离散数学-第6章
离散数学-第六章习题答案
第6章习题答案1．列举出从X到Y的关系S的各元素（1）X={0，1，2}，Y={0，2，4}，S={<x，y>|x+y∈X⋂Y}（2）X={1，2，3，4，5}，Y={1，2，3}，S={<x，y>|x=y2，x∈X，y∈Y}解：（1）S={<0，0>，<0，2>，<2，0>}（2）S={<1，1>，<4，2>}2．设P={<1，2>，<2，4>，<3，3>}Q={<1，3>，<2，4>，<4，2>}求dom（P），ran（P），并证明：dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）解：dom（P）={1，2，3}ran（P）={2，3，4}证明：对于任意xx∈dom（P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P∨<x，y>∈Q）⇔∃y（<x，y>∈P）∨∃y（<x，y>∈Q）⇔ x∈dom（P）∨x∈dom（Q）⇔ x∈dom（P）⋃dom（Q）所以，dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）3．若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。
证明：设R和S是集合A上的关系。
因为R和S是自反的，所以，对于A中的任意元素x，有<x，x>∈R和<x，x>∈S。
因此<x，x>∈R⋂S，即R⋂S是自反的。
因为R和S是对称的，所以对于任意<x，y>，<x，y>∈R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S⇔<y，x>∈R∧<y，x>∈S⇔<y，x>∈R⋂S因此，R⋂S是对称的。
因为R和S是传递的，所以对于任意<x，y>和<y，z><x，y>∈R⋂S ∧<y，z>∈ R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S∧<y，z>∈ R∧<y，z>∈ S⇔（<x，y>∈R∧<y，z>∈ R）∧（<x，y>∈S ∧<y，z>∈ S）⇔<x，z>∈R∧<x，z>∈ S⇔<x，z>∈R⋂S因此，R⋂S是传递的。
《离散数学》第六章 集合代数
例3: 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx，yyy ，zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式，但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为：9！/（4！3！2！）=1260； 所以要求的排列数为
1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 =871.
4.4 三个练习
练习1：求由a,b,c,d构成的n位符号串中，a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。
离散数学结构第6章集合代数
离散数学结构第6章集合代数第六章集合代数1. 集合，相等，（真）包含，⼦集，空集，全集，幂集2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，⼴义交，⼴义并3. ⽂⽒图，有穷集计数问题4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同⼀律，排中律，⽭盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）学习要求1. 熟练掌握集合的⼦集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表⽰2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、⼴义交、⼴义并的定义及其性质3. 掌握集合的⽂⽒图的画法及利⽤⽂⽒图解决有限集的计数问题的⽅法4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同⼀律、排中律、⽭盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）5. 准确地⽤逻辑演算或利⽤已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式6.1 集合的基本概念⼀．集合的表⽰集合是不能精确定义的基本概念。
直观地说，把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体就叫集合，⽽这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：⽅程x2－1＝0的实数解集合；26个英⽂字母的集合；坐标平⾯上所有点的集合；……集合通常⽤⼤写的英⽂字母来标记，例如⾃然数集合N(在离散数学中认为0也是⾃然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表⽰⼀个集合的⽅法有两种：列元素法和谓词表⽰法，前⼀种⽅法是列出集合的所有元素，元素之间⽤逗号隔开，并把它们⽤花括号括起来。
例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表⽰。
谓词表⽰法是⽤谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}表⽰⽅程x2－1＝0的实数解集。
许多集合可以⽤两种⽅法来表⽰，如B也可以写成{-1，1}。
但是有些集合不可以⽤列元素法表⽰，如实数集合。
集合的元素是彼此不同的，如果同⼀个元素在集合中多次出现应该认为是⼀个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是⽆序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采⽤的体系中规定集合的元素都是集合。
离散数学第六章 集合 自然数与自然数集
学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世
称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受
当n=0时，已经证明了结论成立。 对n作归纳假设，假设对任意自然数m, 有n∊m, 或者n=m，或者m∊n三者之一成立。 现在考察对于n+=n+1的情况。
n+=n∪{n}，对于任意自然数m， 若n∊m, 则由对m用归纳法可以证明 n+∊m或者n+=m之一成立(见前页)。 若n=m，则m∊{m}={n}，即m∊n∪{n}=n+。 若m∊n，则m∊n∪{n}=n+。
，使得0=m+。 4．n和m均是自然数，如果n+=m+，那么n=m。 5．如S是N的子集，有性质
(1) 0∊S, (2) 如果n∊S，那么n+∊S ， 则有 S=N。
数学归纳法——皮亚诺公设的第5条
离散数学第六章---群论
第6章 群论
定理6.1 一个半群(S，)，如果它有一个子代 数 (M， ) ，则此子代数也是一个半群。
定义6.2 一个半群(S，)的子代数 (M， )也是 半群，称为(S，)的子半群。
第6章 群论
一个半群(S，)中的元素a ，可定义它的幂： a1=a , a2=a a , …，an+1=an a
第6章 群论
定理6.5 一个单位半群(S，)，如果存在一个
子代数 (M， ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M， )
也是一个单位半群。
定义6.5 一个单位半群(S，)，如果存在一个
子代数 (M， ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M， )
也是一个单位半群，称为(S，)的子单位半群 。
Hale Waihona Puke 第6章 群论定义6.5 ：一个单位半群(S，)如果由它的一个 元素a 所生成，则称为由 a 所生成的循环单位半 群，元素 a 称为此单位半群的生成元素。
定理6.6 ：一个循环单位半群是一个可换单位半 群。
第6章 群论
6.2 群
一、群与群的同构 1、群的有关定义
定义6.7 如果代数系统(G， )满足 （1） (G， )为一半群； （2） (G， )中有单位元e； （3） (G，)中每一元素a∈G都有逆元 a-1 则称代数系统(G， )为群。
第6章 群论
第六章 群论 6.1 半群与单元半群 6.2 群
第6章 群论
群在代码的查错、改错的研究，自动机理论等 方面都有应用。
第6章 群论
6.1 半群与单元半群
半群与群都是具有一个二元运算的代数系 统，群是半群的特殊例子。事实上，群是历史 上最早研究的代数系统，它比半群复杂一些， 而半群概念是在群的理论发展之后才引进的。 逻辑关系见图6.1.1。
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
应用离散数学有向图
1 0 0 1 1 0 1 0
6.1有向图概述
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令 ={
称(pij)n n为D地可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
性质: P(D)主对角线上地元素全为1. D强连通当且仅当P(D)地元素全为1.
性质:
(1)
a n (1)
j1 ij
d (vi ),
i 1,2,..., n
(2)
a n (1)
i1 ij
d (v j ),
j 1,2,..., n
(3)
a(1) ij
m
D中长度为
1 的通路数
i, j
(4)
a n (1)
i1 ii
D中长度为
1 的回路数
6.1有向图概述
有向图地邻接矩阵 例:
6.2 最短路径
Dijkstra算法步骤: 1,初始化阶段,设置辅助数组Dist,其中每个分量Dist[k] 表 示当前所求得地从源点到其余各顶点 k 地最短路径。 除了起点A外,所有节点地距离Dist设置为无穷大。 一般情况下,Dist[k] = <源点到顶点 k 地边上地权值>
或者 = <源点到其它顶点地路径长度> + <其它顶点到顶点 k 地边上地权值>。 2,更新邻居地距离。
(3) 1地总个数等于-1地总个数, 且都等于m
(4) 平行边对应地列相同
6.1有向图概述
有向图地邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …,
em},
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
离散数学讲义(第6章)
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6-2 分配格（续）
定理：如果在一个格中交运算对并运算可分配，则并运算 对交运算一定可分配。反之亦然。
定理：每个链是分配格。
定理：设〈A， ≤ 〉为一个分配格，则对任意的a，b，c A，如果有a b = a c且a b = a c，则b=c。
19
6-2 分配格（续）
定义：设〈A,,〉是由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cA，当b ≤ a时，有： a (b c) = b (a c) 则称〈A， ≤ 〉是模格。
5
6-1 格的概念（续）
偏序集但不是格
e d f
格
c a b
6
6-1 格的概念（续）
代数系统
设〈A， ≤ 〉是一个格，如果在A上定义两个二元运 算和，使得对于任意的a，bA，ab等于a和b的最小 上界，ab等于a和b的最大下界，那么就称〈A， ， 〉 为由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。二元运算， 分 别称为并运算和交运算。
定理：分配格一定是模格。
21
6-3 有补格
定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素aA，对 任意的xA，都有a ≤ x， 则称a为格〈A， ≤ 〉的全下界。记作 0。 定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素bA，对 任意的xA，都有x ≤ b， 则称b为格〈A， ≤ 〉的全上界。记作 1。
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}
{b} {a,b}
6-4 布尔代数（续）
定理：对布尔代数中的任意两个元素a，b，有
(a ) a
ab a b
a b ab
定义：具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
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离散数学第二版答案(6-7章)
离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。
2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。
任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。
任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。
*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。
*运算没有左么元。
证明：采用反证法。
假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。
3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。
离散数学微课版第六章课后答案
离散数学微课版第六章课后答案离散数学是一门重要的数学课程，它涉及数学中的许多基本概念，如逻辑、集合、函数和图论。
离散数学微课版第六章的主要内容是图论，图论是离散数学的重要组成部分。
本章主要讨论了图的基本概念、图的结构和图的表示方法。
图的基本概念是指图的元素，它由顶点和边组成。
顶点是图中的一个点，它可以是一个实体或一个抽象的概念，而边是两个顶点之间的关系。
图的结构是指图中顶点和边之间的关系，它可以是连通的、无向的或有向的。
连通的图中，任意两个顶点都有一条路径可以相连；无向图中，边的两个顶点之间没有方向性；有向图中，边的两个顶点之间有方向性。
图的表示方法有多种，其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维矩阵，它用来表示图中顶点之间的关系，如果顶点u和v之间有边，那么矩阵中的对应元素为1，否则为0；而邻接表则用一维数组来表示图中顶点之间的关系，它将每个顶点与其相邻顶点列出来，以此来表示图中的边。
离散数学微课版第六章课后答案是指离散数学微课版第六章的课后习题答案，其中包括了有关图的基本概念、图的结构和图的表示方法的习题。
答案可以帮助学生更好地理解图论的概念，并能够熟练地使用图的表示方法。
本章的课后习题答案可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。
首先，学生需要了解图的基本概念，包括顶点和边，并能够识别连通图、无向图和有向图；其次，学生需要了解图的表示方法，包括邻接矩阵和邻接表，并能够熟练地使用它们。
离散数学微课版第六章课后答案的重要性在于，它可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。
此外，它还可以帮助学生更好地学习离散数学，掌握离散数学中的重要概念和方法，从而为今后的学习和应用打下坚实的基础。
离散数学屈婉玲第六章
偶数，因此 X=S1, S2或S4. (4) XS3=意味着 X是S3的子集，因此 X=S3或 S5. (5) 由于S3是S1的子集，因此这样的X不存在.
32
练习3
3. 一个班50个学生，在第一次考试中有26人得5分，在第二 次考试中有21人得5分. 如果两次考试中都没有得5分的有 17人，那么两次考试都得5分的有多少人？
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二
任取x，xX … xY 注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充 分必要的
21
集合等式的证明
方法一：命题演算法 例5 证明A(AB) = A （吸收律）
证 任取x, xA(AB) xAxAB
xA(xAxB) xA 因此得 A(AB) = A.
离散数学屈婉玲第六章
2020年4月29日星期三
6.1 集合的基本概念
1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合
2. 集合表示法 枚举法----通过列出全体元素来表示集合 谓词表示法----通过谓词概括集合元素的性质 实例： 枚举法 自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法 S={ x | x是实数，x21=0}
推论 S中至少具有一条性质的元素数为
12
实例
方法二 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学第六章
第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。
注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。
（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。
直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。
一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。
离散数学6章理解练习知识题及答案解析
离散数学练习题第一章一．填空1.公式)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧的成真赋值为 01；102.设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →⌝↔→的真值为 03.公式)()()(q p q p q p ∧∨⌝∧↔⌝与共同的成真赋值为 01；104.设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式5．设p, q 均为命题，在 不能同时为真 条件下，p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。
二．将下列命题符合化 1.7不是无理数是不对的。
解：)(p ⌝⌝，其中p: 7是无理数； 或p ，其中p: 7是无理数。
2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。
解：其中,q p ∧⌝p: 小刘怕吃苦，q ：小刘很爱钻研3.只有不怕困难，才能战胜困难。
解：p q ⌝→，其中p: 怕困难，q: 战胜困难或q p ⌝→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。
解：)(q p r →→⌝，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ，r: 困难解决了 或：q p r →∧⌝)(，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。
解：q p ↔，其中p: 整数n 是偶数，q: 整数n 能被2整除三、求复合命题的真值P ：2能整除5， q ：旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨2.r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()(( 解：p, q 为假命题，r 为真命题1.))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为02. r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()((的真值为1四、判断推理是否正确 设x y 2=为实数，推理如下：若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。
y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第6章答案
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第6章答案p992.f:x？y、有什么需要吗？x、定义f（a）={f（x）|x？a}。
（1）证明f（a？B）=f（a）？f（b）（3）举例说明f(a?b)≠f(a)?f(b)。
证明：（1）? Y∈f（a？b）??x∈a?b，使y=f(x)??x∈a或?x∈b，使y=f(x)?y=f(x)∈f(a)或y=f(x)∈f(b)?y∈f(a)?f(b)?f(a?b)=f(a)?f(b)（2）举例：设f（x）=X2，a={1,2}，B={1，-2}。
则f(a?b)={1}，而f(a)={1,4}f(b)={1,4}f(a)?f(b)={1,4}故，f(a?b)≠f(a)?f(b)基本正确。
一些学生错误地认为函数值是一个值而不是一个集合。
4F:x？y、以下命题正确吗？（1）f是一对一的当且仅当对任意a,b?x，当f(a)=f(b)时，必有a=b；（2）f是一对一的当且仅当对任意a,b?x，当f(a)≠f(b)时，必有a≠b。
解：（1）设立（2）不成立，如f(x)=x2,部分学生第（2）判断错误5.下图显示了五种关系的关系图。
问：这些关系中哪些是函数？什么是一对一功能？它的功能是什么？哪些是一对一的通信？解：1是一个函数，一对一，但不是顶部；2是一个高达但不是一对一的函数；3是一个函数，一对一对应；4是功能；5不是一个函数。
对的9(1).f：x?y，g：y?z。
命题“f？G是一对一的当且仅当f和G都是一对一的”这是真的吗？解决方案：不成立。
F是一对一。
假设f不是一对一的,不妨设f(a)=b,f(b)=b(a≠b)f?g(a)=g(f(a))=g(b),f?g(b)=g(f(b))=g(b)Fg（a）=f？G（b），哪个和f相同？G是一对一的矛盾。
但g不一定是一对一的。
反例:如f的论域{1,2}:f(1)=5,f(2)=6,g的论域{4,5,6}:g(4)=a,g(5)=a,g(6)=c,f是一对一的,f?g也是一对一的,但g不是一对一的部分学生判断错误。
离散数学 第6章 命题逻辑
(P Q) R m1 m3 m5 m6 m7 (1,3,5,6,7)
三、主合取范式
如组成合取范式的每一个括号中都包括所有的命题 变项或其否定形式，则该合取范式称为主合取范式。 在主合取范式中的每一个括号是一个包括所有的命题 变项或其否定形式的简单析取式，称为大项。 如果将大项中各命题变项看成为0，其否定看成为1, 按字母顺序排列后的二进制数为i,该大项表示为 M i ， 注意：M 1不是 (P Q R) ，而是 ( P Q R) 例如，在某命题公式A中P,Q,R为(0,0,1)和(1,1,1)时真 值为0，则A的主合取范式可记作为：
(P Q R) (P Q R) (1,7)
由主析取范式可直接求出主合取范式
例如，上面的例3 ( P Q) R 主析取范式已经求得，为 那么，它的主合取范式为：
(1,3,5,6,7)
( P Q R) ( P Q R) (P Q R)
5。等价 如果两个命题P和Q有 P Q P Q 的真值表 同时又有 Q P 则记作 P Q P Q P Q P Q 就是 ( P Q) (Q P) 0 0 1 合取、析取和等价都满足交换 0 1 0 律，而蕴含是不满足交换律的。 1 0 0 P 例如， Q Q P , P Q Q P 1 1 1 P Q Q P 在一个命题公式中如果没有括号， 各种联结词的运算顺序从先到后依次为：
例题5： 用真值表证明命题公式P ( P Q R) 是重言式 解： P ( P Q R) P Q R PQ R 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
离散数学函数复习题答案
第6章 函数一、选择题（每题3分）1、设{,,},{1,2,3}A a b c B ==，则下列关系中能构成A 到B 函数的是（ C ） A 、1{,1,,2,,3}f a a a =<><><> B 、2{,1,,1,,2}f a b b =<><><> C 、4{,1,,1,,1}f a b c =<><><> D 、1{,1,,2,,2,,3}f a a b c =<><><><>2、设R Z N 、、分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（ B ） A 、)}10(),(|,{<+∧∈><y x N y x y x B 、)}(),(|,{2x y R y x y x =∧∈>< C 、)}(),(|,{2x y R y x y x =∧∈>< D 、{,|(,)(m o d 3)}x y x y Z x y <>∈∧≡3、设Z 为整数集，则二元关系{,23}f a b a Z b Z b a =<>∈∧∈∧=+ （ B ） A 、不能构成Z 上的函数 B 、能构成Z 上的函数 C 、能构成Z 上的单射 D 、能构成Z 上的满射4、设f 为自然数集N 上的函数，且1()0x f x x ⎧=⎨⎩若为奇数若为偶数，则f （ D ）A 、为单射而非满B 、为满射而非单射C 、为双射D 、既非单射又非满射 5、设f 为整数集Z 上的函数，且()f x 为x 除以5的余数 ，则f （ D ）A 、为单射而非满B 、为满射而非单射C 、为双射D 、既非单射又非满射 6、设R Z 、分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（ C ） A 、:,()6f R R f x x →=+ B 、2:,()(6)f R R f x x →=+ C 、:,()[]f R Z f x x →= D 、6:,()6f R R f x x x →=+7、设R R Z +、、分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（ B ）A 、2:,()71f R R f x x x →=-+- B 、x x f R Zf ln )(,:=→+；C 、:,()f R R f x x →= D 、:,()71f R R f x x →=+8、设Z N E 、、分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（ A ） A 、f : Z E → , ()2f x x = B 、f : Z E → , ()8f x x =C 、f : Z Z →, ()8f x =D 、f : N N N →⨯, (),1f n n n =<+> 9、设3,4X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的单射个数为（ B ）． A 、12 B 、24 C 、64 D 、81 10、设3,2X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的满射个数为（ B ）．A 、6B 、8C 、9D 、64 11、设函数:f B C →，:g A B →都是单射，则:f g A C → （ A ）A 、是单射B 、是满射C 、是双射D 、既非单射又非满射 12、设函数:f B C →，:g A B →都是满射，则:f g A C → （ B ）A 、是单射B 、是满射C 、是双射D 、既非单射又非满射 13、设函数:f B C →，:g A B →都是双射，则:f g A C → （ C ）A 、是单射B 、是满射C 、是双射D 、既非单射又非满射 14、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是单射，则（ B ） A 、f 是单射 B 、g 是单射 C 、f 是满射 D 、g 是满射 15、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是满射，则（ C ） A 、f 是单射 B 、g 是单射 C 、f 是满射 D 、g 是满射 16、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是双射，则（ D ）A 、,f g 都是单射B 、,f g 都是满射C 、f 是单射, g 是满射D 、f 是满射, g 是单射二、填充题（每题4分）1、设,X m Y n ==，则从X 到Y 有2m n 种不同的关系，有m n 种不同的函数．2、设,X m Y n ==，且m n ≤，则从X 到Y 有m n A 种不同的单射．3、在一个有n 个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n 种不同的函数，有!n 种不同的双射．4、设f 为自然数集N 上的函数，且1()2x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩，若为奇数若为偶数，,则(0)f =0，[{0}]f ={0} ，[{1,2,3}]f ={1}，[{0,2,4,6,}]f = N ．5、设,f g 是自然数集N 上的函数,x x g x x f N x 2)(,1)(,=+=∈∀，则()f g x = 21x +，()g f x = 2(1)x +．三、问答计算题（每题10分）1、设{234}A =，，，}12,10742{，，，=B ，从A 到B 的关系},,,{b a B b A a b a R 整除且∈∈><=，试给出R 的关系图和关系矩阵，并说明此关系R 及其逆关系1R -是否为函数？为什么？解：}12,4,4,4,12,3,12,2,10,2,4,2,2,2{><><><><><><><=R ，则R 的关系图为：R 的关系矩阵为 1101100001011RM⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦关系R 不是A 到B 的函数， 因为元素2，4的象不唯一逆关系1R -也不是B 到A 的函数 因为元素7的象不存在．2、设Z 为整数集，函数f ：Z Z Z ⨯→，且(,)f x y x y =+，问f 是单射还是满射？ 为什么？并求(,),f x x (,)f x x -．解：x Z ∀∈, 0,x Z Z ∃<>∈⨯，总有(0,)f x x =，则f 是满射； 对于1,2,2,1,Z Z <><>∈⨯，有(1,2)3(2,1)f f ==，而1,22,1<>≠<>，则f 非单射；(,)2,(,)0f x x x f x x =-=．3、设{1,2}A =，A 上所有函数的集合记为A A , “ ”是函数的复合运算，试给出A A 上运算“ ”的运算表，并指出A A 中是否有幺元，哪些元素有逆元？解：因为2A =，所以A 上共有224=个不同函数，令},,,{4321f f f f A A =，其中：14(1)1,(2)2;(1)1,(2)1;(1)2,(2)2;(1)2,(2)1f f f f f f f f ========1f 为AA 中的幺元，1f 和4f 有逆元．4、设R 为实数集，函数f ：R R R R ⨯→⨯，且(,),f x y x y x y <>=<+->， 问f 是双射吗？为什么？并求其逆函数1(,)fx y -<>及(,)f f x y <> ．解： 1122,,,x y x y R R ∀<><>∈⨯，若1122(,)(,)f x y f x y <>=<>， 有11112222,,x y x y x y x y <+->=<+->，则1122,,x y x y <>=<>，故f 是单射；,u v R R ∀<>∈⨯，令2u v x +=，2u v y -=，则,x y R R <>∈⨯，且(,),,f x y x y x y u v <>=<+->=<>，则f 是满射，故为双射；1(,),22x y x y fx y -+-<>=<> ；(,)(,)(2,2)f f x y f x y x y f x y <>=<+->=<> ．四、证明题（每题10分）1、设函数f ：A B →，g ：B C →，g 和f 的复合函数g f ：A C →， 试证明：如果g f 是双射，那么f 是单射，g 是满射． 证明：12,x x A ∀∈且12()()f x f x B =∈，则1122()[()][()]()g f x g f x g f x g f x === ，因g f 是单射，有12x x =，故f 是单射；c C ∀∈，因g f 是满射，a A ∃∈，使()[()]c g f a g f a == ，而()f a B ∈，故g 是满射．注：如果g f 是单射，那么f 是单射；如果g f 是满射，那么g 是满射． 2、设f 是A 上的满射，且f f f = ，证明：A f I =．证明：因f 是满射，则对A a ∈∀，存在A a ∈1，使得1()f a a =， 则11()[()]()f f a f f a f a == ，由 f f f = ，知1a a =， 于是()f a a =，由a 的任意性知A f I =． 3、设函数f ：A B →，g ：B A →，证明：若11,f g f g--==，则,A B g f I f g I == ．证明： 因1f g -=,则y B ∀∈,1()()g y fy x A -==∈，有(),()g y x f x y ==，于是，对y B ∀∈，有()[()]()()B f g y f g y f x y I y ==== ，知B f g I = ；又1f g-=，则对x A ∀∈,1()()f x gx y -==，有(),()f x y g y x ==，于是，对x A ∀∈，有()[()]()()A g f x g f x g y x I x ==== ，知A g f I = ． 4、设函数f ：A B →，g ：B A →，证明：若,A B g f I f g I == ，则11,fg f g--==．证明：因恒等函数A I 是双射，则g f 是A 上的双射，有f 是单射，g 是满射； 同样，恒等函数B I 是双射，则g f 是B 上的双射，有f 是满射，g 是单射； 所以，f 和g 都是双射函数，其反函数都存在，故有11,f g f g--==．注：设函数f ：A B →，g ：B A →，证明： 11,fg f g--==⇔ ,A B g f I f g I == ．5、设函数f ：A B →，g ：()B A ρ→，对于b B ∈，(){()}g b x x A f x b =∈∧=，()A ρ为A 的幂集，证明：如果f 是A 到B 的满射，则g 是B 到()A ρ的单射．证明：12x x B ∀≠∈,因f 是满射，12,y y A ∃∈,使1122()(),f y x x f y =≠=则12y y ≠； 又由g 的定义知，1122(),()y g x y g x ∈∈，故有12()()g x g x ≠，则g 是B 到()A ρ的单射．。
工科离散数学第二版牛连强第六章
工科离散数学第二版牛连强第六章《工科离散数学第二版》是牛连强教授所著的一本离散数学教材，第六章的内容是图论的应用。
首先，让我们简单介绍一下图论的应用这一章的主要内容。
在这一章中，牛连强教授将带领读者深入了解图论在实际问题中的应用，如最短路算法、网络流问题、图的着色理论等。
这些内容不仅可以帮助读者更好地理解图论的基本概念，还能培养读者运用图论解决实际问题的能力。
接下来，让我们分析一下这一章的重点和难点。
图论的应用涉及许多实际问题的解决，如网络优化、交通规划等，这些问题的解决需要深入理解图论的基本概念和算法，同时也需要一定的数学和计算机知识。
因此，本章的重点是掌握图论的基本概念和算法，难点则是如何将图论应用于实际问题，如何设计有效的算法来解决这些问题。
为了帮助读者更好地掌握这一章的内容，我们可以提供一些学习建议和技巧。
首先，建议读者仔细阅读牛连强教授的讲解视频和相关资料，了解图论的基本概念和算法。
其次，可以通过习题练习加深对图论的理解，特别是对于一些实际问题，需要尝试运用图论的方法来解决。
最后，可以通过实际应用案例来加深对图论应用的理解。
针对第六章图论的应用这一章，我们可以给出一些学习建议。
首先，需要掌握图论的基本概念和算法，如节点、边、路径、图、欧拉图等。
其次，需要理解如何运用图论的方法解决实际问题，如最短路算法、网络流问题等。
此外，还需要尝试将所学知识应用于实际问题的解决中，不断探索和总结经验。
总之，《工科离散数学第二版》中的第六章图论的应用是非常重要的一部分内容。
通过认真学习这一章的内容，读者不仅可以加深对图论的理解，还可以培养运用图论解决实际问题的能力。
在学习的过程中，建议读者注重理解基本概念和算法，并通过习题练习和实际应用案例来加深对图论应用的理解。
离散数学(屈婉玲版)第六章部分答案
可见 , 存在幺元，幺元为 2。 对 x∈Z 有 4-x∈Z,使 x ° （4-x）= (4-x) °x=2
所以 x-¹= 4-x 所以 Z 与运算 ° 能构成群 。
6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？ （1）L={1,2,3,4,5}. （2）L={1,2,3,6,12}. （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}.
答：满足封闭性，因为矩阵加法可结合所以为半群，且幺元为 e＝0 的矩阵,故为 独异点。又因为以任一 n 阶矩阵的逆元存在是它的负矩阵，所以是群。 评语：答案太简单
6.2 （1）因为可结合，交换，幺元为 1，但不存在逆元 所以是半群 （2）因为可交换，结合，幺元为 0，是有限阶群并且是循环群，G 中的 2 阶元是 2，4 阶元 是1和3
设 a={1,3} b={3,4,5} ∴a,b∈p(A) ∵<p(A), >构成群 a x=b ∴a-1 a x= a-1b
e x= a-1b x= a-1b
e= a-1=a ∴x=ab={1,3}{3,4,5}={1,4,5} (2)由 B 生成的循环子群<B>为 {,{1,4,5}}
6.10
答案太简单621因为可结合交换幺元为1但不存在逆元所以是半群2因为可交换结合幺元为0是有限阶群并且是循环群gz为正数集合在z上定义二元运算yxy2那么z与运算c2abc4bc22abc44x4x4x所以67下列各集合对于整除关系都构成偏序集判断哪些偏序集是格
6.1(5) S5 = Mn (R),+为矩阵加法，则 S 是（群）
110
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AB = AB = A
8
广义运算
1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 广义并 A = { x | z ( zA xz )} 广义交 A= { x | z ( zA xz )} 实例 {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}， {{a}}={a} {a}=a， {a}=a
注意 和 是不同层次的问题
4
空集、全集和幂集
1．定义6.4 空集 ：不含有任何元素的集合 实例： { x | xR x2+1=0 } 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A， A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 2. 定义6.5 幂集：P(A)={ x | x A } 实例：P()={}, P({})={,{}} 计数：如果 |A|=n，则 |P(A)|=2n. 3. 定义6.6 全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集
25
基本要求
熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关 系 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法
26
练习1
1．判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) {} (4) {} (5) { a, b } { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}}
19
集合等式的证明
方法一：命题演算法 例3 证明A(AB) = A （吸收律） 证 任取x, xA(AB) xAxAB xA(xAxB) xA 因此得 A(AB) = A. 例4 证明 AB = AB 证 任取x, x AB xAxB xAxB xAB 因此得 AB = AB
| A B C |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
14
6.3 集合恒等式
集合算律 1．只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律
交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C =A(BC)
28
练习2
2．设
S1={1, 2, … , 8, 9}， S2={2, 4, 6, 8} S3={1, 3, 5, 7, 9} S4={3, 4, 5} S5={3, 5} 确定在以下条件下X是否与S1,…,S5中某个集合相等？如 果是，又与哪个集合相等？ （1）若 XS5= （2）若 XS4但 XS2= （3）若 XS1且 X ⊈S3 （4）若 XS3= （5）若 XS3 且 X ⊈ S1
5
6.2 集合的运算
初级运算 集合的基本运算有 定义6.7 并 AB = {x | xA xB} 交 AB = {x | xA xB} 相对补 AB = {x | xA xB} 定义6.8 对称差 AB = (AB)(BA) 定义6.9 绝对补 A = EA
11
有穷集合元素的计数
1. 文氏图法 2. 包含排斥原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质，其中具有第 i 条性质的 元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为
| A1 A2 ... An || S | | Ai |
1 i n 1 i j n
集合与集合之间的关系：, =, ⊈, , ,
定义6.1 A B x ( xA xB ) 定义6.2 A = B A B B A 定义6.3 A B A B A B A ⊈ B x ( xA xB )
思考： 和 的定义
| A A
i
j
|
1 i j k n
| Ai A j Ak | ... ( 1)n | A1 A2 ... An |
推论 S中至少具有一条性质的元素数为
| A1 A2 An | | Ai |
i 1
n
1 i j n
13
实例
方法二 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8
D.M律 双重否定
17
集合算律
4．涉及全集和空集的算律： 补元律、零律、同一律、否定律 补元律 零ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 同一律 否定 AA= A= A=A =E E AA=E AE=E AE=A E=
18
集合证明题
证明方法：命题演算法、等式置换法 命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY 任取x， xX … xY (2) 证X=Y 方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY 注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充 分必要的
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集合算律
2．涉及两个不同运算的算律： 分配律、吸收律 与
分配 A(BC)= (AB)(AC) A(BC)= (AB)(AC) A(AB)=A A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
吸收
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集合算律
3．涉及补运算的算律： DM律，双重否定律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC A=A
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等式代入法
方法二：等式置换法 例5 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸 收律. 证 A(AB) = (AE)(AB) （同一律） = A(EB) （分配律） = A(BE) （交换律） = AE （零律） =A （同一律）
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包含等价条件的证明
例6 证明AB AB=B AB=A AB= ① ② ③ ④ 证明思路： 确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④ 确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要 证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每 个命题都是要证明的结论 确定证明顺序：①②，②③，③④，④① 按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含）
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元素与集合
1. 集合的元素具有的性质 无序性：元素列出的顺序无关 相异性：集合的每个元素只计 数一次 确定性：对任何元素和集合都 能确定这个元素是否 为该集合的元素 任意性：集合的元素也可以是 集合 2．元素与集合的关系 隶属关系：或者 3．集合的树型层次结构
d A , a A
3
集合与集合
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证明
证明AB AB=B AB=A AB= ① ② ③ ④ 证 ①② 显然BAB，下面证明ABB. 任取x， xAB xAxB xBxB xB 因此有ABB. 综合上述②得证. ②③ A=A(AB) A=AB (由②知AB=B，将AB用B代 入)
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证明
③④ 假设AB, 即xAB，那么知道xA且xB. 而 xB xAB 从而与AB=A矛盾. ④① 假设AB不成立，那么 x(xAxB) xAB AB 与条件④矛盾.
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第六章 习题课
主要内容 集合的两种表示法 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区 别与联系 特殊集合：空集、全集、幂集 文氏图及有穷集合的计数 集合的, , , , 等运算以及广义, 运算 集合运算的算律及其应用
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运算的优先权规定
1 类运算：初级运算, , , ， 优先顺序由括号确定 2 类运算：广义运算和运算， 运算由右向左进行 混合运算：2 类运算优先于1 类运算
例1 A={{a},{a,b}}，计算A(AA). 解： A(AA) = {a,b}({a,b}{a}) = (ab)((ab)a) = (ab)(ba) = b
第二部分
第六章 集合代数
集合论
主要内容 集合的基本概念 属于、包含 幂集、空集 文氏图等 集合的基本运算 并、交、补、差等 集合恒等式 集合运算的算律、恒等式的证明方法
1
6.1 集合的基本概念
1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合 2. 集合表示法 枚举法----通过列出全体元素来表示集合 谓词表示法----通过谓词概括集合元素的性质 实例： 枚举法 自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法 S={ x | x是实数，x21=0}
| A A
i
j
|
1 i j k n
| Ai A j Ak | ( 1) m 1 | A1 A2 An |
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实例
例2 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整 除，也不能被8整除的数有多少个？
解 方法一：文氏图 定义以下集合： S={ x | xZ 1x1000} A={ x | xS x可被5整除} B={ x | xS x可被6整除} C={ x | xS x可被8整除} 画出文氏图，然后填入相应的 数字，解得 N=1000－(200+100+33+67) =600