随机数与蒙特卡罗方法

二、伪随机数
伪随机数列：实际产生伪随机数的时候，往往利用 某一递推 xn = f ( xn −1, xn − 2 ,, xn − k ) 产生数列 x1 , x2 ,, xn ， 当n充分大时，这一数列具有独立抽样序列的性质， 我们成为伪随机数列。
随机种子：递推公式中的初值，我们称为随机种子。一旦随机 种子确定，随机序列便可以确定。
一、蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗算法名称的由来： 1946年物理学家冯.诺一曼利用计算机使用随机抽 样的方法模拟了裂变中的中子反应，但这是一个 与原子弹研制相关的秘密工作，他们将该方法称 为蒙特卡罗。之后这个名字变流传开来，被人们 所喜爱。
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
1、蒲丰（Buffon）随机投针试验介绍 随机模拟的方法从方法特征来说，最早可以追溯到 18世纪后半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验。从中我 们可以体会出蒙特卡罗方法的一般过程。 圆周率的注记：2011年10月16日，日本长野县饭田市公 司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10 万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼 斯世界纪录。今年56岁近藤茂使用的是自己组装的计算 机，从去年10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪 录。 1777年法国学者蒲丰（Buffon）提出可以用投针实验来 求得圆周率。被称为计算π最神奇方法之一。
A A A A(mod M ) = A − [ ] × M = A − [ ]× M M M
A [ 其中 M ] 表示取整运算
A< M A≥ M
。
四、均匀随机数的产生
同余法的一般递推公式：
yn = (kyn −1 + b)(mod M ) yn x (n = 1,2,3,) = n M 初值 y0
蒙特卡罗方法
姜永帅
蒙特卡罗方法
1 2 3 蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤 蒙特卡罗方法的特点
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一、蒙特卡罗方法概述
模拟：是指将某一现实系统或抽象系 统的某些特征（或部分状态），用另 一系统来代替或者模仿。
例如，神州九号在发射之前，先计算机模拟所有 场景。投资建厂之前也需要模拟下运营情况以便 核算成本。
二、伪随机数
伪随机数： 我们通常把用数学方法产生的随机数称为伪随机 数。
扩展阅读： 使用计算机，利用数学方法生成的随机数具体指的是按照一定的算法 产生的数列，他们具有类似于随机变量的独立抽样序列的性质。但是 由于这些数是由算法产生的，因而不可能是真正的随机数。正是由于 伪随机数具有和真正的随机数相同的性质（如独立性等），我们就把 伪随机数作为真正的随机数来使用。
三、随机数基本定理
四、均匀随机数的产生
均匀随机数的产生 我们可以看出，均匀分布序列通过其某种分布的 反函数的运算可以得到该分布的序列。因此，其 他分布可以由均匀分布来构建，均匀分布是随机 数产生的基础。下面我们将绍均匀分布随机数的 产生策略。
四、均匀随机数的产生
均匀随机数的产生： 均匀随机数产生有很多种方法，其中最普遍用于 产生均匀随机数的方法是同余法。 求余运算记为A(modM)，定义如下：
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三、随机数基本定理
随机数基本定理
三、随机数基本定理
三、随机数基本定理
三、随机数基本定理
实例： 正态分布->均匀分布 >x=rnorm(100000,0,1) #产生10000个均值为0， 方差为1的正态随机数 >hist(x,freq=FALSE) #画出x的分布图 >z=pnorm(x) #分布函数作用于x >hist(z,freq=FALSE) #画出z的分布图分布图
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
蒙特卡罗方法
像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来 估计我们感兴趣的量，这样的方法称为蒙特卡罗 方法。
三、随机数基本定理
三、随机数基本定理
指数分布->均匀分布 >x=rexp(100000,5) #产生100000个指数随机数 >hist(x,freq=FALSE) #画出x的分布图 >z=pexp(x,5) #分布函数作用于x >hist(z,freq=FALSE) #画出z的分布图
随机数
姜永帅
随机数在生物信息学中占有十分重要的地位，例 如随机扰动网络、构建背景分布，多重检验校正 中的permutation方法等等。
补充阅读： 一般在下一些结论的时候一个基本的逻辑是：看某种现象是不是随机 的，如果不是随机的那么认为有一定的生物学意义，也正是我们要获 得的结果。所有的这些过程都离不开随机数的使用。
一、随机数产生随机数的一般方法介绍
（4）计算机物理法：在计算机上安装一台物理随机数发 生器，将物理过程转成随机数。 优点：得到的是真正的随机数，随机性和均匀性都很好， 取之不尽用之不竭； 缺点：有些学者做实验需要重复验证，物理法产生的随机 数无法再产生一次相同的，另外随机数发生器需要经常检 查和维修，因此这种方法也逐渐被取代。 （5）计算机数学法：使用数学算法，借助计算机来产生 随机数。是目前使用最广、发展最快的方法。特点是占用 内存少、速度快、可以生产两次相同的随机数便于重复性 研究。
四、均匀随机数的产生
四、均匀随机数的产生
有了均匀随机数，我们就可以利用反函数法构建其他任 何分布的随机数以便于我们分析。另外其他分布的随机 数也后单独的生成方式，如正态随机数生成的BoxMuller方法等，在这里就不一一介绍。目前随机数的产 生策略也在有研究者不断的开发。
五、实际数据分析中的一些随机数函数
周期约为
2 × 1010
yn = 517 yn −1 (mod 242 ) yn (n = 1,2,3,) x = n 42 2 初值 y0 = 1
周期约为 10
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四、均匀随机数的产生
##构建生成随机数函数myrandom，两个参数myseed为种子y0的初 值、num为要产生多少个随机数。 myrandom<-function(myseed,num){ y=myseed x=c() for(i in 1:(num+1)){ y[i+1]=(5^13*y[i])%%(2^36) if(i>1){x[i-1]=y[i]/2^36} } return(x) } data<-myrandom(1,10000) #产生10000个均匀随机数 hist(data,freq=FALSE) #查看分布图
(3)计算针与直线相交的概率 :
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
经统计实验估计出概率:
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
这样反复地投多次，数数针与 任意平行线相交的次数，于是就 可以得到 π 的近似值。在一次 实验中，他选取 l = d/2 ，然后 投针 2212 次，其中针与平行线 相交704 次，这样求得圆周率的 近似值为 2212/704 = 3.142 。 当实验中投的次数相当多时，就 可以得到 π 的更精确的值。后 来也有很多人利用投针进行实验 。
三、随机数基本定理
三、随机数基本定理
卡方分布->均匀分布 >x=rchisq(100000,7) #产生100000个卡方随机数 >hist(x,freq=FALSE) #画出x的分布图 >z=pchisq(x,7) #分布函数作用于x >hist(z,freq=FALSE) #画出z的分布图分布图
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
蒲丰（Buffon）实验的具体操作过程：
（1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的一组平 行线；
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
（2）取一根长度为L（L<a）的针，随机地向画 有平行直线的纸上掷N次，观察针与直线相交的 次数，记为M；
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
实际数据分析中的一些随机数函数
五、实际数据分析中的一些随机数函数
从上表中我们可以看出R语言中的随机数生成函 数都是以r开头的，代表random。同样的其他语 言如Matlab中也有类似情况，例如Matlab中正态 随机数生成函数为normrnd()，将rnd作为函数的 结尾，用法与R语言中类似，就不详细介绍，使 用可以自行查阅。
三、随机数基本定理
随机数基本定理 分布 F ( x) 的随机数：设随机变量 ξ ~ F ( x) ，我们称 ξ 的随机抽样序列 {ξi } 为分布 F ( x) 的随机数。 例：若 ξ ~ N (µ ,σ ) ，则称{ξi } 为正态分布随机数。 若 ξ ~均匀分布，则称 {ξi } 为均匀随机数。 若 ξ ~ χ 2 ，则称{ξi } 为卡方分布随机数。
其中 的选取对生成随机数十分关键，如果数值偏小，生成序列可能重复出 现，也就是产生的数列会有周期性。一个理想的随机序列一般来说需 要非常长的周期。
K , b, y0 , M
四、均匀随机数的产生
两个常用产生随机数的函数：
yn = 513 yn −1 (mod 236 ) yn = (n = 1,2,3,) x n 36 2 Байду номын сангаас 初值 y0 = 1
三、随机数基本定理
比较：
三、随机数基本定理
均匀分布->正态、卡方、指数分布 >x=runif(10000) #产生均匀分布，甚至均匀序列 x=seq(0,1,0.0001) >hist(x,freq=FALSE) #画出z的分布图分布图 >z1=qnorm(x,100,8) #正态分布的反函数 >hist(z1,freq=FALSE) #画出z的分布图分布图 >z2=qchisq(x,7) #卡方分布的反函数 >hist(z2,freq=FALSE) #画出z的分布图分布图 >z3=qexp(x,7) #指数分布的反函数 >hist(z3,freq=FALSE) #画出z的分布图分布图
一、随机数产生随机数的一般方法介绍
产生随机数的一般方法介绍：
（1）手工法：是最早产生随机数的方法为即采用投掷骰子、摇号、 抽签、摸球等办法，目前的彩票发行仍然采用此法。 （2）随机数表：随着一些随机模拟算法的发展，如蒙特卡罗方法 （Monte-Carlo）等，需要大规模的随机数，这时手工已经不能满足 计算的需要。1927年，Tippett制造了4万个随机数的表；1939年 Kedell等用高速转盘生成了10万个随机数的表；后来兰德公司又用电 子装置产生了100万个随机数。在计算机产生之前人民就利用这些方 法产生的随机数进行统计计算。 （3）计算机存储法：在计算机发展的初期，人们只是扩展了随机数 表法的简单应用，将随机数表刻在磁盘上，使用的时候将随机数调入 内存，由于该方法存储随机数要占用较大的空间，随机数的长度也有 限，目前已经很少用了。
一、蒙特卡罗方法概述
随机模拟： 是指利用随机数进行模拟计算的方法。由于它 一般是指利用计算机产生随机数而进行计算的一 种特殊风格的方法。 又称为计算机模拟方法。
一、蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：
——随机模拟的别名。
一、蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗位于在欧洲地中海之滨、法国的 东南方，有一个世界上版图最小的国家摩 纳哥公国，世人称之为“赌博之国”、“ 袖珍之国”、“邮票小国”。 蒙特卡罗（Monte Carlo）是世界著名的 〔赌城〕，是摩纳哥的标志世界三大赌城 之一（美国超级赌城拉斯维加斯与号称东 方拉斯维加斯的中国澳门）。富丽堂皇的 蒙地卡罗赌场，建于一八六三年，是一幢 古色古香以及巍峨的宫殿式建筑物，再加 上山明水秀，使游客抵达门前，立即发生 好感。门前有一大片广场，是一个花圃， 一草一木都修剪整齐，鲜花盛放，七彩缤 纷，园旁有一停车场，园尽处一间宫殿式 的建筑便是闻名世界的蒙地卡罗赌场了。