含绝对值的不等式恒成立问题64958

(x 4 )x ( 3 ) 0，即 3x4时取等号． 所以 |x 4| |x 3 |的最小值为 1 ．则 a1 ． 故实数 a的取值范围是 (,1] ．
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练习１
已知函数 f(x ) |2 x 1 | |2 x 3 |． 若关于 x的不等式 f(x)|a1|的解集非空，求实数 a
的取值范围．
答案： a3或 a5
1, x3, f(x)2x7, 3x4,
1, x4.
则函数 f (x) 的最小值为 1 ． 则 a1．
故实数 a的取值范围是(,1]．
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练习2
已知不等式 2 |x 3 | |x 4 | 2 a,
a 若不等式的解集不是空集，求实数 的取值范围．
分析：
3x10, x3, f (x)2x7．, 3x4,
f( x ) |x a | |x b |
(i)绝对值三角不等式；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
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1. 分离参数法：
通过参数分离,将问题转化为 af(x)(或 af(x)) 求最值；
af(x) 对 xD恒成立 a[f(x)m ] ax
af(x) 对 xD恒成立 a[f(x)m ] in
类似的
af(x) 对 xD有解 a[f(x)m ] in
af(x) 对 xD有解 a[f(x)m ] ax
af(x) 对 xD无解 a[f(x)m ] in af(x) 对 xD无解 a[f(x)m ] ax
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例1. 求使不等式|x 4 | |x 3 | a 恒成立的 a的取值范围.
解： 由题意知，只需 (x |4 | |x 3 |m ) a in 因为 |x 4 | |x 3 | |( x 4 ) ( x 3 ) | 1 ，当且仅当
含绝对值不等式恒成立问题
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解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
( 1 )f x a ( a 0 ) f x a 或 f x a
( 2 )fx a ( a 0 ) a fx a
( 3 )f x g ( x ) f x g ( x ) 或 f x g ( x )
对于 f(x)g(x)型问题,也常用数形结合思想转化为函数图象
再处理.
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例3.已知函数 f(x ) |2 x 4| 1. (1)作出函数 yf(x)的图象； (２)若不等式 f(x)ax的解集非空，求实数 a的取值范围
解:(1)略
(２)令yf(x) , yax
由图象可知,
只需 yf(x)的图象有落在
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k
恒成立，则k的取值范围是 （ B）
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3
2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的
取值范围是-(-- -- --,--2 -] 不 是 空集？
（2，+∞）
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2. 数形结合法：
3x10, x4.
a 1 2
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[练] 已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅. 分别求出m的范围．
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[练] 已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R；
(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．
( 4 )fx g ( x ) g ( x ) fx g ( x )
( 5 )fx g x fx 2 g x 2
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复习
1. 含绝对值不等式的解法
形如 |x a | |x b | c(或c )
(i)零点分段讨论法；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
2. 一类函数最值的求法
解：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1， |x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
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练习
设函数 f(x)|x 1||xa|． 如果xR ，f (x) 2 ，求实数 a的取值范围．
答案： a1或 a3
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例2. 求使不等式|x 4 | |x 3 | a 恒成立的 a的取值范围.
解： 由题意知，只需 (x |4 | |x 3 |m ) a in
令 f(x ) |x 4 | |x 3 |，则
yax的图象下方(或有公共点)的部分.
故a的取值范围是 a 1 或 a2.
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练习3 设函数 f(x) |x 3| |x 4|
a 若存在实数 a满足 f(x)ax1，试求实数 的取值范围.
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