向量法解几何问题

向量法解几何问题

摘要:向量作为高中数学的新增内容,同时具有代数形式和几何形式,能容数形于一体,通常作为解决问题的载体,本文主要侧重向量在几何问题中的应用进行了探讨。

关键词:向量解析几何立体几何

向量作为高中数学新引入的基本内容之一,不仅具有代数的抽象,同时还具有几何的直观,是集“数”和“形”于一身的数学概念,完美的体现了数形结合思想。

向量与中学数学的许多主干知识综合,形成知识的交汇点。因此, 它或作为知识的载体,或作为解决问题的工具,几乎渗透到数学的所有分支之中。它的引入给高中数学增添了新的活力,给学生的思维搭建了一个更加广阔的平台。高中数学中许多难度较大的问题,用向量来处理就能迎刃而解。

自从向量引入高中数学后,高考每年都考查一个向量基本知识的选择或填空题,并在很多解答题中都有体现。因此向量的教学和学习在现在的教学中就显得尤为重要。本文主要就向量在解析几何、立体几何等问题中的应用进行了详细的探讨。

1 在解析几何中的应用

向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体,有着异曲同

工之妙。向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带;而解析几何也具有数形结合与转换的特征。因此在平面解析几何的考查中,经常以向量为载体给出各类几何条件,在解题中,以向量的基本知识为切入点,考查解析几何的知识,体现了高考在知识的交汇点处命题的原则,成为中学数学命题的一个新的亮点。

分析:本题是运用向量的数量积公式将两向量的夹角余弦值分别求出来,再作论证。运用向量的数量积,可以把有关的角度几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求的结果。

2 在立体几何中的应用

以多面体为载体,论证线线关系、线面关系、面面关系和求解空间角、距离等问题,是立体几何题的主要特征。用空间向量解立体几何问题,较为程序化,思路自然且较少添加辅助线,只要建立坐标系,写出所需向量的坐标就可使过去许多逻辑的证明转化为数值的计算,把立体几何中原来几何法的难点溶解于“转换与化归”之中及学生的细心计算之中,从而化复杂为简单,体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因此,用向量法解决立体几何问题已成为当今解题的重要手段和方法。下面结合事例来说明空间向量在立体几何

问题中的应用。

(1)向量在线线、线面、面面平行与垂直问题中的应用。

两个结论可较快地处理此类问题。

在线线问题中,利用(1)说明两直线的方向向量共线可得平行;利用(2)说明两直线的方向向量垂直可得垂直。在线面问题中,利用(2)说明直线的方向向量与平面的法向量垂直可得平行;利用(1)说明直线的方向向量与平面的法向量共线或利用(2)说明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直可得垂直。

在面面问题中,利用(1)说明两平面的法向量共线或说明一个平面的法向量与另一个平面内的两相交直线的方向向量垂直可得平行;利用(2)说明两平面的法向量垂直可得垂直。

(2)向量在空间角问题中的应用。

(3)向量在距离问题中的应用。

空间中有七大距离(除球面上两点间的距离外)基本上可转化为点点距、点线距、点面距,而点线距和点面距又是重中之重！向量法的引进解决了原来几何法中形难作的问题,给距离问题的解决带来新的活力！

3 结语

向量知识作为高中数学的重要内容,其实际应用是极其广泛的,是解决数学问题时一种强有力的方法。向量集数与形一体,沟通了代数、几何与三角函数,用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合,并能开发学生数学思维能力,提高学生解决数学问题的能力。从方法论的角度来看,向量方法在解决数学问题时具有以下特点。

(1)内容简洁，思路清晰。

中学向量内容简洁、精练,易于理解,易于掌握。向量解题的思路清晰,科学合理地构造适当的向量,把数学问题向量化,再以向量运算

达到解决问题的目的。向量内容主要是线性运算与向量的数量积。若在坐标系中,则向量用坐标表示,这时向量的线性运算可转化为坐标运算——数的加、减、乘运算;而向量数量积,几乎可以解决几何所有度量问题,如长度、夹角、平行,垂直等,这使一些解析几何、立体几何中定理、公式推导大为简化,大大降低了数学难度。

(2)流畅的运算，简捷的方法。

如果从“数、量和运算”发展的角度来理解向量运算,向量运算其实是一种新的运算形式。向量不是“数”的简单扩大,而是“量与运算”的扩大问题,这不同于以前“数”的运算,这种运算被赋予新的特征——量的运算具有方向性,这种向量运算更符合现实的空间结构。向量方法之所以显得简捷、方便,是因为它的最大优势是运算,通过流畅的运算达到解决问题的目的。尤其在解决立体几何证明计算的问题时,向量方法显得简洁明快,高屋建瓴,避免了作图、证明等烦琐过程,大部分工作化归为计算,而且此方法可操作性强。从运算角度看待向量,向量颇有几分数学机械化的特色,同时也符合数学教学中提倡的“算法多样化”。

(3)向量方法与其它数学方法之比较。

向量方法作为解决数学问题的强有力工具,其优势是不言而喻的。但是任何数学方法有其优势的一面,也有其不足之处,向量方法与其他数学方法相比,不足之处有:其一,构造向量有时特别困难,或者无法构造合适向量,如果一味坚持选择向量方法,并非明智之举;其二,即

使构造出向量,如果构造的向量形式复杂,可能使向量运算显得烦琐无奈,这也并不可取;其三,向量方法可谓是直截了当地得出问题的结果,全是运算没有中间过程,几乎没有展现解决问题的详细变化过程,这一点有时恰恰掩盖了数学问题的本质。这会妨碍我们对数学问题实质的理解。向量为数学问题的解决提供了更多种选择,但我们也不能忽视其它的数学方法的应用,不能仅看见向量优势的一面,还要对向量有一种深层次的反思,不能对向量的认识仅仅停留在数学解题上,应该从更大的范围和角度认识向量,要全面的把握好向量与其他数学工具的关系。

参考文献

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