矩阵二次型讲解

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二次型矩阵知识点总结笔记

二次型矩阵知识点总结笔记
二次型矩阵是线性代数中的重要概念，涉及到矩阵、向量、特
征值等多个知识点。

下面我将从不同角度对二次型矩阵进行总结：
1. 定义，二次型矩阵是一个实对称矩阵，通常用矩阵Q表示。

它可以表示为一个关于向量x的二次齐次多项式，即Q(x) = x^T
A x，其中A是实对称矩阵，x是列向量。

2. 矩阵的性质，二次型矩阵的主要性质包括实对称性、正定性、负定性、半正定性、半负定性等。

这些性质与矩阵的特征值和特征
向量密切相关。

3. 特征值分解，对于二次型矩阵，可以进行特征值分解，得到
矩阵的特征值和特征向量。

这对于分析矩阵的性质和优化问题具有
重要意义。

4. 应用，二次型矩阵在优化问题、统计学、物理学等领域有着
广泛的应用。

例如在最小二乘法、主成分分析、正定规划等问题中
都涉及到二次型矩阵的应用。

总的来说，二次型矩阵是线性代数中一个重要且复杂的概念，涉及到多个方面的知识点。

深入理解二次型矩阵对于理解矩阵理论和应用具有重要意义。

希望这些总结对您有所帮助。

第2讲_二次型的矩阵处理

定理：合同的矩阵有相同的秩。
证明：… 对二次型，由于经可逆的线性变换前后的矩阵是合同的，从而其秩也是一样的，又由于二次型矩阵的秩又称为二次型的秩，因此可说，可逆的线性变换不改变二次型的秩。
二二次型的正交标准化
对实对称矩阵,我们有定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使 U-1AU = UTAU = Λ ，其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。
线性变换。
4 二次型结论向矩阵结论的转化
在第一节我们只使用二次型的知识论证了任一二次型都可以通过可逆的线性变换化为标准形。本节前面的论述则指明二次型及其线性变换可表示成矩阵的形式。基于二次型通过可逆变换能够化成标准形及其矩阵表示形式，我们可以得到：对任一二次型 xTAx, 其中 AT=A，存在 x=Cy, C可逆，
终极目标是求特征值吗？
将二次型化为简单的标准形式，目标并不在于求特征根，因此求特征值与特征向量或许没有必要。我们再来看定理定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩
阵，则存在可逆正交变换 x=Uy，可化二次型为标准形。
做多了
在用配方法证明二次型可经可逆的线性变换化为标准形的
在前面我们使用数学归纳法证明了二次型是可以通过可逆
的线性变换化为标准形，但这里有两个问题或麻烦，其一是证明过程的表述形式过于繁杂；其二是确定所说的可逆的线性变换也不是简单易得的。问题：真对如上关于对称矩阵的结论，能否用于二次型的
可化为标准形证明，以及确定所求的可逆的线性变换？
定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩阵，
二次型
第1节二次型的概念
第2节二次型的矩阵处理

二次型的矩阵表示与规范形

二次型的矩阵表示与规范形二次型是数学中一种重要的函数形式，它在线性代数、微分方程、物理学等多个领域中都有广泛的应用。

在研究二次型时，通过矩阵表示和规范形可以更加清晰地理解和分析其性质和特点。

本文将介绍二次型的矩阵表示和规范形的概念及其应用。

1. 二次型的矩阵表示二次型是一个多元二次齐次函数，通常表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。

这里的x^T表示x的转置矩阵。

实际上，二次型Q(x)可以看作是向量x和矩阵A的乘积，而矩阵A起到了描述二次型性质的作用。

为了将二次型表示为矩阵形式，我们可以将x表示为列向量，A表示为矩阵，然后将二次型的表达式展开为矩阵的乘积形式。

具体来说，对于一个n维列向量x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T，其中x_i表示向量x的第i个分量，我们可以将二次型Q(x)表示为：Q(x) = x^TAX = x_1a_{11}x_1 + x_1a_{12}x_2 + ... + x_na_{nn}x_n 将上式中的二次项系数（a_{ij}）按照矩阵的形式排列，即可得到矩阵A。

这样，二次型Q(x)就可以表示为矩阵A的乘积形式。

2. 二次型的规范形二次型的规范形是一种特殊的矩阵表示形式，通过对矩阵A进行特殊的相似变换，可以将二次型化为规范形。

规范形对于分析二次型的性质和特征有很大的帮助。

对于一个二次型Q(x) = x^TAX，通过合同变换（转置和相似变换的组合），我们可以将矩阵A转化为对角矩阵D = diag(λ_1, λ_2, ..., λ_n)，其中λ_i表示矩阵D的第i个对角元素。

这样，二次型Q(x)就可以表示为：Q(x) = x^TAX = x^TP^TDPx = (Px)^TD(Px)其中P为可逆矩阵，称之为合同变换矩阵。

从上式可以看出，二次型Q(x)经过合同变换后可以化为规范形，其中规范形的矩阵D是对角矩阵，每个对角元素表示了相应方向上的特征值，而合同变换矩阵P则是由特征向量构成。

6.1 二次型及其矩阵表示

6
第六章二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。个变量的二次齐次二次齐次多项式称为二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二二次型。是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第六章二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看：试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )

矩阵二次型

1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
练习求二次型 f的矩阵
(1) f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 3 x2 x3
1 1 0
解： A 1
2
3
2
0
3
0
2
(2) f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x22 7 x42 2x1x2 2x2 x3 4x3 x4
第八章二次型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1, x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型当aij是实数时, f称为实二次型
解：A
1 3
5 3
3 c
r( A) 2 A 0 c3
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn
,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
则 f xT Ax,
——二次型的矩阵表示式
A 其中为对称阵：
. AT A

二次型矩阵形式

二次型矩阵形式二次型是数学中一个重要的概念，与矩阵紧密相关。

在接下来的文章中，我将详细介绍二次型及其矩阵形式，包括定义、性质、特征值和特征向量以及矩阵对角化等内容。

首先，我们来定义二次型。

给定一个n维向量x = (x1, x2, ..., xn)，我们可以定义一个二次型Q(x)如下：Q(x) = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2其中，x1, x2, ..., xn是向量x的分量。

上述二次型表示了一个向量x各个分量的平方和。

一般地，我们可以用一个n维向量x和一个实对称矩阵A来表示一个二次型，如下所示：Q(x)=x^TAx其中，x^T表示向量x的转置，表示行向量。

接下来，我们来探讨二次型的性质。

首先，我们看到二次型的系数矩阵A是实对称矩阵。

这是因为在二次型的定义中，我们可以通过转置操作将行向量x转换为列向量，从而使得系数矩阵A是对称的。

实对称矩阵有很多重要的性质，例如它总是可以对角化的。

另外，二次型对应的系数矩阵A也具有特殊的性质，即正定、负定或半正定、半负定。

如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么二次型Q(x)为正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<0，那么二次型Q(x)为负定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>=0，那么二次型Q(x)为半正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<=0，那么二次型Q(x)为半负定。

正定、负定、半正定和半负定是描述二次型的重要概念，它们在优化问题、凸优化和最小二乘等领域中有着广泛应用。

特征值和特征向量也是与二次型密切相关的概念。

给定一个二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶实对称矩阵，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个实数，那么v是矩阵A的特征向量，λ是对应的特征值。

特征值和特征向量能够帮助我们更好地理解和分析二次型的性质。

矩阵对角化也是二次型的一个重要应用。

对于一个n阶实对称矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵D，那么我们称矩阵A可对角化。

二次型的矩阵表示

x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 5y12 5y22 4y32
z12 z22 z32
• 三次齐次多项式 ( 三次型 ) :
x3 7z3 y2 z
§1 二次型的矩阵表示 © 2009, Henan Polytechnic University
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn
L L L L L L L L
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn

aij
x i
x
j
②
i1 j1
§1 二次型的矩阵表示 © 2009, Henan Polytechnic University
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn ①
L L L L
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型．
§1 二次型的矩阵表示 © 2009, Henan Polytechnic University
33
第五章二次型
• 二次齐次多项式 ( 二次型 ) :
2 1

所对应的二次型。
§1 二次型的矩阵表示 © 2009, Henan Polytechnic University
1212
第五章二次型
解 1）原二次型所对应的对称矩阵为：

1 1 0
B 1
0
3

2
0
3
1
2
2）矩阵对应的二次型为：
f x1, x2 , x3 x12 4x1 x2 6x1 x3 4x2 x3 x32

二次型及其矩阵表示

二次型的标准型的意义
标准型在二次型的理论和应用中具有重要意义。例如，通过研究标准型，我们可以更好地了解二次型的性质和特点。此外，标准型也常常用于求解二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方法
二次型的标准化方法包括将二次型转化为标准型的过程。这个过程可以通过正交变换来实现，具体来说就是通过一系列可逆变换将二次型转化为其同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式，其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ，则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如，正定二次型的标准型是唯一的，并且可以通过正交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外，正定二次型的矩阵是正定的，即其所有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为其同类中最为简单的一种形式。通过作可逆变换，任何一个二次型都可以化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A，其二次型可以通过对其进行矩阵乘法得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，这种方法可以用于计算二次型的值。

二次型ppt课件

为标准形，并求所做的坐标变换。
解因为没有二次项，先利用平方差公式做如下变换:
x1 x2
y1 y1
y2 y2
x1 1 1 0 y1
即
x2
1
1
0
y2
(1)
x3 y3
x3 0 0 1 y3
记作
x=C1 y
将(1)式代入二次型，得
f(x1, x2, x3)= 2y12 2y22 4y2y3
例3 用配方法把三元二次型
f
(x1, x2 , x3 )
2 x12
3x
2 2
x32
4x1x2
4x1x3
8x2 x3
化为标准形，并求所用的坐标变换 x=Cy 及变换矩阵C 。
解先按x12 及含有x1的混合项配成完全平方，即
19
f (x1, x2 , x3 )
2[x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 ] 2(x2 x3)2 3x22 x32 8x2x3
这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及
物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般
化,讨论 n个变量的二次齐次多项式的化简问题.
1
6.1 二次型的定义和矩阵表示合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2, ,xn的二次齐次多项式
f(x1,x2, ,xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
其中1, ,n 是实对称矩阵A的n个特征值， Q的n个列向量是A属于1, ,n 的n个标准正交变换化二次型
f (x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x22 8x2 x3 5x32

矩阵二次型讲解

使
B CT AC,
则称矩阵A与 B 合同.
说明
合同关系是一个等价关系.
设A 与B合同，若A 是对称阵，则B 也对称阵. 若 A与 B合同，则 R( A) R(B) .
经可逆变换 x Cy 后，二次型的矩阵由 A变为与A 合同的矩阵 C T AC , 且二次型的秩不变.
对称阵一定合同, 相似与一个对角阵.
x

x2
xn
,
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
目录上页下页返回结束
则 f xT Ax,
——二次型的矩阵表示式
其中 A为对称阵：AT A.
说明
对称阵与二次型一一对应；
若 f xT Ax ( AT A)，则对称阵 A称为
二次型 f 的矩阵；二次型 f 称为对称阵 A的
二次型；
二次型的矩阵 A 满足：
⑴ A 的对角元 aii是 xi2 的系数；
⑵ A 的 (i, j) (i j) 元是 xi x j系数的一半.
目录上页下页返回结束
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
目录上页下页返回结束
则 (1) B CT AC 仍是对称矩阵 (2) r(B) r( A)
因为 (1) BT (CT AC )T CT AT (CT )T CT AC B
(2) B CT AC 所以 r(B) r(AC) r(A)
A (C T )1 BC 1 所以r(A) r(BC 1) r(B)

二次型矩阵本质

二次型矩阵本质摘要：一、二次型矩阵的定义与性质1.二次型矩阵的概念2.二次型矩阵的性质二、二次型矩阵的标准化1.标准化方法2.标准化后的矩阵形式三、二次型矩阵的求解方法1.配方法2.初等变换法3.求解二次型矩阵的逆矩阵四、二次型矩阵的应用1.最小二乘问题2.矩阵的特征值与特征向量正文：二次型矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有很多有趣的性质和广泛的应用。

本文将围绕二次型矩阵的定义、性质、标准化、求解方法及其应用展开讨论。

首先，我们需要了解二次型矩阵的定义和性质。

二次型矩阵是一个n 阶矩阵，其元素都是实数，并且满足矩阵的转置等于自身的性质。

二次型矩阵有很多重要的性质，如正定、半正定、负定和半负定等，这些性质在研究二次型矩阵的求解方法时具有很大的意义。

其次，我们来探讨二次型矩阵的标准化问题。

二次型矩阵的标准化是将矩阵化为对角矩阵，这样可以方便我们研究矩阵的性质和求解线性方程组。

二次型矩阵标准化后的矩阵形式为对角矩阵，其中对角线上的元素为矩阵的特征值。

接着，我们介绍二次型矩阵的求解方法。

二次型矩阵的求解方法主要有配方法、初等变换法和求解二次型矩阵的逆矩阵。

配方法是一种常用的求解二次型矩阵的方法，它可以通过配成完全平方的形式，将二次型矩阵化为一个容易求解的矩阵。

初等变换法则是通过一系列的初等行变换将二次型矩阵化为对角矩阵。

求解二次型矩阵的逆矩阵是另一种求解方法，它需要满足矩阵的正定或半正定条件。

最后，我们来看一下二次型矩阵在实际问题中的应用。

二次型矩阵在最小二乘问题中有广泛的应用，通过最小化误差的平方和，可以得到最优的参数估计。

此外，二次型矩阵还可以用于研究矩阵的特征值和特征向量，这对于研究矩阵的性质和解决实际问题具有重要意义。

综上所述，二次型矩阵在理论研究和实际应用中都具有重要意义。

二次型及其矩阵表示

非对称二次型：矩阵不是对称矩阵
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。

第四节_二次型及其矩阵表示

2. 二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应 3.可逆线性替换与二次型：矩阵的合同
18
21．试证：若A 是n 阶方阵，n 是奇数，且满足 T A A E, A 1, 则 E A 0 . 证：
E A AAT A A AT E
A A E A E 1 E A
n
∵ n 是奇数，故有
EA EA
E A 0.
19
23．设A为n 阶方阵，Ak O (k 2的正数 ),
求: E A . k 解： A O ,
1
Ak E k E k E E k Ak

1
E A E A A2 Ak 1
R( A) R( A) 2 3
方程组有无穷多解，
x1 1 (x3 为自由未知量) 其一般解为 x2 1 x3
23
⒈ 若C 可逆，则称线性替换 ⑴为可逆线性替换 (或非退化线性替换) ,简称为可逆替换. ⒉ 若矩阵C 是正交矩阵，则称⑴为正交线性替换，简称为正交替换.
11
定理: 可逆线性替换将二次型变成二次型.
T f ( x , x , , x ) X AX , 证：设二次型 1 2 n
X CY 为可逆替换，则有
6
如
3 A 2 0
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x1 x2 7 x2 x3 3 2 x1 x1 x2 0 x1 x3 2 3 7 2 x1 x2 2 x2 x2 x3 2 2 7 2 0 x1 x3 x2 x3 0 x3 3 2 0 1
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX

第九章二次型掌握二次型及其矩阵的定义.ppt

X PY
2020-6-7
谢谢阅读
11
3、定义：若矩阵P非奇异（可逆，非退化），
则称变量的线性变换X PY是非奇异的（可逆的，非退化的）
注： X PY 是非奇异的矩阵P可逆
P 0
2020-6-7
谢谢阅读
12
4、分析： f ( x1, x2,..., xn ) X AX
非奇异X PY
bij yi y j .
i2 j2
2020-6-7
谢谢阅读
22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3 L c2n yn
z3 c32 y2 c33 y3 L c3n LLLLLLLLLL
zn cn2 y2 cn3 y3 L cnn
j2
j2
n
nn
a11( a111a1 j x j )2
aij xi x j
j2
i2 j2
配方法
n
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2 a111( a1 j x j )2
aij xi x j
j2
j2
i2 j2
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
2020-6-7
正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.
谢谢阅读
8
3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
f ( x1, x2 ) ( x1, x2 )

08高数—— 矩阵、二次型知识点速记

1、定义对于n 阶方阵A ，如果数λ和n 维非零列向量x 满足Ax x λ=，则数λ称为方阵A 的特征值，非零向量x 称为方阵A 对应特征值λ的特征向量。

Ax x λ=可写成()0A E x λ-=或()0E A x λ-=。

该齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式：0A E λ-=或0E A λ-=0E A λ-=是以λ为未知数的一元n 次方程，叫做方阵A 的特征方程。

特征方程0E A λ-=的解，称为方阵A 的特征值，且n 次方程有n 个特征值。

设i λλ=为A 的一个特征值，则由方程()0i E A x λ-=可求得非零解i x P =，i P 就是方阵A 对应于特征值i λ的特征向量。

2、求n 阶矩阵A 的特征值与特征向量的步骤1）求0E A λ-=的全部根12,,,n λλλ 。

2）将i λλ=，分别代入()0E A x λ-=，得齐次线性方程组()0i E A x λ-=。

3）方程组()0i E A x λ-=的基础解系，就是A 对应于i λ的特征向量，基础解系的线性组合（0除外）就是A 对应于i λλ=的全部特征向量。

若在计算特征值时，有0λ=，那么0Ax =的所有非零解向量，即为特征值0λ=对应的特征向量。

3、特征值和特征向量的几个重要性质1）若线性无关的非零向量1x ，2x 都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，对任意不全为零的数1k 、2k ，向量1122x k k x +也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。

2）方阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

3）如果12,,,m λλλ 是方阵A 的m 个特征值，向量12,,,m x x x 是依次与之对应的特征向量，如果12,,,m λλλ 是两两互不相同的，那么向量组12,,,m x x x 一定线性无关。

方阵的特征值与特征向量高数矩阵、二次型知识点速记4）如果n 阶方阵A 的全部特征值是12,,,n λλλ ，那么：①121122n nn a a a λλλ+++=++⋯+ （其中1122,,,nn a a a 为A 主对角元素）；②12n A λλλ= 。

线性代数中的二次型矩阵表示

线性代数中的二次型矩阵表示在线性代数中，二次型是一种重要的概念，它与矩阵表示有着密切的联系。

本文将介绍二次型的定义及其矩阵表示的相关知识，帮助读者更好地理解和应用线性代数中的二次型。

一、二次型的定义二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其一般形式可以表示为：Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中，x_1, x_2, ..., x_n为变量，a_{ij}为系数。

二次型可以用矩阵来表示，即二次型矩阵。

二、二次型矩阵的构造将二次型中的系数构成一个矩阵A = [a_{ij}]_{n\times n}，则矩阵A 为二次型的矩阵表示。

其中，a_{ij}为二次型中的系数。

例如，对于一个二次型Q(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_1x_2 +4x_2x_3，其矩阵表示为：A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{3}{2} & 0\\ \frac{3}{2} & 0 & 2 \\ 0 &2 & 0 \end{bmatrix}三、二次型矩阵的性质1. 对称性：二次型矩阵A是对称矩阵，即A^T = A，其中A^T为A 的转置矩阵。

2. 正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0，则称二次型矩阵A为正定矩阵。

3. 半正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx \geq 0，则称二次型矩阵A为半正定矩阵。

4. 负定性和半负定性的定义与正定性和半负定性类似，只是不等式的方向相反。

四、二次型矩阵的特征值与特征向量对于二次型矩阵A，存在n个实数\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n，使得存在非零向量x_1, x_2, ..., x_n，满足Ax_i =\lambda_ix_i，其中i = 1, 2, ..., n。

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3、性质: 若A与B合同, 则秩A = 秩B
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4、比较：合同，相似
A与B合同存在可逆矩阵P可使PAP B 秩A=秩B
A与B相似存在可逆矩阵P可使P1AP B 秩A=秩B AB fA(x) fB (x) 特征值相同
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y1 y2 yn

,
它是非退化的，
nn
且使 f ( x1, x2 , , xn ) a11 y12
bij yi y j .
i2 j2
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22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3
x1
y1－
n
a111a1 j y j
令

j2
y2 x2
或

j2
x2 y2
yn xn
xn yn
即,
x1

1

x2 xn

0 0
a12 a11 1 0
0

a1n a11 0
1

ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
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正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.
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3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3

线性代数二次型讲解学习

线性代数二次型、二次型及其矩阵二次型与对称矩阵1定义：含有n 个变量的二次齐次函数:f (X 「X 2，卅,X n )a11X 1 a 22X 22 ann X n2a i2X i X 2 2a i3X|X 31112a (n 1)n X n 1X n称为二次型。

为便于用矩阵讨论二次型，令aij a ji，则二次型为:f 化险川各）III MXa 〔2 x 〔 X 2O|1 x〔n i,j 1a11a12a1nX1a21a22an1an2a2n，annX 2Xnf (X 1,X 2,|||,X n )X T A X ，且A 为对称矩阵。

由于对称矩阵A 与二次型f 是对应关系，故称对称矩阵 A 为二次型f 的秩于是得解由于A 不是对称矩阵，故A 不是二次型X AX 的矩阵•因为次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型, R(A)也称为二12 3 X 1 A 01 1 , XX 2 3 3 2X 3求二次型X AX的矩巨阵•例2 1 2 3 X AX （X 1,X 2,X 3） 01 1 3 32 X 1 X 2X 3f （X 1，X 2，X 3） x ； 2x ； 3x f 5x 1x 2 7X 2X 3试求二次型矩阵 A. 解an1 , a 222 ,a 333 , a 12a 21a 23a 315 2 9 22 ，f（N ，X 2，X 3）5929 2 7 2X1X2已知三阶矩阵A 和向量X,其中2 2 2x 1 x 2 2X 3 2X 1X 2 6X 1X 3 4X 2X 3 ,故此二次型的矩阵为、线性变换 1 标准形显然：其矩阵为对角阵。

2线性变换y 1, y 2,川,y n 的一个线性变量替换，简称线性变换。

y 1y 2，则线性变换可用矩阵形式表示为：x Cy y n 若C 0 ,称线性变换为满秩(线性)变换(或非退化变换)，否贝称为降秩(线性)变换(或退化变换)。

f (X1,X 2,川,X n ) x T Ax (Cy)T A(Cy) y T C T ACy y T By ，其中定义：形如d 1xf d 2x ；d n X ；的二次型称为二次型的标准形。

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