(word完整版)初一上数学-整式的加减-培优讲义

整式的加减培优能力提升1：用字母表示数

能力提升2：图形关系的代数表示

有些数量关系表现为图形中的数量关系，如果能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相结合，抽象与直观相结合，对培养数学能力是非常重要的。

能力提升3：由代数式展开的推理

能力提升4：求代数式的值

用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧． 【例1】 求下列代数式的值： （1）323221113

54

2252424

ab a b ab a b ab a b --+---，其中1,2a b ==-； （2）2

2

2

2

2

3{(2)4[3(453)]}x y xyz xyz x z x z x y xyz x z xyz ----+---，其中1,2,3x y z =-==-. 分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、

法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．

=0-4a3b2-a2b-5

=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5

=-16+2-5=-19．

(2)原式=3x 2y-xyz+(2xyz-x 2z)+4x 2z[3x2y-(xyz-5x 2z)]

=3x 2y-xyz+2xyz-x 2z+4x 2z-3x 2y+(xyz-5x 2z)

=(3x 2y-3x 2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x 2z+4x 2z-5x2z)

=2xyz-2x 2z

=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)

=12+6=18．

说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．

【例2】已知1a b -=-，求33

3a ab b +-的值．

分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a ，b 的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a ，b 的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．

解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简

a 3+3ab-

b 3=(b-1)3+3(b-1)b-b 3

=b 3-3b 2+3b-1+3b 2-3b-b 3

=-1．

说明 这是用代入消元法消去a 化简求值的．

解法2 因为a-b=-1，所以

原式=(a 3-b 3)+3ab=(a-b)(a 2+ab+b 2)+3ab

=-1×(a 2+ab+b2)+3ab=-a 2-ab-b 2+3ab

=-(a 2-2ab+b 2)=-(a-b)2

=-(-1)2=-1．

说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以

原式=a 3-3ab(-1)-b 3=a 3-3ab(a-b)-b 3

=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=(a-b)3

=(-1)3=-1．

说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b ，并将3ab 化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．

解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，

即 a 3+3ab 2-3a 2b-b 3=-1，a 3-b 3-3ab(a-b)=-1，

所以 a 3-b 3-3ab(-1)=-1， 即 a 3-b 3+3ab=-1．

说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．

解法 5

a 3+3ab-

b 3=a 3+3ab 2-3a 2b-b 3-3ab 2+3a 2b+3ab

=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab

=(-1)3+3ab(-1)+3ab

=-1．

说明 这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：

(a+b)2=a 2+2ab+b 2；

(a-b)2=a 2-2ab+b 2；

(a+b)3=a3+3a 2b+3ab 2+b 3；

(a-b)3=a3-3a 2b+3ab 2-b 3 ；

a 3+

b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；

a 3-

b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．

【例3】已知2xy x y =+，求代数式3533x xy y x xy y

-+-+-的值.

解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy ，然后化简．所以

【例4】已知3,5a b c a ==，求a b c a b c

+++-的值. 解 因为a=3b ，所以c=5a=5×(3b)=15b ．

将a ，c 代入所求代数式，化简得

【例5】已知,,m x y 满足条件：

（1）22(5)5||03

x m -+=；（2）212y a b +-与233a b 是同类项. 求代数式22222713{[( 3.475)] 6.275}16416

x y xy x y xy --+-+---的值.

解 因为(x-5)2，｜m ｜都是非负数，所以由(1)有

由(2)得y+1=3，所以y=2．

下面先化简所求代数式，然后再代入求值．