公开课课件：复数的乘除法运算
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复数代数形式的乘除运算课件
2 + 3a = 2b,
即
-2 = 4( + 2),
3 + 8 = -2.
解得
= -2,
或 = -4,
= -1,
= 2.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(2)∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+( + i)-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
1
例 3 设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;
1-
(2)设 u=1+,求证:u 为纯虚数.
1
思路分析:(1)按常规解法,设 z=x+yi(x,y∈R),化简 ω=z+ ,找出实部、
虚部可以列出等量关系式求解;(2)证明 u 为纯虚数,可按定义证明实部
为零,虚部不为零,或证明 u+=0,且 u≠0.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(1)解:∵z 是虚数,
∴可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.
1
-i
1
∴ω=z+ =x+yi++i =x+yi+2 +2=x+2 +2 + - 2 +2 i.
∵ω 是实数且 y≠0,∴y-2 +2 =0.∴x2+y2=1,即|z|=1.此时 ω=2x.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(2)共轭复数的性质
①z·
=|z|2=||2;②||=|z|;③z+=2a,z-=2bi;④1 ± 2 = 1 ±
即
-2 = 4( + 2),
3 + 8 = -2.
解得
= -2,
或 = -4,
= -1,
= 2.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(2)∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+( + i)-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
1
例 3 设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;
1-
(2)设 u=1+,求证:u 为纯虚数.
1
思路分析:(1)按常规解法,设 z=x+yi(x,y∈R),化简 ω=z+ ,找出实部、
虚部可以列出等量关系式求解;(2)证明 u 为纯虚数,可按定义证明实部
为零,虚部不为零,或证明 u+=0,且 u≠0.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(1)解:∵z 是虚数,
∴可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.
1
-i
1
∴ω=z+ =x+yi++i =x+yi+2 +2=x+2 +2 + - 2 +2 i.
∵ω 是实数且 y≠0,∴y-2 +2 =0.∴x2+y2=1,即|z|=1.此时 ω=2x.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(2)共轭复数的性质
①z·
=|z|2=||2;②||=|z|;③z+=2a,z-=2bi;④1 ± 2 = 1 ±
《复数的乘法与除法》课件
PART 06
总结与展望
本章内容总结
复数的乘法规则
通过实例演示了复数乘法的规则，包括实部 和虚部的计算方法。
复数乘除法的几何意义
通过图形解释了复数乘除法在平面上的几何 意义，帮助理解复数运算的直观效果。
复数的除法规则
详细介绍了复数除法的步骤和注意事项，以 及如何化简复数表达式。
复数乘除法的应用
举例说明了复数乘除法在解决实际问题中的 应用，如电路分析、振动分析等。
02
复数在数学、工程学、物理学等 领域有广泛应用，是解决许多问 题的重要工具。
复数乘除法的重要性
复数乘除法是复数运算中的基本运算 之一，对于理解复数的性质和应用具 有重要意义。
通过学习复数乘除法，可以深入理解 复数的代数形式和几何意义，掌握解 决复杂数学问题的技巧。
PART 02
复数的乘法
复数乘法的定义
定义
设 z₁ = a + bi，z₂ = c + di，(a, b, c, d ∈ R)，则 z₁z₂ = (ac bd) + (ad + bc)i。
解释
复数乘法是通过将两个复数的实 部和虚部分别相乘，然后合并同 类项得到的。
复数乘法的几何意义
几何表示
复数 z = a + bi 可以表示为平面上的点 Z(a, b)，那么 z₁z₂ 表示的是向量的外积，其结果是一个向量，该向量从原点到 点 Z₁Z₂。
应用
通过几何意义可以直观地理解复数除法的结果，有助于理解复数的运算性质。
复数除法的运算规则
运算规则
在进行复数除法时，需要遵循一定的 运算规则。首先，需要将分母变为实 数，这通常通过乘以共轭数来实现。 然后，进行除法运算。最后，结果可 能需要进行化简。
7.2.2 复数的乘、除运算课件
乘分母的共轭复数.
例2
(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则为
ҧ
A.3＋5i
C.－3＋5i
√
B.3－5i
D.－3－5i
∵z(2－i)＝11＋7i，
11＋7i 11＋7i2＋i 15＋25i
∴z＝
＝
＝ 5 ＝3＋5i.
2－i
2－i2＋i
1＋i4＋3i
(a，b，c，
2 ＋ c ＋d
c ＋d
d∈R，且 c＋di≠0).
注意点：
a＋bi
(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成
的形式.
c＋di
(2)复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同
乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同
(2)因为(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点的坐标为(a＋1,1－a)，
a＋1<0，
又此点在第二象限，所以
解得 a<－1.
1－a>0，
问题3
类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复
数的除法运算？
知识梳理
bc－ad
ac＋bd
2
2i
复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝ 2
7.2.2
复数的乘、除运算
学习目标
1.掌握复数的乘、除运算，理解复数乘法的运算律；
2.通过习题训练，能够正确运用相应公式，熟记复数常用的结论.
导语
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，
复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定
例2
(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则为
ҧ
A.3＋5i
C.－3＋5i
√
B.3－5i
D.－3－5i
∵z(2－i)＝11＋7i，
11＋7i 11＋7i2＋i 15＋25i
∴z＝
＝
＝ 5 ＝3＋5i.
2－i
2－i2＋i
1＋i4＋3i
(a，b，c，
2 ＋ c ＋d
c ＋d
d∈R，且 c＋di≠0).
注意点：
a＋bi
(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成
的形式.
c＋di
(2)复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同
乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同
(2)因为(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点的坐标为(a＋1,1－a)，
a＋1<0，
又此点在第二象限，所以
解得 a<－1.
1－a>0，
问题3
类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复
数的除法运算？
知识梳理
bc－ad
ac＋bd
2
2i
复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝ 2
7.2.2
复数的乘、除运算
学习目标
1.掌握复数的乘、除运算，理解复数乘法的运算律；
2.通过习题训练，能够正确运用相应公式，熟记复数常用的结论.
导语
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，
复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定
复数的乘、除运算(上课课件)
2
2Leabharlann 即：共轭复数乘积的结果是一个实数（3）三者相等 即 z z z z
2
2
x
z2
例题讲解
例2 计算(1＋2i)÷(3－4i).
解:原式 =
+
−
=
+ +
− +
=
−+
=
−
+
.
例 3 在复数范围内解下列方程：
（1） x 2 2 0 ；
3．已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c 为实数)．
(1)求 b，c 的值；
(2)试判断 1－i 是否是方程的根．
D．(－1，＋∞)
解(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴得∴b＝－2，c＝2.
(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
小结
复
数
的
乘
除
1.复数的乘法运算法则
2.复数的除法运算法则
3.复数乘法的运算律
z1z2＋z1z3
z1(z2＋z3)＝________
例题讲解
例1
计算下列各题．
(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 .
解：(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝－20＋15i.
(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.
2Leabharlann 即：共轭复数乘积的结果是一个实数（3）三者相等 即 z z z z
2
2
x
z2
例题讲解
例2 计算(1＋2i)÷(3－4i).
解:原式 =
+
−
=
+ +
− +
=
−+
=
−
+
.
例 3 在复数范围内解下列方程：
（1） x 2 2 0 ；
3．已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c 为实数)．
(1)求 b，c 的值；
(2)试判断 1－i 是否是方程的根．
D．(－1，＋∞)
解(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴得∴b＝－2，c＝2.
(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
小结
复
数
的
乘
除
1.复数的乘法运算法则
2.复数的除法运算法则
3.复数乘法的运算律
z1z2＋z1z3
z1(z2＋z3)＝________
例题讲解
例1
计算下列各题．
(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 .
解：(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝－20＋15i.
(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.
7.2.2复数的乘、除运算高一数学课件
2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数 叫做互为共轭复数. 复数z=a+bi的共轭复数记作
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
另外不难证明:
例 3．在复平面内，复数 z1 ， z2 对应的点分别为1,2，2,1 .
（1）求 z1 z2 的值；
（2）若 z1 是关于 x 的方程 x2 px q 0 的一个根，求实数 p，
复数z=a+bi的共轭复数记作
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
另外不难证明:
（2）(a bi)2 a2 2abi b2i2
a2 2abi b2
a2 b2 2abi
（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)
练习:
13 1.计算 (2 3i)(2 3i) =
3-i 2.已知 (3 i)z 10 ,则 z
解：因为 2x＋(5－y)i 和 3x－1－(y＋1)i 是共轭复数， 所以25x－＝y＝3xy－＋11，， 解得xy＝＝21.， 所以 z＝1＋2i， z ＝1－2i.
3、复数的除法法则
a bi i (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
ac bd (bc ad)i
因为 ，故 D 正确，故选:AD.
z 12023 3
i2023
i
6．已知复数 z 满足 z z 8, z2 的虚部为 8． (1)求复数 z； (2)设 z2, z, z2 z 在复平面上对应的点分别为 A，B，C， 求 AC 的长度．
【详解】（1）设 z a bia,bR ，则 z a bi ，
证明：
（（21））
13(12
2
1 3 2
公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件
![公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/6dcaa16576a20029bc642d07.png)
解（ 1）2 （1 3） 2
22
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 2）（ ） 2（1 3） 2
22
解
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 3 ） 32
解 （ 1 3） （ 2 1 3）
22
22
（ 13）1 （ 3） 1
22
22
小结： 2 （ ，） 2
31 ， ） （ 31
(a+bi)(c-di) =
(c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help 为方便学习与使用课件内容，课件可以在下载后自由编辑
0i1 i2 i 1
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足
(c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi 记作
c+di
a+bi (a+bi)(c-di)
c+di
复数的乘除法ppt
性质
复数乘法满足结合律、交换律和单 位元存在性，即对于任何复数 z 和 整数 n，有 z^n = n个z相乘。
复数乘法的几何意义
几何解释
复数乘法可以理解为在复平面上的向量旋转和伸缩。设 z1 和 z2 分别对应向量 OZ1 和 OZ2，则 z1z2 对应的向量 OZ1Z2 是通过以 OZ1 和 OZ2 为邻边的平 行四边形的对角线来确定的。
除数为虚数单位
当除数为虚数单位时，商 为实数。
除法运算的几何意义
复平面上的表示
在复平面上，复数除法可以通过旋转和缩放来表示。将分子和分母分别表示为向量，通过旋转和缩放分母向量， 使其与分子向量共线，然后缩放分母向量使其长度为1，得到的结果即为商。
几何意义的应用
复数除法的几何意义在信号处理、电气工程等领域有广泛应用，如频谱分析、滤波器设计等。
利用复数乘除法规则，计算 ((a + bi) × (c + di))^2，其中 a, b, c, d 均为实数
将 (a + bi) 的共轭复数与自身相乘，得 到 |a + bi|^2 = a^2 + b^2
详细描述
计算 ((2 + 3i) × (4 - 5i)) ÷ ((2 + 3i) × (4 - 5i))
03
复数除法规则
复数除法的定义
定义
复数除法是将一个复数除以一个非零复数，得到的结果称为 商或有理数。
除法运算的步骤
将除数与其共轭复数相乘，得到一个分母为实数的复数，再 与被除数相乘，得到商。
除
除数不能为零，否则会导 致无意义或无穷大结果。
除数为无穷大
当除数为无穷大时，商为 零。
复数乘除法的重要性
复数乘法满足结合律、交换律和单 位元存在性，即对于任何复数 z 和 整数 n，有 z^n = n个z相乘。
复数乘法的几何意义
几何解释
复数乘法可以理解为在复平面上的向量旋转和伸缩。设 z1 和 z2 分别对应向量 OZ1 和 OZ2，则 z1z2 对应的向量 OZ1Z2 是通过以 OZ1 和 OZ2 为邻边的平 行四边形的对角线来确定的。
除数为虚数单位
当除数为虚数单位时，商 为实数。
除法运算的几何意义
复平面上的表示
在复平面上，复数除法可以通过旋转和缩放来表示。将分子和分母分别表示为向量，通过旋转和缩放分母向量， 使其与分子向量共线，然后缩放分母向量使其长度为1，得到的结果即为商。
几何意义的应用
复数除法的几何意义在信号处理、电气工程等领域有广泛应用，如频谱分析、滤波器设计等。
利用复数乘除法规则，计算 ((a + bi) × (c + di))^2，其中 a, b, c, d 均为实数
将 (a + bi) 的共轭复数与自身相乘，得 到 |a + bi|^2 = a^2 + b^2
详细描述
计算 ((2 + 3i) × (4 - 5i)) ÷ ((2 + 3i) × (4 - 5i))
03
复数除法规则
复数除法的定义
定义
复数除法是将一个复数除以一个非零复数，得到的结果称为 商或有理数。
除法运算的步骤
将除数与其共轭复数相乘，得到一个分母为实数的复数，再 与被除数相乘，得到商。
除
除数不能为零，否则会导 致无意义或无穷大结果。
除数为无穷大
当除数为无穷大时，商为 零。
复数乘除法的重要性
复数代数形式的乘除运算 课件
点评：在复数范围内解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0，a，b，c∈R)，将根设为 m＋ni，再利用复数相等 的充要条件解决问题．
题型4 利用in的周期性求解
例4 i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用 a＋bi的形式表示，a，b∈R)．
分析：利用 i 的周期性化简求和． 解析：i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i. 答案：4－4i 点评：熟记 i 的周期性，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．记住以 下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②11－ ＋ii＝－i， 11＋ －ii＝i；③1i ＝－i.
解析：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴b2＋＋cb＝＝00，. 得 b＝－2，c＝2. ∴b，c 的值为 b＝－2，c＝2. (2)∵方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边，得 (1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立． ∴1－i 是方程的根．
点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z z ＝|z|2＝| z |2，z∈R⇔z＝ z 等．
(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数 的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实 数问题求解．
题型3 复数范围内解方程问题 例3 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为
实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根．
基础 梳理
例：i＋2 的共轭复数是( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
答案：B
题型4 利用in的周期性求解
例4 i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用 a＋bi的形式表示，a，b∈R)．
分析：利用 i 的周期性化简求和． 解析：i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i. 答案：4－4i 点评：熟记 i 的周期性，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．记住以 下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②11－ ＋ii＝－i， 11＋ －ii＝i；③1i ＝－i.
解析：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴b2＋＋cb＝＝00，. 得 b＝－2，c＝2. ∴b，c 的值为 b＝－2，c＝2. (2)∵方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边，得 (1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立． ∴1－i 是方程的根．
点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z z ＝|z|2＝| z |2，z∈R⇔z＝ z 等．
(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数 的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实 数问题求解．
题型3 复数范围内解方程问题 例3 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为
实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根．
基础 梳理
例：i＋2 的共轭复数是( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
答案：B
复数代数形式的乘除运算ppt课件
探究
思考…
复数的乘法是否满足交换律、结合律？ 乘法对加法满足分配律吗？
对于任意z1, z2 , z3 ∈C有 交换律：z1z2 = z2z1 结合律：(z1z2 )z3＝z1(z2z3 ) 分配律：z1(z2 + z3 )＝z1z2＋z1z3
复数乘法法满足交换律的证明如下：
设Z1 = a1 + b1i，Z2 = a2 + b2i，Z3 = a3 + b3i. 因为
3.两个复数的积是一个确定的复数.
4.复数的乘法仍然满足交换律、结合 律、分配律.
5.一般地，当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时，这两个复数叫 做互为共轭复数.
6.复数z=a+bi的共轭复数记作
z, 即 z = a - bi.
7.复数的除法是乘法的逆运算.
8.复数的除法法则：
(a
+
bi)
(c
= (a1a2 + a1a3 - b1b2 - b1b3 ) + (b1a2 + b1a3 + a1b2 + a1b3 )i,
Z1Z2 + Z1Z3 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) + (a1 + b1i)(a3 + b3i) = (a1a2 - b1b2 ) + (b1a2 + a1b2 )i + (a1a3 - b1b3 ) + (b1a3 + a1b3 )i
解： 原式=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i. 注意
(-2i)4i=8 而不是
-8！
例题2
计算 (1)(3 + 4i)(3 - 4i); (2)(1 + i)2 .
复数代数形式的乘除运算公开课ppt课件
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究
复数乘除法运算ppt
掌握复数乘除法的计算技巧
乘法技巧
掌握分配律、结合律等乘法运算的技巧，简化计算过程。
除法技巧
掌握共轭复数、有理化分母等除法运算的技巧，确保结果的准确性。
THANKS
感谢观看
01
02
03
实例1
将3 + 4i除以2，得到结果 为1.5 + 2i。
实例2
将-5 - 6i除以-3，得到结 果为5/3 - 2i。
实例3
将4 - 3i除以3 + 2i，得到 结果为(4 - 3i)(3 - 2i)/13 = 1 - i。
03
复数乘除法的应用
在物理学中的应用
量子力学
复数在量子力学中扮演着重要的角色，它们用于描述波函数和概率幅。通过复 数乘除法运算，可以计算波函数的演化、叠加和测量结果。
使用草稿纸
在草稿纸上进行每一步的 计算，避免在同一张纸上 涂改，导致混乱。
多次检查
完成运算后，要反复检查， 确保结果的准确性。
理解复数乘除法的数学意义
复数乘法意义
理解复数乘法的几何意义，即两个复数相乘相当于在复平面上进行旋转和伸缩变换。
复数除法意义
理解复数除法的几何意义，即一个复数除以另一个复数相当于将除数的共轭复数与被除数相乘后再进行相应的逆 变换。
几何表示
伸缩
复数乘法可以理解为在复平面上的向 量旋转和伸缩。
当两个复数的实部相等时，虚部相乘 等于原来两个虚部相乘的结果加上实 部平方，实部相乘等于原来两个实部 相乘的结果减去虚部平方。
旋转
当两个复数的虚部相等时，实部相乘 等于原来两个实部相乘的结果减去虚 部平方，虚部相乘等于原来两个虚部 相乘的结果加上实部平方。
7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)
A.1＋2iB.12iC.2＋i D.2－i
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
复数的乘、除运算(优秀经典公开课课件)
第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算
学业标准
素养目标
1．结合多项式的乘法了解复数的乘法法 1．通过学习复数的乘法和除法，培养学
则．(难点) 生数学运算素养．
2．理解共轭复数的概念．(重点) 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算
3．能进行复数的除法以及分母实数 律，培养学生数学抽象素养.
答案
3 2
4．设 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且zz12为纯虚数，则实数 a＝________. 解析 设zz12＝bi(b∈R 且 b≠0)，所以 z1＝bi·z2， 即 a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，
所以a2＝ ＝43bb， ， 所以 a＝83.
答案
8 3
02
课堂案 题型探究
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
z1z2＝___z2_z_1___ (z1z2)z3＝___z_1(_z_2z_3_) ___ z1(z2＋z3)＝____z_1z_2_＋__z_1z_3_____
导学 2 复数的除法 如何规定两复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)
值可以是( )
A．1
B．－2
C．－3
D．－4
解析 因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以a1＋－1a＜＞00，， 解得 a＜－1，所以选 B，C，D.
答案 BCD
题型二 复数的除法运算
[例 2] (1)31＋ ＋ii＝(
答案 －2＋i
题型三 复数乘法和除法的综合应用 [例 3] 已知 z1 是虚数，z2＝z1＋z11是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围； (2)若 ω＝11＋－zz11，求证：ω 为纯虚数．
学业标准
素养目标
1．结合多项式的乘法了解复数的乘法法 1．通过学习复数的乘法和除法，培养学
则．(难点) 生数学运算素养．
2．理解共轭复数的概念．(重点) 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算
3．能进行复数的除法以及分母实数 律，培养学生数学抽象素养.
答案
3 2
4．设 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且zz12为纯虚数，则实数 a＝________. 解析 设zz12＝bi(b∈R 且 b≠0)，所以 z1＝bi·z2， 即 a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，
所以a2＝ ＝43bb， ， 所以 a＝83.
答案
8 3
02
课堂案 题型探究
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
z1z2＝___z2_z_1___ (z1z2)z3＝___z_1(_z_2z_3_) ___ z1(z2＋z3)＝____z_1z_2_＋__z_1z_3_____
导学 2 复数的除法 如何规定两复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)
值可以是( )
A．1
B．－2
C．－3
D．－4
解析 因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以a1＋－1a＜＞00，， 解得 a＜－1，所以选 B，C，D.
答案 BCD
题型二 复数的除法运算
[例 2] (1)31＋ ＋ii＝(
答案 －2＋i
题型三 复数乘法和除法的综合应用 [例 3] 已知 z1 是虚数，z2＝z1＋z11是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围； (2)若 ω＝11＋－zz11，求证：ω 为纯虚数．
7.2.2复数的乘、除运算PPT课件(人教版)
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝2i12－i＝1＋i.
(2) ∵
z
＝
3－i 1＋2i
＝
3－i1－2i 1＋2i1－2i
＝
1－7i 5
，
所
以
|z|
＝
152＋－75＝2 2. (3)由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以zz21＝
答案：D
2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2
B．i2(1－i)
C．(1＋i)2
D．i(1＋i)
解析：A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数； C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数； D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
答案：－2＋i
2．计算：11＋－ii7＋11－＋ii7－3－44i＋23＋i 2i3.
解：原式＝[(1＋i)2]3·11＋－ii
＋[(1－i)2]3·11－＋ii
－
83－4i1＋i3 3－4ii
＝
(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2ii1＋i＝8＋8－16－16i＝－16i.
复数范围内方程根的问题
－2i－i＝－1＋2i，对应的点在第二象限． [答案] (1)D (2)C (3)B
1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复 数的代数形式． 2．常用公式 (1)1i ＝－i；(2)11＋ －ii＝i；(3)11＋－ii＝－i.
7.2.2 复数的乘、除运算课件ppt
(6)(1+ 3i)3=(1+ 3i)2(1+ 3i)=(-2+2 3i)·(1+ 3i)=-2-6=-8.
探究二
i幂值的周期性及其应用
例2计算下列各式的值:
(1)i2 016;
(2)(1+i)12+(1-i)12;
(3)1+i+i2+…+i2 016.
分析根据i幂值的周期性以及复数乘方的运算法则进行计算求解.
解 (1)i2 016=i4×504=i4=1.
(2)(1+i)12+(1-i)12=[(1+i)2]6+[(1-i)2]6
=(2i)6+(-2i)6=(-4)3+(-4)3=-128.
(3)1+i+i2+…+i2 016 =(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…+(i2 012+i2 013+i2 014+
i2 015)+i2 016=0×504+i2 016=1.
要点笔记利用i幂值的周期性解题的技巧
(1)熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的
幂值分别为1,i,-1,-i.
(2)对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
变式训练2若A= | = i2 + i-2 ,∈N*
A.3
B.4
C.8
,则集合A的子集的个数为(
D.16
答案 B
解析 当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,当n=3
探究二
i幂值的周期性及其应用
例2计算下列各式的值:
(1)i2 016;
(2)(1+i)12+(1-i)12;
(3)1+i+i2+…+i2 016.
分析根据i幂值的周期性以及复数乘方的运算法则进行计算求解.
解 (1)i2 016=i4×504=i4=1.
(2)(1+i)12+(1-i)12=[(1+i)2]6+[(1-i)2]6
=(2i)6+(-2i)6=(-4)3+(-4)3=-128.
(3)1+i+i2+…+i2 016 =(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…+(i2 012+i2 013+i2 014+
i2 015)+i2 016=0×504+i2 016=1.
要点笔记利用i幂值的周期性解题的技巧
(1)熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的
幂值分别为1,i,-1,-i.
(2)对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
变式训练2若A= | = i2 + i-2 ,∈N*
A.3
B.4
C.8
,则集合A的子集的个数为(
D.16
答案 B
解析 当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,当n=3
公开课复数的乘除法运算课件市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
公开课复数乘除法运算课件
第 151/157页
五、【课堂小结】
复数乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i. 复数代数式相乘，
可按多项式类似方法进行，无须去记
公式.
复数除法法则是：
i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷方法是把它们商 写成份式形式，然后把分子与分母都 乘以分母共轭复数，再把结果化简
（１）在复平面内，它们所对应点有怎样位 置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样数？
公开课复数乘除法运算课件
第 9/197页
两个互为共轭复数乘积等于这个复数（或 其共轭复数）模平方
结论： •
2
2
公开课复数乘除法运算课件
第 101/107页
练习：
求(1 i)2 (1 i)2
(a bi)2 a2 2abi b2i2
(ac
bd ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
(bc d2
ad )i
分母实数化
公开课复数乘除法运算课件
第 131/137页
例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
公开课复数乘除法运算课件
第 141/147页
四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
,
,
z2
z1
•
1
z2
4i
, z1 z2
碰到 时i，2 要把 换i成2 ，
并-把1 最终止果写成
a bi(a,b R) 形式。
公开课复数乘除法运算课件
第 3/137页
设 z1 a bi , z2 c di
公开课课件：复数的乘除法运算
仔细核对运算过程
在进行复数乘除法运算时，需要仔细核对运算过程，确保 每一步运算都是正确的。同时，也要注意符号的处理和结 果的正确性。
THANKS
[ 感谢观看 ]
01
复数乘法定义为两个复数相乘， 将它们的实部和虚部分别相乘， 然后合并同类项。
02
例如：$(a+bi) times (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$
复数乘法的计算方法
计算步骤
先计算实部和虚部的乘积，然后合并同类项。
注意事项
在进行乘法运算时，需要注意运算的优先级，先进行括号内的乘法，再进行实部 和虚部的乘法。
复数除法的几何意义
几何意义
复数除法运算可以理解为在复平面内，以原点为起点，作一 个向量与给定向量成比例，这个比例即为所求的复数除法的 结果。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$，在复平面内表 示为以原点为起点，作一个向量，该向量与 $z$ 成比例为 $frac{1}{2}$，即为所求的结果。
CHAPTER 03
复数的除法运算
复数除法的定义
定义
复数除法运算是指将一个复数除以一 个非零实数或复数，得到的结果仍为 一个复数。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$。
复数除法的计算方法
计算步骤
先对分母进行化简，再对分子和 分母进行乘除运算，最后得到结
复数的表示方法
总结词
复数可以用多种方式表示，包括代数式、三角式和极坐标式。
详细描述
代数式是将复数表示为实部和虚部的和，即$z=a+bi$；三角式是将复数表示为 模长和幅角的乘积形式，即$z=r(costheta+isintheta)$；极坐标式是将复数表 示为模长和角度的形式，即$z=r(costheta+isintheta)$。
在进行复数乘除法运算时，需要仔细核对运算过程，确保 每一步运算都是正确的。同时，也要注意符号的处理和结 果的正确性。
THANKS
[ 感谢观看 ]
01
复数乘法定义为两个复数相乘， 将它们的实部和虚部分别相乘， 然后合并同类项。
02
例如：$(a+bi) times (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$
复数乘法的计算方法
计算步骤
先计算实部和虚部的乘积，然后合并同类项。
注意事项
在进行乘法运算时，需要注意运算的优先级，先进行括号内的乘法，再进行实部 和虚部的乘法。
复数除法的几何意义
几何意义
复数除法运算可以理解为在复平面内，以原点为起点，作一 个向量与给定向量成比例，这个比例即为所求的复数除法的 结果。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$，在复平面内表 示为以原点为起点，作一个向量，该向量与 $z$ 成比例为 $frac{1}{2}$，即为所求的结果。
CHAPTER 03
复数的除法运算
复数除法的定义
定义
复数除法运算是指将一个复数除以一 个非零实数或复数，得到的结果仍为 一个复数。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$。
复数除法的计算方法
计算步骤
先对分母进行化简，再对分子和 分母进行乘除运算，最后得到结
复数的表示方法
总结词
复数可以用多种方式表示，包括代数式、三角式和极坐标式。
详细描述
代数式是将复数表示为实部和虚部的和，即$z=a+bi$；三角式是将复数表示为 模长和幅角的乘积形式，即$z=r(costheta+isintheta)$；极坐标式是将复数表 示为模长和角度的形式，即$z=r(costheta+isintheta)$。
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求
z1 z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 , z2
z1 3 2i , z2 1 4i
五、【课堂小结】
复数的乘法法则是： (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似 的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是： i(c+di≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们 的商写成分式的形式，然后把分子与 分母都乘以分母的共轭复数，再把结 果化简
一、【回顾旧知】
复数加减法的运算法则：
运算法则: 设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只 是在遇到 i 时，要 i 换 成-1，并把最后的结果写成 a bi (a, b R) 的形式。
六、【作业布置】
P61习题3.2
A组
4（4）、 5（4）
1 2 3 4
- i , i __ 1 , i __ 1 i __ i , i -__
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 ,
i
4 n 1
i ,
i
4n2
1
, i
4 n 3
i
(5)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i 2 2 (c di)(c di) c d
分母实数化
a bi (a bi ) (c di ) c di
例4.计算
解:
(1 2i) (3 4i)
四、【巩固新知】
已知
2 2
设 z1 a bi , z2 c di (a，b，c，d R)
（a bi） (c di) 则 z1 z2
ac adi bci bdi
(ac bd) (ad bc)i
显然，两个复数的乘积仍为复数
2
2.复数运算满足交换律、结合律、分配 律。
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 欢 迎 光 临！欢 指 导 ! 舟 书 山 路 勤习，老 为 径，学 无 崖 苦 作 少 成功 小 =有 艰苦的劳动 不 学 +数系的扩充与复数的引入 正确的方法 来海 徒迎 伤 + 少谈空话 悲 《选修 1-2 》第三章
3.2.2 复数的乘除运算
2017年4月17日星期一
3 4i 6i 8i 2
11 2i
例2(1 2i)(3 4i)(2 i)
解：
例3 计算:
2 9-16i (3+4i)(3-4i) = =9+16=25
练习：计算
（ 1 ） (a bi)(a bi)
a abi abi b i
2
2 2
a b
1 2 2 1
（1 2） 3 1 （2 3）
1 （2 3） 1 2 1 3
三、【例题讲解】
例1
已知1 1 2i, 2 3 4i 计算1 2。
解:
1 2 （ 1 2i） (3 4i)
2
2
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。 特别地，实数的共轭复数是实数本身。 Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么 （１）在复平面内，它们所对应的点有怎样 的位置关系？ （２） z1 、z2是一个怎样的数？
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数 （或其共轭复数）模的平方
结论：
2
2
练习：
求(1 i) 2 (1 i)
2
(a bi) a 2abi b i
2 2
2 2
a 2abi b
2
2
4【思考探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1
z1 z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 , z2
z1 3 2i , z2 1 4i
五、【课堂小结】
复数的乘法法则是： (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似 的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是： i(c+di≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们 的商写成分式的形式，然后把分子与 分母都乘以分母的共轭复数，再把结 果化简
一、【回顾旧知】
复数加减法的运算法则：
运算法则: 设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只 是在遇到 i 时，要 i 换 成-1，并把最后的结果写成 a bi (a, b R) 的形式。
六、【作业布置】
P61习题3.2
A组
4（4）、 5（4）
1 2 3 4
- i , i __ 1 , i __ 1 i __ i , i -__
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 ,
i
4 n 1
i ,
i
4n2
1
, i
4 n 3
i
(5)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i 2 2 (c di)(c di) c d
分母实数化
a bi (a bi ) (c di ) c di
例4.计算
解:
(1 2i) (3 4i)
四、【巩固新知】
已知
2 2
设 z1 a bi , z2 c di (a，b，c，d R)
（a bi） (c di) 则 z1 z2
ac adi bci bdi
(ac bd) (ad bc)i
显然，两个复数的乘积仍为复数
2
2.复数运算满足交换律、结合律、分配 律。
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 欢 迎 光 临！欢 指 导 ! 舟 书 山 路 勤习，老 为 径，学 无 崖 苦 作 少 成功 小 =有 艰苦的劳动 不 学 +数系的扩充与复数的引入 正确的方法 来海 徒迎 伤 + 少谈空话 悲 《选修 1-2 》第三章
3.2.2 复数的乘除运算
2017年4月17日星期一
3 4i 6i 8i 2
11 2i
例2(1 2i)(3 4i)(2 i)
解：
例3 计算:
2 9-16i (3+4i)(3-4i) = =9+16=25
练习：计算
（ 1 ） (a bi)(a bi)
a abi abi b i
2
2 2
a b
1 2 2 1
（1 2） 3 1 （2 3）
1 （2 3） 1 2 1 3
三、【例题讲解】
例1
已知1 1 2i, 2 3 4i 计算1 2。
解:
1 2 （ 1 2i） (3 4i)
2
2
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。 特别地，实数的共轭复数是实数本身。 Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么 （１）在复平面内，它们所对应的点有怎样 的位置关系？ （２） z1 、z2是一个怎样的数？
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数 （或其共轭复数）模的平方
结论：
2
2
练习：
求(1 i) 2 (1 i)
2
(a bi) a 2abi b i
2 2
2 2
a 2abi b
2
2
4【思考探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1