电阻、电感、电容的串联电路

【例8-4】 在 RLC 串联电路中，交流电源电压 U = 220 V， 频率 f = 50 Hz，R = 30 ，L = 445 mH，C = 32 F。试求：(1) 电路中的电流大小 I ；(2) 总电压与电流的相位差 ；(3) 各元 件上的电压 UR、UL、UC 。
1 解：(1) XL = 2fL 140 ，XC = 100 ， 2 fC
根据基尔霍夫电压定律 (KVL) ，在任一时刻总电压 u 的瞬时值为 u = uR uL uC
作出相量图，如图 8-5 所示，并得到各电压之间的 2 大小关系为 U UR (U L U C ) 2 上式又称为电压三角形关系式。
图 8-5 RLC 串联电路的相量图
二、RLC 串联电路的阻抗
由于 UR = RI，UL = XLI，UC = XCI，可得
2 U UR (U L U C ) 2 I R 2 ( X L X C ) 2
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令
U Z I
R2 ( X L X C )2
R2 X 2
上式称为阻抗三角形关系式，|Z| 叫做 RLC 串联电 路的阻抗，其中 X = XL XC 叫做电抗。阻抗和电抗的单 位均是欧姆 ()。
阻抗三角形的关系如图 8-6 所示。
图 8-6 RLC 串联电路的阻抗三角形
由相量图可以看出总电压与电流的相位差为
U L UC X L XC X arctan arctan arctan UR R R
上式中 叫做阻抗角。
三、RLC 串联电路的性质
根据总电压与电流的相位差(即阻抗角 )为正、为负、为 零三种情况，将电路分为三种性质。 1. 感性电路：当 X > 0 时，即 X L > X C， > 0，电压 u 比 电流i超前 ，称电路呈感性； 2. 容性电路：当 X < 0 时，即 X L< X C， < 0，电压 u 比 电流i滞后 || ，称电路呈容性； 3. 谐振电路：当 X = 0 时，即 X L = X C， = 0，电压 u 与 电流 i 同相，称电路呈电阻性，电路处于这种状态时，叫做谐 振状态(见本章第五节)。
Z R 2 ( X L X C ) 2 50 Ω
I U 4.4 A Z
(2) arctan
X L XC 40 arctan 53.1 R 30
即总电压比电流超前 53.1 ，电路呈感性。 (3) UR = RI = 132 V，UL = X LI = 616 V，UC = X CI = 440 V。 本例题中电感电压、电容电压都比电源电压大，在交流电 路中各元件上的电压可以比总电压大，这是交流电路与直流电 路特性不同之处。
1 XC 80 Ω ， 解：(1) 由 ωC 141.2 2 2 Z R X C 100 Ω ， U V 100 V 2
则电流为
U I 1A Z
(2) UR = RI = 60 V，UC = X C I = 80 V，显然
U
2 2 UR UC
XC 80 ) arctan( ) 53.1 (3) arctan( R 60 即总电压比电流滞后 53.1，电路呈容性。
2．RC 串联电路
只要将 RLC 串联电路中的电感 L 短路去掉，即令XL = 0， UL = 0，则有关 RLC 串联电路的公式完全适用于 RC 串联电路。
【例 8-6】在 RC 串联电路中，已知电阻 R = 60 ，电容 C = 20 F，外加电压为 u = 141.2sin628t V。试求：(1) 电路中 的电流 I ；(2) 各元件电压 UR、UC ； (3) 总电压与电流的相位差 。
四、RL 串联与 RC 串联电路
1．RL 串联电路
只要将 RLC 串联电路中的电容 C 短路去掉，即令 XC = 0，UC = 0，则有关 RLC 串联电路的公式完全适用 于 RL 串联电路。
【例8-5】在 RL 串联电路中，已知电阻 R = 40 ，电感L = 95.5 mH，外加频率为 f = 50 Hz、U = 200 V 的交流电压源，试求： (1) 电路中的电流 I ； (2) 各元件电压UR、UL；(3) 总电压与电 流的相位差 。 解：(1) XL= 2fL 30 ， Z R
2 2 XL
U 4A 50 Ω 则 I Z
2 2 (2)UR = RI = 160 V，UL = X LI = 120 V，显然 U U R UL
(3) arctan
超前 36.9 ，电路呈感性。
XL 30 arctan 36.9 即总电压 u 比电流 i R 40
第四节 电阻、电感、 电容的串联电路
一、 RLC 串联电路的电压 关系
由电阻、电感、电容相串联构成的电路叫做 RLC 串联电路。
图 8-4 RLC 串联电路
设电路中电流为 i = Imsin( t)，则根据 R、L、C 的 基本特性可得各元件的两端电压： uR =RImsin( t)， uL=XLImsin( t 90)， uC =XCImsin( t 90)