二次型及其矩阵
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一、二次型
定义1：含有n个变量x1, x2 , , xn的二次齐次多项式
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn
a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn
a33x32 2a3n x3xn
称为n元二次型，简称为二次型。
(x1, x2 ,
a11x1 a12x2
,
xn
)
a21x1
a22x2
an1x1 an2 x2
a1n xn a2n xn
ann xn
二次型的矩 阵表示式
a11 a12
(x1, x2,
,
xn
)
a21
a22
X T AX
an1 an2
a1n a2n
xx12
Leabharlann Baidu
ann xn
例1: 写出二次型的矩阵,并求其秩。
f
(x , 1
x, 2
x) 3
x2 1
2x 2 2
5x 2 3
2x x 12
4x2x3.
1 1 0
A
1
2
2 .
0 2 5
秩为3。
练习
二次型
f x1 , x2 , x3 (x1 x2 )2 (x 2
x3 )2
(x x )2 31
的秩为
.
例2.设二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 cx32 4x1x3 4x2 x3 的秩为2。
定 义 5 ： 设 A，B为 两 个 n阶 矩 阵 ， 若 有 n阶 可 逆 阵 P， 使得PT AP B，则称矩阵A与B合同，记为 A ~ B.
合同矩阵具有自反性、对称性、传递性。 等价、相似、合同的关系：
A B A~ B A B A~ B
但反之均不成立。 一般而言，相似与合同 没有关系。 但，正交相似与合同一致。
定理：实对称矩阵一定与对角阵合同。
f (x1, x2,
, xn ) X T AX
(CY )T A(CY ) Y T (CT AC)Y
作可逆变 换X CY
B CT AC BT B,Y T BY为二次型且A与B合同,
r(A) r(B). 由上讨论可得：
定理1 二次型f ( x1, x2 , , xn ) X T AX 经可逆线性变换 X CY 变成新变元的二次型 f Y T BY ,它的矩 阵B CT AC且r( A) r(B).
y1 c11x1 c12 x2
y2
c21x1
c22 x2
yn cn1x1 cn2 x2
c1n xn , c2nxn,
cnnxn.
的矩阵 c11 c12
Cnn
c21
c22
cn1 cn2
c1n c2n
cnn
可逆，则称线性变换为可逆 线性变换；
正交，则称线性变换为正交 变换。
ann xn2
定义2： 只含平方项的二次型，即形如
f (x1, x2,
,
xn )
d1
x2
1
d x2
22
称为二次型的标准形（或法式）。
d x2
nn
二、二次型的矩阵表示法 设aij a ji，则
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 a12x1x2 a13x1x3 a1n x1xn a21x2 x1 a22x22 a23x2 x3 a2nx2 xn an1xn x1 an2 xn x2 an3xn x3 a nn xn2
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
二次型的矩阵
a2n
（显然这是实
ann
对称阵）
x1
X x2
xn
定义3：设二次型 f (x1, x2 , , xn ) X T AX , 则称对称矩阵 A 的秩为二次型 f 的秩。
三、二次型经可逆变换后的矩阵：
定义4： 若线性变换
1.求参数c;
2.写出二次型的矩阵
。
1
0
2
A
0
1
2 ,
2 2 c
由f (x1, x2 , x3) x12 x22 cx32 4x1x3 4x2 x3的秩为2
系数矩阵A的秩为2, c 8
定义1：含有n个变量x1, x2 , , xn的二次齐次多项式
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn
a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn
a33x32 2a3n x3xn
称为n元二次型，简称为二次型。
(x1, x2 ,
a11x1 a12x2
,
xn
)
a21x1
a22x2
an1x1 an2 x2
a1n xn a2n xn
ann xn
二次型的矩 阵表示式
a11 a12
(x1, x2,
,
xn
)
a21
a22
X T AX
an1 an2
a1n a2n
xx12
Leabharlann Baidu
ann xn
例1: 写出二次型的矩阵,并求其秩。
f
(x , 1
x, 2
x) 3
x2 1
2x 2 2
5x 2 3
2x x 12
4x2x3.
1 1 0
A
1
2
2 .
0 2 5
秩为3。
练习
二次型
f x1 , x2 , x3 (x1 x2 )2 (x 2
x3 )2
(x x )2 31
的秩为
.
例2.设二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 cx32 4x1x3 4x2 x3 的秩为2。
定 义 5 ： 设 A，B为 两 个 n阶 矩 阵 ， 若 有 n阶 可 逆 阵 P， 使得PT AP B，则称矩阵A与B合同，记为 A ~ B.
合同矩阵具有自反性、对称性、传递性。 等价、相似、合同的关系：
A B A~ B A B A~ B
但反之均不成立。 一般而言，相似与合同 没有关系。 但，正交相似与合同一致。
定理：实对称矩阵一定与对角阵合同。
f (x1, x2,
, xn ) X T AX
(CY )T A(CY ) Y T (CT AC)Y
作可逆变 换X CY
B CT AC BT B,Y T BY为二次型且A与B合同,
r(A) r(B). 由上讨论可得：
定理1 二次型f ( x1, x2 , , xn ) X T AX 经可逆线性变换 X CY 变成新变元的二次型 f Y T BY ,它的矩 阵B CT AC且r( A) r(B).
y1 c11x1 c12 x2
y2
c21x1
c22 x2
yn cn1x1 cn2 x2
c1n xn , c2nxn,
cnnxn.
的矩阵 c11 c12
Cnn
c21
c22
cn1 cn2
c1n c2n
cnn
可逆，则称线性变换为可逆 线性变换；
正交，则称线性变换为正交 变换。
ann xn2
定义2： 只含平方项的二次型，即形如
f (x1, x2,
,
xn )
d1
x2
1
d x2
22
称为二次型的标准形（或法式）。
d x2
nn
二、二次型的矩阵表示法 设aij a ji，则
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 a12x1x2 a13x1x3 a1n x1xn a21x2 x1 a22x22 a23x2 x3 a2nx2 xn an1xn x1 an2 xn x2 an3xn x3 a nn xn2
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
二次型的矩阵
a2n
（显然这是实
ann
对称阵）
x1
X x2
xn
定义3：设二次型 f (x1, x2 , , xn ) X T AX , 则称对称矩阵 A 的秩为二次型 f 的秩。
三、二次型经可逆变换后的矩阵：
定义4： 若线性变换
1.求参数c;
2.写出二次型的矩阵
。
1
0
2
A
0
1
2 ,
2 2 c
由f (x1, x2 , x3) x12 x22 cx32 4x1x3 4x2 x3的秩为2
系数矩阵A的秩为2, c 8