二次型及其矩阵表示

即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
6.3.6 其他类型的实二次型
定义4 设 f x Ax 为n元实二次型，对于 任意一个非零向量x，
T
(1) 都有
f x Ax 0 ，则称f是半正定的；
T
T f x Ax 0 (2) 都有
，则称f是负定的；
T f x Ax 0 (3) 都有
a11 0,
a11 a12 0, a21 a22
,
a11 a1n 0; an1 ann
这个定理称为霍尔维茨定理．
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
A 0 x z Cz ( x , y ) 0 B y
T T T
x T Ax y By 0,
T
且C是实对称阵, 故C为正定矩阵.
n源自文库
充分性 设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0, 则 y C -1 x 0,
i 1
故
2 f x k i yi 0. i 1
n
必要性
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量) 时,
f Ces k s 0.
. 显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾
1 1 1 1 0 0 0
Ep
Eq
的对角矩阵，其中p+q=r=R(A)，p是正惯性指数， q是负惯性指数。
小结
1. 秩、正负惯性指数都是实二次型的不变量。 2. 实二次型的规范形惟一。
则k1 , , kr中正数的个数与1 , , r中正数的个数
定义6-4：在实二次型的标准形中，正平方项的项数p 称为二次型的正惯性指数；负平方项的项数q=r-p（ r为二次型的秩）称为二次型的负惯性指数；它们的 差p-q=2p-r称为二次型的符号差。 注：类似可以定义实对称矩阵的正惯性指数、 负惯性指数以及符号差。 推论6-1 两二次型可以经过非退化线性变换互相变换 的充要条件是：它们具有相同的秩和正惯性指数。 推论6-2 两个实对称矩阵合同的充要条件是： 它们具有相同的秩和正惯性指数。
2
且A- 1 (C T C )1 C 1 (C T )1 C 1 (C 1 )T DT D （其中D＝(C ) ）
1 T
下面给出正定矩阵的必要条件和充分必要条件
定理5（必要条件）设A为正定矩阵，则 (1) A的主对角元素 aii 0(i 1, 2,, n)
(2) A的行列式 A 0.
第6章 二次型
6.1 二次型及其矩阵表示 6.2 二次型的标准形 6.3 惯性定理和二次型的正定性 总结 习题课
在上一节中，数域P上的任一二次型，都可经过 适当的非退化线性变换化为标准形。但标准形不唯一。
P148例1与P152例4 问题：能否找到有关标准形的不变量？
6.3.1 惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
(4)f的矩阵A的的顺序主子式全大于等于0， 且至少有一个等于0。
例4 判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
2 5 2 解 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
T 证明：(1) A正定， f x Ax正定
取x ei (0,,1,,0)T f (0,,1,,0) eiT Aei aii 0
(2)因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得
A CT C
AC
T
C C 0
2
注：此定理只是必要条件，
0 2 1 3 例如 , 都不是正定矩 2 5 3 2
注：本节的二次型都是实二次型。
6.3.4 正定二次型
定义1 设有实二次型 f ( x ) x T Ax, 如果对任何 x 0, 都有f x 0显然 f 0 0 , 则称f为正定二 次型, 并称对称矩阵A是正定的;如果对任何x 0 都有f ( x ) 0, 则称 f为负定二次型, 并称对称矩阵 A是负定的.
定理1(惯性定理) 设有实二次型 f xT Ax, 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x Cy 使 及 相等.
2 1 1 2 2
及
x Pz
2 r
f k y k2 y kr y
2 f 1 z12 2 z2 r zr2
ki 0 , i 0 ,
1 2 A 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1
虽满足 aii 0, A 9 0
但A不是正定矩阵。
定义3 设 A (aij )nn 是一个n阶矩阵，如果A的k阶子式
ai1 j1 ai2 j1 aik j1 ai1 j2 ai2 j2 aik j2 ai1 jk ai2 jk aik jk
例如
f x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型 f x 3x
2 1 2 2
为负定二次型
定理1 n元实二次型 f x Ax 为正定的充分必要条件 为：它的标准形的n个系数全为正。
T
证明 设可逆变换x Cy使
f x f Cy ki yi2 .
，则称f是半负定的；
(4) 如果 f xT Ax 既不是半正定也不是半负定， 则称f是不定的。
注：以上二次型对应的对称矩阵分别叫做半正定矩阵， 负定矩阵，半负定矩阵。
定理7 对于n元实二次型f，下列命题等价：
(1) f负定；
(2) f的负惯性指数是n，即其规范形为 y12 y22 yn2 (3) f的矩阵A的特征值全小于0；
例3 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2
0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
A 80 0, 根据定理13知f为负定.
小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法. 3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）及半正定二次型（矩阵） 相应的判别方法．
思考题
设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 0 矩阵C . 是否为正定矩阵 0 B
思考题解答
解 C是正定的. T 因为, 设 z T ( x T , y )为m n维向量, 其中x , y分
别是m 维和n维列向量, 若z 0, 则x , y不同时为零向 量, 于是
(4) f的矩阵A的的顺序主子式 Di 满足 (1)i Di 0(i 1, 2,, n) 即，奇数阶顺序主子式小于0， 偶数阶顺序主子式大于0，
定理8 对于n元实二次型f，下列命题等价： (1) f半正定； (2) f的正惯性指数是n，即其规范形为
(3) f的矩阵A的特征值全大于等于0，且至少有一个 特征值为0。
y1 y r y r 1 y n 1 d1 1 dr zn zr z1
f z z z
2 1 2 p
2 p1
z
2 r
此为实二次型的规范形。
zr 1
定理6-5 任一实数域上的n元二次型，总可以经过非 退化线性变换变为规范形，且规范形是惟一的。 定理6-6 任一实对称矩阵A必合同于一个形如
6.3.2 二次型的规范形
二次型经过适当的非退化线性变换（包括改变变量 的次序），总可以变为标准形
2 2 2 f d1 y1 d p y2 d y d y p p 1 p 1 r r
d i 0, i 1, 2, , r
，r 是f 的秩。
由于在实数域中，正数可以开平方，在作一次非退化 线性变换
1 y12 2 y22 n yn2
其中1，2， ，n 是A的全部特征值。
A正定 x Ax是正定二次型
T
1，2， ，n全大于0
例1 设A正定，则A可逆，且 A 1 也正定。 证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得
A CT C
AC
T
C C 0
故
ki 0i 1,, n.
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
推论1 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的规范形为
f z z z
2 1 2 2
2 n
推论2 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的正惯性指数为n。
6.3.5 正定矩阵
定义2 设A是实对称矩阵，如果二次型 正定二次型，则称A是正定矩阵。
xT Ax 是
定理2 实对称矩阵A正定的充要条件是 A E 证明：由推论2。 定理3 实对称矩阵A正定的充要条件是：存在可逆 矩阵C，使得 A C T C
定理4 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
T f x Ax 都可经过 证明：因为任何n元实二次型 正交线性替换 x Ty 化为标准形
例2 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
2 4 5 1 2 , 解 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4 2 5 它的顺序主子式 2 4 5 5 2 1 2 1 0, 5 0, 1 0, 2 2 1 4 2 5 故上述二次型是正定的.
的行标等于列标，即 i1 j1 , i2 j2 ,, ik jk ，则称为 k阶主子式（principal minor），其中主子式
a11 a21 ak 1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk
称为A的k阶顺序主子式。
定理6（充分必要条件） 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A 的各阶顺序主子式全为正，即