解析几何学习中的关键问题

解析几何学习中的关键问题

高中解析几何问题是学生学习中的难点问题，我们就高中解析几何教学策略这一主题进

行研究，旨在教学中,关注知识内容的衔接，把有关内容放在平面解析几何内容的通盘中整体

考虑，研究解析几何的通性、通法在高中各学段的不同体现。

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是高中数学的经典内容。其实质是用代

数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想。高中解析几何的学习大致分成三个

阶段：学生在高一阶段的必修2中学习“平面解析几何初步”，进入高二年级，在选修1-1或

2-1中学习“圆锥曲线与方程”。理科还要学习选修 4-4“坐标系与参数方程”，高三阶段，我们

还对这些构成解析几何的经典内容进行系统的梳理和复习。如何让学生从接触解析几何的第

一天起，就感受到其内容的核心与精华，了解这段内容的学习方法和研究方法，我们就每个

学段要达到的教学要求、不同学段的教学策略、各学段教学内容的衔接等几个方面进行了具

体实践。

我们重温了课标对解析几何的教学要求，在此基础上讨论了教材体系和教学内容与过去

大纲版的变化。如教材的分层设计，这种处理方式体现了循序渐进的原则，关注学生初高中

的衔接。我们认真揣摩各学段的教学要求，在此基础上，以解析几何的思想方法为主线，以

课例为载体，增加一线教师操作的可行性和实效性，对各学段解析几何的教学内容、要求、

教法进行具体、深入的探索研究。把理性的思考和具体的课例结合起来，开展了此研究。

研究一：直线与圆的位置关系

“平面解析几何初步”的重点是帮助学生初步体会解析几何的思想历程：将几何问题代数化——处理代数问题——分析代数结果的几何含义——解决几何题。在平面直角坐标系中，点、直线和圆都有了代数形式，我们就可以用代数的方法来研究几何问题了。这与初中阶段我们

直接借助几何图形来研究其形状、大小、位置关系不同。实际上我们是在用代数方法研究平

面几何问题。另一方面，用代数方法研究问题也不是全新的、没见过的，初中已经将点和有

序实数对建立了一一对应关系，只是没有系统地接触解析几何的思想方法罢了。在这里体现

了初高中在知识上的衔接。

在本章的前半部分，学生已经学习了直线与圆的方程，知道在直角坐标系中，直线和圆

可以用方程表示，（从形到数）。通过方程，我们研究了直线间的位置关系，点到直线的距

离等，（用数研究形）。这些处理问题的方法的共性是都需要把几何问题代数化，先用方程

表示直线和圆，然后再通过代数运算解决有关问题。结合对例题的讲解分析，我们突出用坐

标方法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中

涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论，对解析几何的思想方法有了初步体验。这是我

们继续研究直线与圆的位置关系的基础。

研究二：直线与圆锥曲线的位置关系

我们继续采用高一学段研究直线与圆所用的坐标法，通过方程组研究直线与圆锥曲线的

位置关系。直线和圆的位置关系作为直线和圆锥曲线的位置关系中的一种，在必修学段已经

做了比较系统的研究，其研究方法、研究思路、研究内容等可以类比、借鉴，用来处理直线

与其他圆锥曲线的位置关系。

椭圆作为三种圆锥曲线的重要代表，直线与椭圆的位置关系更是解析几何的经典内容。

由于它的几何性质比圆更复杂，所以直线与椭圆的位置关系比直线与圆的位置关系更难把握。

鉴于高三阶段我们还要对这部分知识做系统的复习和提炼，所以这节课肩负着承上启下

的任务。

在学习了平面解析几何初步的基础上，学生已经掌握了直线和圆的几何要素和它们的代数表示。掌握了确定这些基本图形位置关系的几何要素，以及如何运用代数的方法讨论这些图形之间的位置关系，学生积累了一定的用坐标法研究几何图形的经验。

在本模块中，学生完成了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、基本性质的学习，再次体验了几何要素代数化的过程。体会了几何直观带来的好处。

课例3：直线与圆锥曲线复习

高三的复习是在高一、高二学习基础上的再认识。本节课的教学设计应从整体、系统的高度把握知识，注重知识之间的联系，建构自己的认知结构。我们可以以专题研究的方式避免复习在低思维层次上重复：

专题1：几何对象如何代数化，分析体验对几何特征的不同角度的挖掘，转化成的代数问题不同，解决问题的难易程度也不同。2010年北京高考题就是很好的示范。

专题2：化解代数运算的常见思路，思想方法的学习是一个“渐悟”的过程，经过前两个学段润物细无声的渗透，力求高三阶段有所“顿悟”。以专题的形式突破难点，彻底解决学生“听得懂、想不到”、见到解析几何题就联立方程组，算到最后无疾而终的问题。让学生在实践中体会解一道解析几何题，如何在前面的流程图的指引下，不仅知道该做什么，更知道怎样做，效果立竿见影。

总之，我们可以以新课程实施过程中教师遇到的各种具体问题为研究对象，开展教学研究，通过共同切磋、相互学习，促进了教师专业化水平的提高，实现了团队可持续发展，产生了积极的教科研效果。当然，我们还可以以立体几何、函数、概率、统计等内容开展对其通性、通法的教学研究。这些内容都是高中数学的重要部分，值得老师们认真探讨。