线性代数 6-1二次型及其矩阵表示

||
nn
∑ ∑ aij xi x j
i=1 j=1
+ a21 x2 x1 + a22 x22 + ⋯ + a2n x2 xn
+⋯ +an1 xn x1 + an2 xn x2 + ⋯ + ann xn2
⎛ a11 a12 ⋯ a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞
=
(
x1
,
x2
,⋯
,
xn
)
⎜ ⎜ ⎜
a21 ⋯
a22
椭球面
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一般地，二元二次方程确定一二次曲线,三元 二次方程确定一二次曲面。为研究其性质, 常通 过可逆线性变换消去交叉项，化为标准方程：
Ax2 + By2 = D 或 Ax2 + By2 + Cz2 = D
n元二次齐次多项式——二次型 仅含平方项代数和的二次型——二次型的标准形 研究工具——矩阵
记 α = (a1, a2 , a3 )T , β = (b1, b2 , b3 )T 证明：二次型的矩阵是 A = 2αα T + ββ T .
（1）矩阵、向量的运算 （2）二次型是一种函数的意义 （3）二次型的矩阵的对称的要求
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例5. 设A=(aij)n×n是可逆的实数矩阵, 二次型
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三、矩阵合同
≃ 定义 设An×n , Bn×n ，若存在可逆阵C，使 CTAC
＝B，则称A与B合同，记A B.
f ( X )＝X TA X 经可逆线性替换 X＝C Y 后：
f ( X )＝(CY )TA(CY ) ＝ Y T(C TAC ) Y＝ Y T B Y
称A与B合同
⎜ ⎜
1
4
6
⎟⎜ ⎟⎜
x2
⎟ ⎟
的矩阵.
⎜ ⎝
1
0
−1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
x3
⎟ ⎠
解： ⎛ 2 2 0 ⎞
A
=
⎜ ⎜
2
4
3
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 3 −1⎟⎠
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例4. 设二次型 f(x1, x2, x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3 ) 2+(b1x1+b2x2+b3x3)2
f ( X )＝(CY )TA(CY ) ＝ Y T(C TAC ) Y ＝ Y T B Y
B＝C TAC
新二次型的矩阵为B
注:1) ∵CT, C可逆 ∴r(B)＝r(CTAC)＝r(AC)＝r(A)
故，可逆线性替换不改变二次型的秩。 2)正交替换X=QY前后的二次型矩阵既合同,又相似.
合同 CTAC＝B ＝P–1AP 相似 QTAQ=B=Q–1AQ
0 x1 ⋯ xn
f ( x1 , x2 ,⋯, xn ) =
− x1 ⋮
a11 ⋮
⋯
a1n ⋮
− xn an1 ⋯ ann
证明：二次型的矩阵是伴Байду номын сангаас矩阵A* .
解：令 X = ( x1, x2 ,⋯, xn )T
⎛ O X T ⎞ ⎛ E O ⎞ ⎛ X T A−1X X T ⎞
⎜ ⎝
−
X
A
⎟ ⎠
⎜ ⎝
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管理科学中也常需用线性替换将一个n 元二次齐次多项式 化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。
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第六章 二次型 6.1 二次型与对称矩阵
• 二次型及其矩阵 • 线性替换 • 矩阵合同
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一、二次型及其矩阵
定义1 n元二次齐次多项式
f ( x1,⋯, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 +⋯+ 2a1n x1 xn + a22 x22 + 2a23 x2 x3 +⋯+ 2a2n x2 xn +⋯
柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二 次曲面用二次项的符号来进行分类。
在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项 和负项？西尔维斯特给出了二次型的惯性定律，但没证明 。该定律后被雅可比重新发现和证明。
1801年，德国数学家高斯（C.F.Gauss,17771855）在《算术研究》中引进二次型的正 定、负定、半正定和半负定等术语。
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注记
1.非退化线性（正交）替换的合成仍然是非退化 线性（正交）替换
⇒ (1) X＝C1U，U＝C2Y X＝(C1C2)Y
C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 ⇒ C1C2 ≠ 0
(2) C1、C2为正交阵 ⇒ C1C2为正交阵
2.在欧氏空间中，正交替换保持向量长度不变。
|X |2 = X T X = (QY )T (QY ) = Y TQTQY = Y TY =| Y |2
⋯
a2n
⎟ ⎟
⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟
⋯ ⎟⎜ ⋮ ⎟
⎜ ⎝ an1
an2
⋯
⎟⎜ ⎟ ann ⎠ ⎝ xn ⎠
＝X TA X ——二次型的矩阵形式
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记 f (X )＝X TA X，称 A 为二次型 f (X) 的矩阵，r(A) 称为二次型的秩.
注:1.二次型矩阵均为对称矩阵(AT=A)；
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个
（1）|A|=|B|=4 推得 R(A)=R(B)=3,故 A, B 等价。
⎛1 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞
（2）反例
A
=
⎜ ⎜
0
2
0
⎟ ⎟
,
B
=
⎜ ⎜
0
2
1
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 2 ⎟⎠
（3）同时与同一个对角形矩阵相似
A−1
X
E
⎟ ⎠
=
⎜ ⎝
O
A
⎟ ⎠
f
(x1, x2 ,⋯, xn )
=
O −X
XT A
X T A−1 X =
O
X T = X T | A | ⋅A−1X = X T A* X A
再验证 A* 的对称性。
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定义2 形如 f ( y1, y2 ⋯, yn ) = d1 y12 + d2 y22 +⋯+ dn yn2
则 A, B （
）
(A)相似但不合同 (B⎜⎝)0合同0 但1不⎟⎠ 相似
(C)合同且相似
(D)不合同也不相似
理由：实对称推出相似、合同对角化，特征值为3,3,0
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例9 设A,B都是3阶矩阵，且有相同的特征值1,2,2，则下列命题 正确的个数是（ ）
(1) A,B等价； （2）相似； （3） |A-2E|=|2E-A|; (4) 若 A,B是实对称矩阵，则A,B合同
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⎛ 1 −2 −3⎞
例2.
求对称矩阵
A
=
⎜ ⎜
−2
5
−5⎟⎟ 所对应的二次型
解:
⎜⎝ −3 −5 6 ⎟⎠
f(x1, x2, x3)
＝x12＋5x22＋6x32－4x1x2－6x1x3－10x2x2
⎛ 2 3 −1⎞⎛ x1 ⎞
例3.写出二次型 f ＝ (x1, x2, x3)
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矩阵的等价、相似与合同
矩阵相似
等价，矩阵合同
等价；
反之未必成立，且其它两者之间都不存在推理关系。
例6 设A为n×m矩阵，且秩为n,则下列命题中不正 确的是（ ）
(A) |BBT|=0
(B) BBT与单位矩阵等价
(C) BBT与对角矩阵相似 (D) BBT与单位矩阵合同
+
an−1,n−1
x2 n−1
+
2an−1,n
xn−1
xn
称为x1, x2, …, xn的一个(n元)二次型.
+ ann xn2
为了计算和讨论的方便，将xij的系数写成2aij，令
aij=aji ，则有：
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f ( x1,⋯, xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + ⋯ + a1n x1 xn
y2
+⋯+
c2n
yn
⎨⎪⋯
⎪⎩ xn = cn1 y1 + cn2 y2 + ⋯ + cnn yn
为由变量x1, x2, …, xn到y1, y2, …, yn的一个线性替换
其矩阵形式: X＝CY.若线性替换的矩阵C可逆，则称 X＝CY为可逆线性替换或非奇异(非退化)线性替换; 若C为正交矩阵,则称X＝CY为正交替换。
⇔ Q为正交矩阵
QQT = QTQ = E
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如：解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 θ
y
.
y′
x′
θ
0x
即变换
⎧x =
⎨ ⎩
y
=
x′ cosθ − y′ sinθ x′ sinθ + y′ cosθ
cosθ −sinθ
它是非退化的. ∵系数行列式
= 1.
sinθ cosθ
B
BT = (CT AC )T = CT AC = B 定理 经可逆线性替换,