二次型及其矩阵

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二次型及其矩阵

第五章二次型在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθc o s s i n s i n c o s y x y y x x把方程化为标准形式122='+'y c x m .这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节二次型及其矩阵内容分布图示★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 线性变换★例6★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 ★返回内容要点：一、二次型的概念定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数nn n n n n n n nnn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122222221112122222),,,(--+++++++++++=称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 2222211nn y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是∑==++++++++++++=nj i ji ij nnn n n n n nn nn n x x ax a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AX X x x x a a aa a aa a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 21222211121121,.称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.三、线性变换定义2 关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c C212222111211 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(==这里，Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .注: 要Y AC C Y T T )(为标准型，即要AC C T 为对角矩阵。

线性代数：第五章二次型

线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。

定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。

这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。

最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。

从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。

⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。

6.1二次型的定义及其矩阵表示

对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0

6.1 二次型及其矩阵表示

6
第六章二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。个变量的二次齐次二次齐次多项式称为二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二二次型。是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第六章二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看：试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )

线性代数二次型及其矩阵表示

记作 X PY , X x1 , x2 ,L xn , Y y1 , y2 ,L yn 注非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；连续多次施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换，
T T
且系数矩阵等于非退化线性变换矩阵的乘积．
n
n
②
２、二次型 f ( x1 , x2 , 的矩阵表示
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2
a1n x1 xn
x1
x2
x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a12 L a1n x1 a a22 L a2 n x2 ③ 21 L xn M M M M an1 an 2 L ann xn
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
f称为对称矩阵Ａ的二次型；Ａ称为二次型f的矩阵；练习写出下列二次型的对称矩阵．
例１
2 2 1）实数域Ｒ上的２元二次型 f ax 2bxy cy
2）实数域上Ｒ的３元二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 4 x2 x3 3）复数域Ｃ上的４元二次型 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x2 (3 i ) x2 x3 a b A 解： 1） b c

线性代数第1节二次型及其矩阵

(2)对称性：若A ~B ，则有 B ~A ；
(3)传递性：若 A ~B ,且 B ~ C,则有 A ~C . 证明只证(3)，其余留作练习.
B C AC1 , C C BC2 ,
T 1
T 2
T T C C2 (C1 AC1 )C2 (C1C2 )T A(C1C2 ) ,
由于 C1 , C2 均可逆，所以C1C2 也可逆.
5
f ( x1 , x2 ,, xn )
2 a11 x1 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
2 2

f ( x1 , x2 ,, xn ) 2 a11 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
C 称为该线性替换的矩阵.
X CY .
若 | C | 0 ，则此线性变换称为可逆线性替换.
如果C 为正交矩阵，则此线性替换称为正交替换.
x x cos y sin 容易验证，转轴公式 y x sin y cos 是一个正交替换.
13
三、矩阵的合同关系
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵.
7
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
T
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵. A的秩称为该二次型的秩. A是一个实对称矩阵. 事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它的矩阵A所具有的性质.

§5.1 二次型及矩阵表示

B = C ′AC , | C |≠ 0 ，则 A = (C −1 )′ BC −1 = P′BP, P = C −1 ≠ 0
若则
A1 = C1′ AC1 , A2 = C2′ A1C2 , C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 ，
（3）传递性：
A2 = (C1C2 )′ A(C1C2 ) = Q′AQ,
（5.1）
（5.2）
f ( x, y ) = a′x′2 + c′y′2
（5.3）
（5.1）的右边是一个二元齐次多项式，把它化为标准方程用代数的语言来说，就是用变量替换（5.2）把二元齐次多项式化为只含平方项的标准方程。
第五章二次型
能不能把这个结果推广到一般的 n 元齐次多项式？这需要引入 n 元齐次多项式的概念。定义1：F是一个数域，系数在F中的n个文字 x1 , x2 ," , xn 的二次齐次多项式
第五章二次型
例如： f ( x1 ) = 3 x12 是一元二次型；
2 f ( x1 , x2 ) = 2 x12 − 6 x1 x2 + 5 x2 是二元二次型；
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x1 x2 + 3 x1 x3 + 2 x2 + 4 x2 x3 + 3 x3
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a1 j x j ⎟ ⎜ jn=1 ⎟ ⎜ a x ⎟ n n n ∑ 2j j = ( x1 , x2 ,..., xn ) ⎜ j =1 ⎟ = x1 ∑ a1 j x j + x2 ∑ a2 j x j + " + xn ∑ anj x j ⎜ ⎟ j =1 j =1 j =1 # ⎜ n ⎟ ⎜ ⎜ ∑ anj x j ⎟ ⎟ ⎝ j =1 ⎠

线性代数二次型与二次型矩阵

线性代数二次型与二次型矩阵二次型在线性代数中扮演了重要的角色，它是数学中一种重要的函数形式。

本文将介绍线性代数中的二次型以及与之相关的二次型矩阵。

1. 二次型的定义在线性代数中，二次型是指一个二次齐次多项式，它的形式可以表示为：$$Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots +a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \ldots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是 $n$ 个实数变量，$a_{ij}$ 是实数系数。

2. 二次型矩阵对于一个二次型 $Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，可以将其对应的系数矩阵标记为 $A$。

矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 即为二次型中 $x_i$ 和$x_j$ 的系数。

例如，$a_{11}$ 对应的是 $x_1^2$ 的系数。

对应于上述的二次型，我们可以将其系数矩阵表示为：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\\end{bmatrix}$$其中，$A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵。

3. 二次型矩阵的性质二次型矩阵具有一些重要的性质，下面列举其中几个：- 如果矩阵 $A$ 是一个对称矩阵，即 $A = A^T$，那么对应的二次型就是轴对称的。

- 二次型矩阵 $A$ 的秩等于二次型的秩，即 $rank(A) = rank(Q)$。

二次型及其矩阵

其中 yT (CT AC) y 为关于 y1 ，y2 ，，yn 的二次型，对应的矩阵为 CT AC ．
1.2 矩阵的合同
定义 2 设 A，B 为两个 n 阶方阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 C 使得 CT AC B ，则称矩阵 A 合同于矩阵 B，或称 A 与 B 合同．
二次型 f (x1 ，x2 ，，xn ) xT Ax 的矩阵 A 与经过可逆线性变换 x Cy 得到的新二次型矩阵 B CT AC 是合同的，且 r(A) r(B) ．
c2n
yn
，称为由变量
x1
，x2
，
，xn 到 y1 ，y2 ，
，yn 的线性变换．矩阵
cnn yn
a11 a12
C
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
称为线性变换矩阵．当 C 可逆时，称该线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换．对于二次型 f xT Ax ，经过可逆线性变换 x Cy 可化为 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC) y ，
x1(a11x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21x1 a22 x2 xn (an1x1 an2 x2 ann xn )
a2n x2 xn a2n xn )
a11x1 a12 x2
(x1 ，x2 ，
，xn
)
a21
x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
1.1 二次型的概念
称 f (x) xT Ax 为二次型的矩阵形式，其中对称矩阵 A 称为该二次型的矩阵，二次型 f (x) 称为对称矩阵 A 的二次型，对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩．于是，二次型 f (x) 与对称矩阵 A 之间有一一对应关系．当 f (x) 的系数均为实数时， f (x) 称为实二次型，A 称为实对称矩阵．本书中的二次型都是指实二次型．

二次型及其矩阵表示

非对称二次型：矩阵不是对称矩阵
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。

二次型及其矩阵

系数矩阵A的秩为2, c 8
一、二次型
定义1：含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次多项式
2 f ( x1, x2 , , xn ) a11x1 2a12 x1 x2 2a13x1 x3 2a1n x1 xn
2 a22 x2 2a23x2 x3 2a2n x2 xn
2 a33x3 2a3n x3 xn
称为n元二次型，简称为二次型。
定义2：只含平方项的二次型，即形如
2 ann xn
2 2 2 f ( x1 , x2 , , xn ) d1 x1 d 2 x2 d n xn
称为二次型的标准形（或法式）。
二、二次型的矩阵表示法
x1, x2 , , xn ) a11x1 a12 x1 x2 a13x1 x3 a1n x1 xn
B C AC B B,Y BY为二次型且A与B合同,
T
作可逆变换X CY T
T
r( A) r( B).
由上讨论可得：
定理1 二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 经可逆线性变换
X CY 变成新变元的二次型 f Y BY , 它的矩阵B C AC且r ( A) r ( B ).
例2.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为2。
1.求参数c; 2.写出二次型的矩阵。
1 0 2 A 0 1 2, 2 2 c
2 x1
x2 cx3 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
由f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 cx32 4 x1 x3 4 x2 x3的秩为2

第四节_二次型及其矩阵表示

2. 二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应 3.可逆线性替换与二次型：矩阵的合同
18
21．试证：若A 是n 阶方阵，n 是奇数，且满足 T A A E, A 1, 则 E A 0 . 证：
E A AAT A A AT E
A A E A E 1 E A
n
∵ n 是奇数，故有
EA EA
E A 0.
19
23．设A为n 阶方阵，Ak O (k 2的正数 ),
求: E A . k 解： A O ,
1
Ak E k E k E E k Ak

1
E A E A A2 Ak 1
R( A) R( A) 2 3
方程组有无穷多解，
x1 1 (x3 为自由未知量) 其一般解为 x2 1 x3
23
⒈ 若C 可逆，则称线性替换 ⑴为可逆线性替换 (或非退化线性替换) ,简称为可逆替换. ⒉ 若矩阵C 是正交矩阵，则称⑴为正交线性替换，简称为正交替换.
11
定理: 可逆线性替换将二次型变成二次型.
T f ( x , x , , x ) X AX , 证：设二次型 1 2 n
X CY 为可逆替换，则有
6
如
3 A 2 0
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x1 x2 7 x2 x3 3 2 x1 x1 x2 0 x1 x3 2 3 7 2 x1 x2 2 x2 x2 x3 2 2 7 2 0 x1 x3 x2 x3 0 x3 3 2 0 1
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX

二次型及其矩阵表示

f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a12 x1x2 L L a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L L L L L L L L
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn
aij xi x j .
基本结论
1、二次型经过线性替换仍为二次型. 2、二次型X´AX经非退化线性替换化为二次型Y´BY
A 与 B合同，即存在可逆阵 C Pnn，使 B CAC.
3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
§5.1 二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 L 2a1n x1xn
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn
①
Байду номын сангаас
L L L L
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）．
§5.1 二次型及其矩阵表示
)
2 7
4 8
6 5
x2 x3
n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x
1 n
n i 1
xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 ,L , xn; y1, y2 ,L , yn 是两组文字,
cij P,i, j 1,2,...n
非退化线性替换：
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn

二次型

第六章二次型I 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于x 1，x 2，…，x n 的二次齐次多项式f (x 1，x 2，…，x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+ … +2a 1n x 1x n+a 22x 22+ … +a 2n x 2x n + … (3) +a nn x n 2称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。

2、二次型的矩阵表示设n 阶对称矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a 212221211211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a212221211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21=X TAX其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。

对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。

矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。

二次型与非零对称矩阵一一对应。

即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。

3、线性变换设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c ij (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。

线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n c c c c c c c c c212222111211则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式：X =CY其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。

61二次型及其矩阵表示

取 a ji aij , 则 2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,
于是
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f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
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都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
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二、二次型的表示方法
1．用和号表示对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
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二次型及其矩阵

二次型及其矩阵

线性代数：第五章二次型

6.1二次型的定义及其矩阵表示

6.1 二次型及其矩阵表示

线性代数 二次型及其矩阵表示

线性代数 第1节 二次型及其矩阵

§5.1 二次型及矩阵表示

线性代数二次型与二次型矩阵

二次型及其矩阵

二次型及其矩阵表示

二次型及其矩阵

第四节_二次型及其矩阵表示

二次型及其矩阵表示

二次型

61二次型及其矩阵表示

线性代数二次型及其矩阵表示

线性代数第1节二次型及其矩阵