矩阵二次型讲解

???xn ???
则二次型可记作 f ? xT Ax,其中A为对称矩阵.
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则 f ? xT Ax,
——二次型的矩阵表示式
其中 A为对称阵：AT ? A.
说明
?对称阵与二次型一一对应；
?若 f ? x T Ax (AT ? A)，则对称阵 A称为
二次型 f 的矩阵；二次型 f 称为对称阵 A的
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? x1 (a11 x 1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ) ? x 2 (a21 x1 ? a22 x 2 ? ? ? a2n x n ) ? ? ? x n (an1 x1 ? an 2 x 2 ? ? ? ann x n )
?
( x1 , x 2 ,?
? an1xn x1 ? an2 xn x2 ?
?
ann
x
2 n
二次型用和号表示
n
? ? aij xi x j i, j?1
? x1(a11 x1 ? a12 x2 ? ? a1n xn )
? x2 (a21 x1 ? a22 x2 ?
? ? xn (an1x1 ? an2 x2 ?
? a2n xn ) ? ann xn )
取 a ji ? aij ,
2a x x a x x a x x 则
?
?
,
ij i j
ij i j
ji j i
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则（1）式可以表示为
f ? a11 x12 ? a12 x1 x2 ?
?
a21 x 2 x1
?
a22
x
2 2
?
?
? a1n x1 x n ? a2n x 2 xn
f (x, y) ? x 2 ? y2 ? 5 f (x, y) ? 2x 2 ? y2 ? 2x
? ?
不是二次型。
?
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只含有平方项的二次型
f ? k1 y12 ? k 2 y22 ? ? ? k n yn2
称为二次型的标准形（或法式）．
例如
f
?x1, x2, x3 ??
二次型；
?二次型的矩阵 A 满足：
⑴
A 的对角元
aii
是
x
2 i
的系数；
⑵ A 的 (i, j) (i ? j) 元是 xi x j系数的一半 .
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三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
1 2
?
?
2
x
2 1
?
x
2 2
?
x
2 3
?
2
3x1x2 ? x1x3
3
1?
2
称为二次型 .
当aij 是复数时, f称为复二次型 当aij 是实数时, f称为实二次型
（我们仅讨论实二次型）
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例如： f ( x , y) ? x 2 ? 4 xy ? 5 y2
?
f ( x , y, z) ? 2x 2 ? y2 ? xz ? yz
? ?
都是二次型。
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ? x1 x2 ? x2 x3 ? x2 x4 ??
第八章 二次型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1, x2 ,? , xn的二次齐次函数
f
?x1 ,
x 2 ,?
, x n ??
a11
x
2 1
?
a
22
x
2 2
?
?
?
ann
x
2 n
? 2a12 x 1 x 2 ? 2a13 x 1 x 3 ? ? ? 2an ? 1, n x n ? 1 x n
a23 ? a32 ? ? 3.
??1 2 0 ?? ? A ? ? 2 2 ? 3?.
??0 ? 3 ? 3??
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练习 求二次型 f 的矩阵
(1) f
(x1, x2, x3) ?
x
2 1
?
2
x
2 2
?
2x1x2 ?
3x2x3
?
?
? 1 ?1 0?
?
解： A ? ? ? 1
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型f 的秩.
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例１ 写出二次型
f ? x12 ? 2x22 ? 3x32 ? 4x1x2 ? 6x2x3 的矩阵.
解
a 11
?
1, a 22
?
2, a 33
?
?3,
a12 ? a21 ? 2, a13 ? a31 ? 0,
???
a21 ?
a12
a22 ?
? ? ?
a1n ???? x1 ?? a2n ?? x2 ? ? ?? ??
???an1 an2 ? ann ?????? x n ???
记
??a11
A
?
?a21 ??
a12
a22 ?
? ? ?
a1n ??
a2n ?
??,
?? x1 ??
x
?
? ?
x?2 ??,
???an1 an2 ? ann ???
x12
?
4
x
2 2
?
4
x
2 3
为二次型的标准形 .
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二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f
?x1 , x 2 ,? , x n ??
a11
x
2 1
?
a
22
x
2 2
?
?
?
a nn
x
2 n
? 2a12 x 1 x 2 ? 2a13 x1 x 3 ? ? ? 2an ? 1,n x n ? 1 x n
?? a11 , x n )?? a21
x1 ? x1 ?
a12 x 2 ?
a22 x 2 ? ?
? ?
? ?
a1n x n a2n xn
?? ? ?
??? an1 x1 ? an 2 x 2 ? ? ? ann x n ???
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?? a11
?
?x1 , x 2 ,? , x n
? ?
0
? ?
1
1 2
0
0 1
?2
2
?
解：A
?
?0 ?
1 2
0
?
?
? ?
0
0
0
?
?0 0 0
?
0
0
? ?
?
0
0?
?
?
0 0?
?
?
?
0
1? 2?
1
? 0?
2
?
பைடு நூலகம்
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?? － 2
?
例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。A ? ? 3
解： f ( x1 , x 2 , x 3 )
? ???
?
2
3
? ?
2?
? ?0 ?
3
?
0?
2
?
(2) f
(x1, x2, x3, x4) ?
x12
?
2
x
2 2
?
7
x
2 4
?
2x1x2
?
2x2x3
?
4x3x4
? 1 ?1
0 0?
解：
A
?
? ?
?
1
2
?1
0
? ?
? 0 ?1
0 2?
? ?
0
0
2
7
? ?
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(3) f ( x1 ,? , xn ) ? x1 x2 ? x2 x3 ? ? ? x x n? 1 n