正余弦定理解三角形备课教案

个性化教案

【知识梳理】

1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以

变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；

(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝

a 2R ，sin B ＝

b 2R ，sin C ＝c

2R

等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余

弦定理可以变形为：cos A ＝

b 2＋

c 2－a 2

2bc

，cos B ＝

a 2＋c 2－

b 2

2ac

，cos C ＝

a 2＋

b 2－

c 2

2ab

.

3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

2

(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r

是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .

4.三角形内角和为π，故有sin A >0 sin A＝sin(B+ C)，cos A＝－cos(B+ C)

5.三角形大边对大角，或者说大角对大边。即：若a>b, A> B,sin A> sin B 知一推二

6.正弦值(不是1)的情况下，对应角度有两个，而余弦值与角度一一对应。

【常考考点】

1．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．

2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．

3.正余弦定理的实际应用（灵活运用）

【解题关键】

1．三角函数及三角恒等变换的基础．

2．正弦定理、余弦定理实现边角互化。（通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的正确选择）．

3.能利用三角形的判定方法准确判断解三角形的情况。

4.三角形的边角关系（大边对大角）、三角形内角和180度。

5．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则

A为锐角A为钝角或

直角

图形

关系式a＜b sin A a＝b sin A

b sin A＜a＜

b

a≥b

a＞

b

a≤b

【一条规律】

在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

【两类问题】

在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．【两种途径】

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2

C.106

3

D．5 6

解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，

由正弦定理得：

a

sin A

＝

c

sin C

，

.

即

1032

＝

c

2

2

.∴c ＝106

3

.

答案 C

2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B

b

，则B 的值为( )．

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90° 解析 由正弦定理知：

sin A sin A ＝cos B

sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B

3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝

3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc

＝

1＋4－32×1×2＝1

2

，

∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C

4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝2

3，cos C ＝1

3

，则△ABC 的面积为( )．

A ．3

3 B ．2

3 C ．4

3 D.

3

解析 ∵cos C ＝1

3，0＜C ＜π，

∴sin C ＝

2

23，

∴S △ABC ＝1

2ab sin C

＝1

2×32×2

3×

223

＝4

3.

答案 C

5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．

解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝

a 2＋

b 2－

c 2

2ab

＝－

32，

故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°

考点一 利用正弦定理解三角形 【例1】►在△ABC 中，a ＝

3，b ＝

2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .

[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．

解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2

sin 45°，

∴sin A ＝

32.

∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.

当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，