高中数学步步高大一轮复习讲义第七优秀课件

∴yx＋xzyx＋yzxz＋yz
≥8
yz· xz· xyz
xy＝8.
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
利用基本不等式证明简单不等式
【例 1】已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪
解析
探究提高
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)．
(3)ab≤a＋2 b2 (a，b∈R)． (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R)．
1．在应用基本不等式求最 值时，要把握不等式成 立的三个条件，就是 “ 一 正 —— 各 项 均 为 正；二定——积或和为 定值；三相等——等号 能否取得”，若忽略了 某个条件，就会出现 错误．
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题型一
利用基本不等式证明简单不等式
【例 1】已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪
解析
探究提高
证明 ∵x>0，y>0，z>0，
∴ yx＋ xz ≥ 2
xyz>0，
xy＋
yz ≥
2
xz y
>0，xz＋yz≥2 zxy>0，
利用基本不等式证明不等式是 综合法证明不等式的一种情况， 证明思路是从已证不等式和问 题的已知条件出发，借助不等式 的性质和有关定理，经过逐步的 逻辑推理最后转化为需证问题．
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变式训练 1 已知 a>0， b>0，c>0，且 a＋b＋c ＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
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题型二
利用基本不等式求最值
【例 2】 (1)已知 x>0，y>0，且 2x
＋
y
＝
1
，
则
1 x
＋
1 y
的
最
小
值
为
________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的最
大值为________．
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解析
答案
(1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1，
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题型一
利用基本不等式证明简单不等式
【例 1】已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
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由题意，先局部运用基本不等 式，再利用不等式的性质即可 得证．
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高中数学步步高大一轮复习讲 义第七优秀课件
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要点梳理
难点正本 疑点清源
1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a≥0,b≥0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b
时取等号． 2．几个重要的不等式
动画展示
(1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)．
和定积最大)
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题号
1 2 3 4 5
答案
81 －2 8
C A
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题型一
利用基本不等式证明简单不等式
【例 1】已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
＋
y
＝
1
，
则
1 x
＋
1 y
的
最
小
值
为
_3_＋__2__2__；
(2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的最
大值为____1____．
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答案
(1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1，
证明 ∵a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc
＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc
≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号．
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意公式的逆用，例如 a2
＋ b2≥2ab 逆 用 就 是
ab≤
a2＋b2 2
；
a＋b 2
≥
ab
(a ， b>0) 逆 用 就 是
ab≤
a＋b
2
2
(a ， b>0)
等．还要注意“添、拆
项”技巧和公式等号成
立的条件等．
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4．利用基本不等式求最值问题
3．对使用基本不等式
已知 x>0，y>0，则
时等号取不到的
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时,x＋y 有最小值是2 p .(简记：
积定和最小)
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅
当
x＝y
时,xy 有最 大
值是
p2 4
.(简记:
情况，可考虑使用 函数 y＝x＋mx (m>0) 的单调性．
∴1x＋1y＝2x＋x y＋2x＋y y
＝3＋yx＋2yx≥3＋2 2.当且仅当yx
＝2yx时，取等号．
(2)∵x>0
，
∴f(x)
＝
2x x2＋1
＝
2 x＋1x
≤22＝1，
当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号．
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题型二
利用基本不等式求最值
【例 2】 (1)已知 x>0，y>0，且 2x
【例 2】 (1)已知 x>0，y>0，且 2x
＋
y
＝
1
，
则
1 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＋
1 y
的
最
小
值
为
________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的最
大值为________．
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解析
答案
利用基本不等式求最值可以先对
式子进行必要的变换．如第(1)问 把 1x ＋ 1y 中 的 “1” 代 换 为 “2x ＋ y”，展开后利用基本不等式；第 (2) 问 把 函 数 式 中 分 子 分 母 同 除 “x”，再利用基本不等式．
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3．算术平均数与几何平均数
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平 均数为a＋2 b，几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为：两个正数 的算术平均数不小于它们的几何
平均数 ．
2．运用公式解题时，既要
掌握公式的正用，也要注
题型二
利用基本不等式求最值
【例 2】 (1)已知 x>0，y>0，且 2x
＋
y
＝
1
，
则
1 x
＋
1 y
的
最
小
值
为
________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的最
大值为________．
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题型二
利用基本不等式求最值