动力学方程
二、刚体平面运动的动能
可以证明：刚体的平面运动中的动能为
三、刚体的滚动
2l
故有
N2
f
Wl Pl1 2l
cot
梯子不滑动的条件 f N1
Wl Pl1 cot (W P) 2l
随堂练习
例2 如图，均匀细棒AO，长为l，质量为m，其一端固定，
可绕O点在竖直面内自由转动。开始时使棒处于水平位置，
先释放A端，当棒转到竖直位置时，松开O点，任棒自由下
落，选取如图所示的坐标系。
（1）写出O点松开后棒的质心C 的运动轨迹；
（2）当棒从竖直位置下落高度h时，它绕质心转了多少圈
A
O
x
y
则梯子的倾角？
Mq Ogf
x
随堂练习
设梯子不滑动时与地面的夹角为q， y N2 C
水平方向的力平衡： N 2 f 竖直方向的力平衡： N1 W P
为简化计算，取C为力矩的参考点，
2 fl sin Wl cos Pl1 cos
m g
l1 N1
Mq x
Ogf
解之得
f Wl Pl1 cot
由质心的运动定理决定
C
aC
——代表刚体作整体平移运动的加速度
一、刚体平面运动的动力学方程
对刚体的平面运动 y
在固定平面投影
Fx
m
d 2 xC dt 2
Fy
m
d 2 yC dt 2
C
aC
x
一、刚体平面运动的动力学方程
2、绕质心轴的转动
可以证明：对刚体的平面运动，
刚体定轴转动定理对通过质心、
且有加速度的转轴仍成立：