2018学年高中数学必修2课时达标检测十二直线与平面垂直的判定含解析

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高中数学必修二《直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷及答案解析

2019-2020学年高中数学必修二《直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．如图，在下列四个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（）A．B．C．D．【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：如图在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选：D．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．2．如图，A﹣BCDE是一个四棱锥，AB⊥平面BCDE，且四边形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有（）A．4组B．5组C．6组D．7组【分析】先有AB⊥平面BCDE得到3组互相垂直的平面．再利用四边形BCDE为矩形得到其他互相垂直的平面即可．【解答】解：因为AB⊥平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE，平面ABD⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为四边形BCDE为矩形，所以BC⊥平面ABE⇒平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC．平面ADE⊥平面ABE故图中互相垂直的平面共有6组．故选：C．【点评】本题考查面面垂直的判定．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直3．如图甲所示，在正方形ABCD中，EF分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体A﹣EFH中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【分析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直．【解答】解：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，A正确；。

高中数学必修二同步练习直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定(解析版)

【解析】（1）∵ 平面，平面，所以．
在中，，
同理，得，又，则即，
又，故平面．
又平面，故．
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点是的中点，作，交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：平面．
【解析】（1）连接，与相交于，连接，则为的中位线，，又平面平面，由线面平行的判定定理知平面．
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中表述正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
5．正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
【答案】B
【解析】因为分别是的中点，所以DF//BC，所以平面，则A正确；
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D
【解析】易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G，故平面EFG∥平面PBC，A正确；
由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确；
根据异面直线所成角的定义可知，C正确；
（2）∵ ，且底面，∴ 为等腰直角三角形，
是的中点，，又底面为正方形，，
由，得平面，而平面，
又平面，又平面，故平面平面．
（3）由（2）知，平面平面，
又，平面．
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，若PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是

2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2：课时跟

课时跟踪检测（十二）直线与平面垂直的判定层级一学业水平达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能解析：选D在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D.3．下列四个命题中，正确的是( )①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝1 2，即∠ABO＝60°.6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC ＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形．答案：菱形9.如图，在四面体A -BCD 中，∠BDC ＝90°，AC ＝BD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，且EF ＝ 2.求证：BD ⊥平面ACD .证明：取CD 的中点为G ，连接EG ，FG .又∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴FG ∥BD ，EG ∥AC .∵AC ＝BD ＝2，则EG ＝FG ＝1.∵EF ＝2，∴EF 2＝EG 2＋FG 2，∴EG ⊥FG ，∴BD ⊥EG .∵∠BDC ＝90°，∴BD ⊥CD .又EG ∩CD ＝G ，∴BD ⊥平面ACD .10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO ，B 1C .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC 1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22， AE ＝A 1E 2＋AA 21＝ ⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( )A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是( )A．①④B．②③C．①②D．③④解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．4.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝5，则tan∠FEB＝5 5.答案：5 56.如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设AC⊥BD，则AC⊥DE，AC⊥BE.折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC⊥BD.答案：AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)7．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角．在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边的中点，∴A 1D ＝12×B 1C 1＝22. 在Rt △A 1DA 中，AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝62. ∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.8.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点．(1)求证C 1D ⊥平面AA 1B 1B ； (2)当点F 在BB 1上的什么位置时，会使得AB 1⊥平面C 1DF ？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°.又D 是A 1B 1的中点，∴C 1D ⊥A 1B 1.∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥C 1D ，又A 1B 1∩C 1D ＝D ，∴C 1D ⊥平面AA 1B 1B .(2)作DE ⊥AB 1交AB 1于E ，延长DE 交BB 1于F ，连接C 1F ，则AB 1⊥平面C 1DF ，点F 为所求．∵C 1D ⊥平面AA 1B 1B ，AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴C 1D ⊥AB 1. 又AB 1⊥DF ，DF ∩C 1D ＝D ，∴AB 1⊥平面C 1DF .∵AA 1＝A 1B 1＝2，∴四边形AA 1B 1B 为正方形．又D 为A 1B 1的中点，DF ⊥AB 1，∴F 为BB 1的中点， ∴当点F 为BB 1的中点时，AB 1⊥平面C 1DF .。

高中数学必修2考点知识专题训练11---直线与平面垂直的判定(含答案解析)

高中数学必修2考点知识专题训练直线与平面垂直的判定课时过关·能力提升一、基础巩固1.下面条件中,能判定直线l⊥α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直答案:D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.6解析:仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.答案:B3.已知直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则b与α所成的角等于()A.40°B.50°C.90°D.150°解析:根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.答案:B4.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是()A .平行B .垂直且相交C .垂直但不相交D .相交但不垂直解析:连接AC ,因为ABCD 是菱AC ∩MC=C ,所以BD ⊥平面AM BD 不共面,因此直线MA 与答案:C5.已知线段AB 的长等于它在平的角为( ) A .30°B .45°解析:如图,AC ⊥α,AB ∩α=B ,则所以∠ABC=60°,它是AB 所在答案:C6.如图,在正方形ABCD 中,EF 把这个正方形折成一个空间间图形中必有( )是菱形,所以BD ⊥AC.又MC ⊥平面ABCD ,AMC.又MA ⊂平面AMC ,所以MA ⊥BD.显然直BD 的位置关系是垂直但不相交. 它在平面α内的射影长的2倍,则AB 所在的直线C .60°D .120°则BC 是AB 在平面α内的射影.因为BC ൌ所在的直线与平面α所成的角.E ,F 分别是BC ,CD 的中点,G 是EF 的中点,现在个空间图形,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为则BD ⊥MC.因为显然直线MA 与直线的直线与平面α所成ଵଶܣܤ, 现在沿AE ,AF 及点记为H ,则在这个空A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF解析:在平面图形中,AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥平面EFH.答案:A7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为ଶଷ,则该四棱柱的侧棱长等于__________________.解析:由题意得tan∠DBD1ൌ஽஽భ஻஽ൌଶଷ,因为BD=3√2,所以DD1ൌଶଷܤܦൌଶଷൈ3√2ൌ2√2.答案:2√28.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD的形状一定是.解析:由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案:菱形9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.证明:B1C⊥AB.证明:如图,连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO.因为BC1∩AO=O,所以B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB.10.有一根旗杆高12 m,在它的顶端处系两条长13 m的绳子,拉紧绳子,并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和旗杆底端相距5 m,问能否由此断定旗杆与地面垂直,为什么?解:能.如图,设地面为平面α,PO表示旗杆,PA,PB表示两条绳子,A,B,O三点不共线.∵PO=12 m,PA=13 m,OA=5 m,∴PO2+OA2=PA2,∠POA=90°,即OP⊥OA.同理可证OP⊥OB.∵OA∩OB=O,OA⊂α,OB⊂α,∴PO⊥α.故由此能断定旗杆与地面垂直.二、能力提升1.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是()A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD解析:由六边形ABCDEF是正六边形,可得CF∥AB,利用线面平行的判定定理可得CF∥平面PAB,C正确;同理可得CD∥平面PAF,A正确;在正六边形ABCDEF中,易得DF⊥AF.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,且PA∩AF=A.由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF,B正确.由排除法可知选D.答案:D2.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的位置关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:如图,取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO.因为AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.答案:C★3.如果P是等边三角形ABC所在平面外一点,且PA=PB=PCൌଶଷ,△ABC的边长为1,那么PA与底面ABC所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图,记O 为点P 在△ABC 内的射影.易知O 为△ABC 的中心,且PO ⊥平面ABC ,则PA 与底面ABC 所成的角即为∠PAO ,AO ൌ√ଷଷܣܤൌ√ଷଷ,ܲܣൌଶଷ,所以cos ∠PAO ൌ஺ை௉஺ൌ√ଷଶ,故∠PAO=30°.故选A .答案:A4.如图,PA ⊥平面ABC ,BC ⊥AC ,则图中直角三角形的个数为 . 解析:ܲܣ٣平面ܣܤܥܤܥ⊂平面ܣܤܥൠ֜ܲܣ٣ܤܥܣܥ٣ܤܥܲܣځܣܥൌܣൡ֜BC ⊥平面PAC ֜BC ⊥PC , 所以直角三角形有△PAB ,△PAC ,△ABC ,△PBC. 答案:45.如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,P 为空间一点,且AC=BC=5√2,ܲܥ⊥AC ,PC ⊥BC , PC=5,AB 的中点为M ,连接PM ,CM ,则PM 与平面ABC 所成的角的大小为 .解析:由PC⊥AC,PC⊥BC,AC∩BC=C,知PC⊥平面ACB,所以∠PMC为PM与平面ABC 所成的角.因为△ABC为等腰直角三角形,M是AB的中点,所以ABൌට(5√2)ଶ൅(5√2)ଶൌ10,CMൌଵଶܣܤൌ5.又PC=5,所以∠PMC=45°.答案:45°6.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误．．的是.(只填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成的角为60°.解析:由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,又B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确; 由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.答案:④7.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC 的中点,连接AE,AC.求证:AE⊥PD.证明:因为四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AE⊥PD.★8. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求证:AE⊥平面PCD.(1)解:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA.因为CD⊥AC,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,所以AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.11 / 11。

2018-2019学年高中数学必修二人教A版练习2.3.1 直线与平面垂直的判定 Word版含解析

直线、平面垂直的判定及其性质
直线与平面垂直的判定
【选题明细表】
.(·甘肃兰州二十七中高二上期末 )设是两条不同的直线, α是一个平面,则下列命题正确的是( )
()若⊥α∥,则⊥α ()若∥α⊂α,则∥
()若⊥⊂α,则⊥α ()若∥α∥α,则∥
解析:易知正确.
与可能异面,也可能平行.
.当与α内两条相交直线垂直时,才能判定⊥α,
与可能平行、异面或相交.
.(·广西桂林期末)已知表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )
()若∥α∥α,则∥
()若⊥α⊥,则∥α
()若⊥α⊂α,则⊥
()若∥α⊥,则⊥α
解析:对于选项,若∥α∥α,则与可能相交、平行或者异面;故错误; 对于,若⊥α⊥,则与α可能平行或者在α内;故错误;
对于,若⊥α⊂α,则⊥;故正确;
对于,若∥α⊥,则⊂α,或与α相交;故错误.
故选.
.在△中⊥平面,则到的距离是( )
() () () ()
解析:如图所示,作⊥于,连接.
因为⊥平面,
所以⊥.
所以⊥平面,
所以⊥.
在△中,
所以.
在△中,
所以.
故选.。

人教A版必修2数学课时跟踪检测(十二) 直线与平面垂直的判定

课时跟踪检测（十二）直线与平面垂直的判定层级一学业水平达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能解析：选D在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC 与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D.3．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝1 2，即∠ABO＝60°.6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是________．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC ＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形.答案：菱形9.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝2，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO ，B 1C .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22， AE ＝A 1E 2＋AA 21＝ ⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( )A ．平面DD 1C 1CB ．平面A 1DB 1C ．平面A 1B 1C 1D 1D ．平面A 1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④ 解析：选B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m解析：选B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B 正确．4．如图，在下列四个正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，M ，N ，Q 均为所在棱的中点，且EFMNQG 是一个平面图形，直线BD 1与平面EFMNQG 垂直，并且选项A 、B 、C 中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D 直线BD 1与平面EFG 不垂直．故选D.5.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，F 是BB 1的中点，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正切值为________．解析：连接EB ，由BB 1⊥平面ABCD ，知∠FEB 即直线EF 与平面ABCD 所成的角．在Rt △FBE 中，BF ＝1，BE ＝5，则tan ∠FEB ＝55.答案：556.如图所示，将平面四边形ABCD 沿对角线AC 折成空间四边形，当平面四边形ABCD 满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC 与BD 交于E ，假设AC ⊥BD ，则AC ⊥DE ，AC ⊥BE .折叠后，AC 与DE ，AC 与BE 依然垂直，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC ⊥BD .若四边形ABCD 为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)7.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝54，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.求证：D′H⊥平面ABCD.证明：由已知得，AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF，得AEAD＝CFCD，故AC∥EF.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4.由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.8.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩C1D＝D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.。

高中数学空间直线、平面垂直的判定及其性质解析！

高中数学空间直线、平面垂直的判定及其性质解析！一、直线和平面垂直的判定和性质1、证明直线和平面垂直的常用方法：① 利用判定定理；② 利用平行线垂直于平面的传递性（a∥b , a⊥α，则b⊥α .）;③ 利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β , 则a⊥β .）;④ 利用面面垂直的性质 .注：当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任何一条直线，常用来证明线线垂直 .【例题1】如图所示，已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，点 M , N 分别是 AB , PC 的中点，若∠PDA = 45°，求证：MN⊥平面 PCD .例题1图【解析】思路：点 M , N 是中点，取 PD 中点 E，则MN∥AE ,AE⊥平面 PCD，则MN⊥平面 PCD .解答：证明：如下图所示，取 PD 的中点 E，连接 AE , NE .∵ 点 E , N 分别为 PD , PC 的中点，∴ EN∥且= 1/2 CD , (三角形中位线定理)又∵ 点 M 是 AB 的中点，四边形 ABCD 为矩形，∴ AM ∥且= 1/2 CD ,∴ EN ∥且= AM，∴ 四边形 AMNE 为平行四边形 .∴ MN ∥且= AE ,又∵ PA⊥平面 ABCD，∠PDA = 45°，∴ △PAD 为等腰直角三角形，∴ AE⊥PD .又∵ CD⊥AD，CD⊥PA，∴ CD⊥平面 PAD , 而 AEㄷ平面 PAD ,∴ CD⊥AE .又∵ CD∩PD = D ,∴ AE⊥平面 PCD ，∴MN⊥平面 PCD .二、平面与平面垂直的判定1、证明面面垂直的常用方法：① 利用判定定理；（判断垂线常用等腰三角形“三线合一”、“勾股定理”等结论 .）② 利用定义证明；（判断两平面所成的二面角是直二面角 .）③ 利用常用结论；（若α∥β，α⊥γ，则有β⊥γ .）【例题2】如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB = BC , 点 D 是 AB 的中点 .(1) 求证：BC1∥平面 CA1D ;(2) 求证：平面CA1D⊥平面 AA1B1B .例题2图【解析】思路：(1) 连接 AC1 交 A1C 于点 E，连接 DE，则 E 为中点，则DE∥BC1 , 所以BC1∥平面 CA1D ; （DE 是△ABC1 的中位线）(2) AC = BC , 则AB⊥CD（等腰三角形中“三线合一”），A1A⊥平面 ABC 则A1A⊥CD , 则CD⊥平面 A1ABB1 ,所以平面CA1D⊥平面 AA1B1B .解答：(1)证明：如下图所示，连接 AC1 交 A1C 于点 E，连接 DE ，∵ 四边形 AA1C1C 为矩形，∴ 点 E 为对角线 AC1 的中点，又∵ 点 D 是 AB 的中点，∴ DE 为△ABC1 的中位线，∴ DE∥BC1，又∵ DEㄷ平面 CA1D , BC1 不ㄷ平面 CA1D，∴ BC1∥平面 CA1D .(2) 证明：∵ AC = BC , 点 D 为 AB 的中点，∴ CD⊥AB，又∵ A1A⊥平面 ABC，CDㄷ平面 ABC，∴ A1A⊥CD，∵ A1A∩AB = A，∴ CD⊥平面 A1ABC1 ,又∵ CDㄷ平面 CA1D ,∴ 平面CA1D⊥平面 AA1B1B .三、平面与平面垂直性质的应用① 当两个平面垂直时，把面面垂直转化为线面垂直，从而在证明线线垂直 .常作的辅助线是在其中一个平面内作两平面交线的垂线 .② 已知面面垂直，通过作辅助线转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用 .通过证线面垂直来证线线垂直是空间中证明两直线垂直最常用的方法 .【例题3】如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD 是等边三角形，已知 BD = 2AD = 8 , AB = 2CD = 4√5 .(1) 设 M 是 PC 上的一点，证明：平面MBD⊥平面 PAD；(2) 求四棱锥 P-ABCD 的体积 .例题3图思路：(1) 因为两平面垂直与点 M 的位置无关，所以在平面 MBD 中，一定有直线垂直于平面 PAD，猜想来证明BD⊥平面 PAD .(2) 四棱锥底面 ABCD 为一梯形，高为点 P 到平面 ABCD 的距离 .解答：(1) 证明：在△ABD 中，∵ AD = 4 , BD = 8 , AB = 4√5 ,∴ AD^2 + BD^2 = AB^2 ,∴ AD⊥BD，又∵ 平面PAD⊥平面 ABCD，平面PAD∩平面 ABCD = AD，∴ BD⊥平面 PAD，又∵ BDㄷ平面 BDM，∴ 平面MBD⊥平面 PAD .(2)过点 P 作PO⊥AD，∵ 平面PAD⊥平面 ABCD，∴ PO⊥平面 ABCD，∴ PO 为四棱锥底面 ABCD 的高，又∵ △PAD 是边长为 4 的等边三角形，由 (1) 可知△ABD 是直角三角形，斜边 AB 上的高为：∴ 梯形的面积为：∴ 四棱锥 P-ABCD 的体积为：。

2018-2019学年度高中数学(人教A版)必修二课时作业：2.3.1 直线与平面垂直的判定Word版含解析

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定【选题明细表】基础巩固1.设l,m是两条不同的直线, α是一个平面,则下列命题正确的是( A )(A)若l⊥α,l∥m,则m⊥α(B)若l∥α,m⊂α,则l∥m(C)若l⊥m,m⊂α,则l⊥α(D)若l∥α,m∥α,则l∥m解析:易知A正确.B.l与m可能异面,也可能平行.C.当l与α内两条相交直线垂直时,才能判定l⊥α,D.l与m可能平行、异面或相交.2.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( C )(A)垂直且相交(B)相交但不一定垂直(C)垂直但不相交(D)不垂直也不相交解析:取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,故选C.3.(2018·云南玉溪中学高一测试)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则直线l和平面α的位置关系是( D )(A)垂直 (B)平行(C)l在α内(D)无法确定解析:当l与平面α内的无数条直线都垂直,若这无数条直线互相平行,则l可能在α内,也可能与平面α平行,相交,故选D.4.(2018·陕西西安高一期末)已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,垂足H,则H为△ABC的( B ) (A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解析:连接AH并延长,交BC于D,连接BH并延长,交AC于E;因为PA ⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC;因为PH⊥平面ABC,故PH ⊥BC,故BC⊥平面PAH,故AH⊥BC;同理BH⊥AC;故H是△ABC的垂心.5.下列说法中错误的是( D )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交;②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内;③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内;④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线.(A)①②(B)②③④(C)①②④(D)①②③解析:由线面垂直的判定定理可得①②③错误,④正确.故选D.6.(2018·南昌调研)若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.解析:对于①,若直线m⊥α,如果α,β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,故①错误;对于②,若直线m⊥α,则直线m垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m 垂直,故②正确;对于③④,若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确.答案:②④7.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为.解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为∠ACB的平分线.连接OF,可证明△CFO为直角三角形,CO=2,Rt△PCO中,cos∠PCO=,∠PCO=45°.答案:45°8.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.证明:因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因为AD⊂平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.能力提升9.(2018·宁夏银川高一期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中(底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱),已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:如图,分别取C1A1,CA的中点E,F,连接B1E与BF,则B1E⊥平面CAA1C1,过D作DH∥B1E,则DH⊥平面CAA1C1,连接AH,则∠DAH为AD与平面AA1C1所成的角,由已知易得DH=B1E=,DA=,所以sin∠DAH==.10.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正确结论的序号是.解析:连接SO,如图所示,因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,则①正确;因为AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD,则②正确;因为SD⊥底面ABCD,所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD 所成的角,因为AD=CD,SD=SD,所以∠SAD=∠SCD,则③正确;因为AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,所以AC⊥SO,则④正确.答案:①②③④教师备用:侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°, AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.(1) 求证:MN∥平面A′ACC′;(2) 求证:A′N⊥平面BCN;(3) 求三棱锥C-MNB的体积.(1)证明:如图,连接AB′,AC′,。

2017-2018学年高中数学必修2课时达标检测十二直线与

课时达标检测（十二）直线与平面垂直的判定一、选择题1．下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.A．3 B．2C．1 D．0答案：B2．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为( ) A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断答案：B3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直答案：C4．如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案：D5．正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63答案：D二、填空题6．菱形ABCD 的对角线交于点O ，点P 在ABCD 所在平面外，且PA ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是________．答案：PO ⊥平面ABCD7.如图，∠BCA ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△PAC 的边所在的直线中：(1)与PC 垂直的直线有_____________________________；(2)与AP 垂直的直线有___________________________________．答案：(1)AB ，AC ，BC (2)BC8.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，面对角线A 1B 与对角面BB 1D 1D所成的角为________．答案：30°三、解答题9．如图，在直角三角形BMC 中，∠BCM ＝90°，∠MBC ＝60°，BM ＝5，MA ＝3且MA ⊥AC ，AB ＝4，求MC 与平面ABC 所成角的正弦值．解：因为BM ＝5，MA ＝3，AB ＝4，所以AB 2＋AM 2＝BM 2，所以MA⊥AB .又因为MA ⊥AC ，AB ，AC ⊂平面ABC ，且AB ∩AC ＝A ，所以MA⊥平面ABC ，所以∠MCA 即为MC 与平面ABC 所成的角．又因为∠MBC ＝60°，所以MC ＝532，所以sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235.10.如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1 ∥平面EFPQ ；(2)直线 AC 1⊥平面 PQMN .证明：(1)连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1.从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.连接B1D1，因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥B1D1，故MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.。

2017-2018学年高中数学必修2课时达标检测十三平面与

课时达标检测（十三）平面与平面垂直的判定一、选择题1．有下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③B．②④C．③④D．①②答案：B2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C3．在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD答案：C4.如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小为( )A．90°B．60°C．45°D．30°答案：A5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值为( )A.32B.22C. 2D. 3答案：C二、填空题6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．答案：1或无数7．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．答案：1 38.如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.答案：a三、解答题9．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.10．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点， ∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD .在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE .又A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .。

2017-2018学年高中数学人教A版必修2练习：第二章 2-3

一、选择题1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的是() A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．答案：A2．下列条件中，能使直线m⊥α的是() A．m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α解析：对A，缺少b与c相交，不能推出m⊥α；对B，当m⊥b，b∥α时，可能有m ∥α或m⊂α；对C，可能有m∥α或m⊂α或m与α相交．答案：D3．(2012·济南高一检测)如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是()A．5 B．6C．7 D．8解析：题图中直角三角形有△ABC，△ADC，△ADB，△PAD，△PAC，△PAB，△PDC，△PDB.答案：D4．(2012·西安高一检测)已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A.34 B.54C.74 D.34解析：如图：取BC 的中点D ，连接SD 、AD ，过A 作AE ⊥SD ，连接BE ，则∠ABE 即为所求角，因为SA ＝3，AB ＝BC ＝AC ＝2，所以AD ＝3，AE ＝32，sin ∠ABE ＝34. 答案：D二、填空题5．在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝6，BC ＝8，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝12，则ED ＝________.解析：如图，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝10，∴CD ＝5.在Rt △ECD中，EC ＝12，∴ED ＝52＋122＝13.答案：136．(2012·泉州高一检测)设三棱锥P －ABC 的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出下列命题：①若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心；②若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，则PA ＝PB ＝PC ；请把正确命题的序号填在横线上：__________.解析：①若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 为△ABC 的垂心．②∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，∴PA ⊥面PBC .∴PA ⊥BC .又PH ⊥面ABC ，∴PH ⊥BC ，∴BC ⊥面PAH ，∴AH ⊥BC .同理BH ⊥AC ，∴H 为垂心．③∵H 为AC 中点，∠ABC ＝90°，∴AH ＝BH ＝CH .又PH ⊥面ABC ，由勾股定理知PA ＝PB ＝PC .答案：①②③7．已知三棱锥P －ABC 的底面为正三角形，PA ＝PB ＝PC ，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，有以下三个结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .则所有正确结论的序号为________．解析：如图所示，过P 作PO ⊥平面ABC 于O 点，则O 为△ABC 的垂心，∴BO ⊥AC ，从而AC ⊥平面PBO ，∴AC ⊥PB ；又∵DE ∥AC ，AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴AC ∥平面PDE ；③是错误的．答案：①②8．(2012·长春高一检测)如图所示，∠ACB ＝90°，平面ABC 外有一点P ，PC ＝4 cm ，PF ，PE 垂直于BC ，AC 于点F ，E ，且PF ＝PE ＝2 3 cm ，那么PC 与平面ABC 所成角的大小为__________．解析：过P 作PO 垂直于平面ABC 于O ，连接CO ，则CO 为∠ACB 的平分线．连接OF ，可证明△CFO 为直角三角形，CO ＝22，Rt △PCO 中，cos ∠PCO ＝22，∠PCO ＝45°. 答案：45°三、解答题9．(2012·南通高一检测)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC .(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .解：(1)因为SA ＝SC ，D 是AC 的中点，所以SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，AD ＝BD ，由已知SA ＝SB ，所以△ADS ≌△BDS ，所以SD ⊥BD .又AC ∩BD ＝D ，所以SD ⊥平面ABC .(2)因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC .由(1)知SD ⊥BD ，因为SD ∩AC ＝D ，所以BD ⊥平面SAC .10．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝33，BC ＝3，沿对角线BD 将△BCD 折起，使点C 移到C ′点，且C ′点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上．(1)求证：BC ′⊥平面AC ′D ；(2)求直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵点C ′在平面ABD 上的射影O 在AB 上，∴C ′O ⊥平面ABD ，∴C ′O ⊥DA .又∵DA ⊥AB ，AB ∩C ′O ＝O ，∴DA ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥BC ′.又∵BC ⊥CD .∴BC ′⊥C ′D .∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D.(2)如图所示，过A作AE⊥C′D，垂足为E.∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE.∴AE⊥平面BC′D.连接BE，则BE是AB在平面BC′D上的射影，故∠ABE就是直线AB与平面BC′D所成的角．∵DA⊥AB，DA⊥BC′.∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′.在Rt△AC′B中，AC′＝AB2－BC′2＝3 2.在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3 3.在Rt△C′AD中，由面积关系，得AE＝AC′·ADC′D＝32×333＝ 6.在Rt△AEB中，sin∠ABE＝AEAB＝633＝23.。

高一数学人教A版必修2学业分层测评12 直线与平面垂直的判定 Word版含解析

学业分层测评(十二)
(建议用时：分钟)
[达标必做]
一、选择题
．下列条件中，能使直线⊥平面α的是( )
．⊥，⊥，⊥α，⊥α．⊥，∥α
．∥，⊥α
．∩＝，⊥α【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项正确．
【答案】
．如图--，三棱锥-中，⊥，⊥，则直线和平面所成的角是(
)
图--
．∠．∠
．∠．以上都不对
【解析】由⊥，⊥，∩＝，
得⊥平面，
所以∠为与平面所成的角．故选.
【答案】．已知直线，是异面直线，则过直线且与直线垂直的平面(
)
【导学号：】．有且只有一个．至多一个
．有一个或无数个．不存在
【解析】若异面直线、垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
【答案】
．在正方体-中，与平面所成角的余弦值为( )
【解析】如图所示，连接交于点，连接，由于∥，∴与平面所成的角就是与平面所成的角．易知∠即为所求．设正方体的棱长为，则＝，＝，＝，
∴∠＝＝＝.
∴与平面所成的角的余弦值为.
【答案】．(·成都高二检测)已知-为正方体，下列结论错误的是( )
．⊥
．∥平面
．⊥
．⊥平面
【解析】正方体中由∥，易知正确；
由⊥，⊥可得⊥平面，
从而⊥，即正确；
由以上可得⊥，同理⊥，
因此⊥平面，即正确；。

【新课标】2018-2019学年最新苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》课时同步练习及解析

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B 的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF 的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β． 2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．任意一条直线都垂直 a ⊥α 2．垂足3．相交垂直 m ，n ⊂α，m ∩n ＝O ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a ∥β 3．④ 4．直角解析易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ． 5．①6．323解析由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P 到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝⎛⎭⎪⎫1322＝323．7．4 解析⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可．因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ．又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF ． ∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ．12．证明连结AB 1，CB 1，设AB ＝1．∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ．连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ．又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ， ∴SC ⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．。

高中数学必修二(人教A版)课堂达标练2-3-1直线与平面垂直的判定 Word版含解析

．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
．平行．垂直
．相交不垂直．不确定
解析：由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直．
答案：
．如图所示，如果⊥菱形所在平面，那么与的位置关系是(
)
．平行．垂直相交
．垂直但不相交．相交但不垂直
解析：连接，因为是菱形，所以⊥.又⊥平面，则⊥.因为∩＝，所以⊥平面.又平面，所以⊥.显然直线与直线不共面，因此直线与的位置关系是垂直但不相交．
答案：
．下列表述正确的个数为( )
①若直线∥平面α，直线⊥，则⊥α；
②若直线平面α，α，且⊥，则⊥α；
③若直线平行于平面α内的两条直线，则∥α；
④若直线垂直于平面α内的两条直线，则⊥α.
．．．．
解析：①中与α还可能平行、斜交或在平面α内；②中与α还可能平行或斜交；③中还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错．
答案：
．矩形中，＝，＝，⊥平面，＝，则与平面所成的角是．
解析：∠＝＝＝，∴∠＝°.
答案：°
．如图所示，四边形是矩形，⊥平面，△是等腰三角形，＝，、分别是、的中点，求证：⊥平面.
证明：取的中点，连接、.
∵、分别为、的中点，
∴为△的中位线，∴∥且＝.
又∵为的中点，∴∥且＝，
∴∥且＝，。

高中数学课时跟踪检测(十二)直线与平面垂直的判定(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数

课时跟踪检测（十二）直线与平面垂直的判定一、题组对点训练对点练一直线与平面垂直的定义及判定定理1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D.m⊥n，且n∥β解析：选B α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故A不正确；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故B正确；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故C不正确；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不一定成立，故D不正确．故选B.2．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①l垂直于α内的一五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内无数条直线；④l垂直于α内正六边形的三条边．其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是( )A．②B．①③C．②④ D.③解析：选C 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α内的平行直线，不能推出l⊥α.故选②④.3．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面( )A．有且只有一个B．可能存在，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B 当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．4.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则( )A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对解析：选A 连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D.因为B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，又A1D∩B1A1＝A1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形是菱形吗？解：连接AC、BD，设AC与BD交于点O.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵PC⊥BD，PA∩PC＝P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC，又ABCD为平行四边形，∴ABCD为菱形．6．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD, AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.对点练二直线与平面所成的角7．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )A．60° B．45°C ．30° D.120°解析：选A ∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt △AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.8．如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，则PD 与平面ABCD 所成的角为图中的( )A ．∠PADB ．∠PDAC ．∠PDB D.∠PDC解析：选B ∵PA ⊥平面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影，故∠PDA 是PD 与平面ABCD 所成的角．9．直线l 与平面α所成的角为70°，直线l ∥m ，则m 与α所成的角等于( )A ．20° B．70°C ．90° D.110°解析：选B ∵l ∥m ，∴直线l 与平面α所成的角等于m 与α所成的角，又直线l 与平面α所成的角为70°，∴m 与α所成的角为70°.10．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，A 1D 1的中点，求：(1)D 1B 与平面ABCD 所成角的余弦值；(2)EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．解：(1)如图所示，连接DB ，∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴DB 是D 1B 在平面ABCD 内的射影．则∠D 1BD 即为D 1B 与平面ABCD 所成的角． ∵DB ＝2AB ，D 1B ＝3AB ，∴cos ∠D 1BD ＝DB D 1B ＝63，即D 1B 与平面ABCD 所成角的余弦值为63. (2)∵E 是A 1A 的中点，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴∠EFA 1是EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．在Rt △EA 1F 中，∵F 是A 1D 1的中点，∴∠EFA 1为45°.二、综合过关训练1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )A．有且只有一个 B．至多有一个C．有一个或无数个 D.不存在解析：选B 若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．2．若PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D.PC⊥BC解析：选C 由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可知PA⊥BC，故排除A.由题意可知BC⊥AC，PA⊥BC.因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故排除B.结合选项B，根据直线与平面垂直的定义知BC⊥PC，故排除D.故选C.3.如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是( )A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．两条平行直线D．半圆，但要去掉两个点解析：选B 连接BC，AB(图略)，因为PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n，故④正确．答案：①③④5．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．解析：如图所示，连接B 1D 1.则B 1D 1是BD 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，则∠BD 1B 1是BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．在Rt △BD 1B 1中，tan ∠BD 1B 1＝BB 1B 1D 1＝13＝33，则∠BD 1B 1＝π6. 答案：π66.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC＝60°且PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥平面ABE .证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .因为AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ，所以CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .又PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD .因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .又AE ∩AB ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .7．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面ACM ；(2)证明：AD ⊥平面PAC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．解：(1)证明：如图，连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，∵O 为AC 的中点，∴O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，∴PB ∥MO .∵PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，∴PB ∥平面ACM .(2)证明：∵∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，∴∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥AD ，而AC ∩PO ＝O ，∴AD ⊥平面PAC .(3)取DO 的中点N ，连接MN ，AN .∵M 为PD 的中点，∴MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，∴∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，∴DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MNAN ＝154＝455，45 5.即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为。

高中数学必修2考点知识专题训练12---直线与平面垂直的性质(含答案解析)

高中数学必直线一、基础巩固1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D A.B 1B ⊥lB.B 1B ∥lC.B 1B 与l 异面但不垂直D.B 1B 与l 相交但不垂直解析:因为B 1B ⊥平面A 1C 1,又因答案:B2.若直线l 垂直于梯形ABCD 面的位置关系是( ) A.相交但不垂直 B.平行C.垂直 D.在平面答案:C3.如图, ADEF 的边AF ⊥平面数学必修2考点知识专题训练直线与平面垂直的性质课时过关·能力提升1中,若直线l (与直线BB 1不重合)⊥平面A 1又因为l ⊥平面A 1C 1,所以l ∥B 1B. BCD 的两腰AB 和CD ,直线m ∥l,则m 与梯形面ABCD 内平面ABCD ,且AF=2,CD=3,则CE=( )训练C 1,则( ) 形ABCD 所在的平A.2B.3C.√√13解析:因为四边形ADEF为平行四边形,所以AF DE.因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF=2,所以DE=2.又CD=3,所以CEൌ√ܥܦଶ൅ܦܧଶൌ√9൅4ൌ√13.答案:D4.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中的真命题是()①若m⊥n,n⊂α,则m⊥α;②若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;④若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n.A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④解析:①中,直线m垂直于平面α内的一条直线n,则直线m与平面α不一定垂直,所以①不是真命题;②是平面与平面垂直的判定定理,所以②是真命题;③是直线与平面垂直的性质定理,所以③是真命题;④中,分别在两个平行平面α,β内的直线m,n平行或异面,所以④不是真命题.答案:B5.已知地面上有两根相距a m的竖直的旗杆,它们的高度分别是b m和c m(b>c),则它们顶端的距离为m.解析:如图,根据题意可知AD=b m,BC=c m,AB=a m.由线面垂直的性质定理可得AD∥BC.过点C向AD作垂线,设垂足为E,则在Rt△CDE中,CE=a m,DE=(b-c)m,所以CDൌටܽଶ൅(ܾ-ܿ)ଶሺmሻ.答案:ටܽଶ൅(ܾ-ܿ)ଶ6.已知直线l,m,a,b,l⊥a,l⊥b,m⊥a,m⊥b,且a,b是异面直线,求证:l∥m.证明:如图,在直线b上任取一点O,过点O作a'∥a,则直线b,a'确定一个平面α.∵a'∥a,l⊥a,∴l⊥a'.∵l⊥b,a'∩b=O,∴l⊥α.同理可证m⊥α,∴l∥m.7.如图,已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a⊂α,a⊥AB.求证:a∥l.证明:因为EA⊥α,EB⊥β,α∩β=l,所以l⊥EA,l⊥EB.因为EA∩EB=E,EA⊂平面EAB,EB⊂平面EAB,所以l⊥平面EAB.因为a⊂α,EA⊥α,所以a⊥EA.因为a⊥AB,AB∩EA=A,AB⊂平面EAB,EA⊂平面EAB,所以a⊥平面EAB.所以a∥l.二、能力提升1.若a,b是互不相同的直线,α,β是不重合的平面,则下列条件中可推出a∥b的是()A.a⊂α,b⊂β,α∥βB.a∥α,b⊂αC.a⊥α,b⊥αD.a⊥α,b⊂α答案:C★2.已知直线l∩平面α=点O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=()A.2B.1C.ଷଶD.ଵଶ解析:因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.连接OD,所以ை஺ൌ஺஼஻஽.ை஻因为OA=AB,所以ை஺ൌଵଶ.ை஻因为AC=1,所以BD=2.答案:A3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC 的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是.解析:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE∥平面PAC.答案:平行4.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,l⊥平面PCD.求证:l∥AE.证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又四边形ABCD是矩形,所以CD⊥AD.因为PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD,所以AE⊥DC.因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为l⊥平面PCD,所以l∥AE.5.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:஼ி஽஼ൌ஼ா஻஼.证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,PC∩AC=C,∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD,׵஼ி஽஼ൌ஼ா஻஼.★6.如图,△ABC是等边三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:(1)DF∥平面ABC;(2)AF⊥BD.证明:(1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG.因为F为BE的中点,所以FG∥AE,FGൌଵܣܧ.ଶ因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.因为CDൌଵܣܧ,ଶ所以FG∥CD,FG=CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,所以DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点, 所以AF⊥BE.因为△ABC是等边三角形,所以CG⊥AB,所以DF⊥AB.因为FG⊥平面ABC,所以FG⊥GC,FG⊥DF.因为FG∩AB=G,所以DF⊥平面ABE.因为AF⊂平面ABE,所以DF⊥AF.因为BE∩DF=F,所以AF⊥平面BDF.因为BD⊂平面BDF,所以AF⊥BD.。