初中几何中线段和和差最值问题
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初中几何中线段和(差)的最值问题
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:
一)、已知两个定点:
1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;
(1 )点A B在直线m两侧:A
A. \
*
V
%
;-------------- *----------- * m
P乂-- ---------------------------- -m
B
B
(2)点A B在直线同侧:
m A
4
B
*------------------------------- • m
2、在直线m n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+Q最小。
(1 )两个点都在直线外侧:
A
Q' Q
(2) —个点在内侧,一个点在外侧:
(3)两个点都在内侧:
B'
(4 )、台球两次碰壁模型
变式一:已知点A、B位于直线m,n的内侧,在直线
n、
v1.0
可编辑可修改
m分别上求点D E点,使得围成的四边形ADEB周长最短.
变式二:已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m
二)、一个动点,一个定点:
(一)动点在直线上运动:
点B在直线n上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点
1、两点在直线两侧:
‘A A
n分别上求点P、Q点PA+PQ+Q周长最短.
P和点B)
2、两点在直线同侧:
(二)动点在圆上运动
点B在O O上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)
1、点与圆在直线两侧:
2、点与圆在直线同侧:
m
P
A'
n
*■ / ■
三)、已知A B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+Q的值最小。(原理用平移知识解)
(1 )点A、B在直线m两侧:
A
-■ -------- ■
P Q
e
B
作法:过A点作AC// m,且AC长等于PQ长,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长,即为
P点,此时P、Q即为所求的点。
(2)点A、B在直线m同侧:
B'
练习题
1.如图1, / AOB
45。,P是/ AOB^一点,
PO
10, Q R分别是OA 0B上的动点,求厶PQR
周长的最小值为 _____________________________ .
2、如图2,在锐角三角形ABC中,AB=4血,/ BAC=45,/ BAC的平分线交BC于点D, M,N
分别是AD和AB上的动点,贝U BM+M的最小值为___________________________ .
3、如图3,在锐角三角形ABC中,AB=5j2,/ BAC=45 BAC的平分线交BC于D, M N分
别是AD和AB上的动点,贝U BM+MN勺最小值是______________ 。
4、如图4所示,等边△ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上
一点.若AE=2,EM+C啲最小值为 _________________ .
ABCD中,/ ABC= 90°, AD// BC, AD= 4, AB= 5, BC= 6,点P是AB
6、如图6,等腰梯形ABCD中, AB=AD=CD=,1 / ABC=60 , P是上底,下底中点EF直线上的
一点,贝H PA+PB勺最小值为_____________________________ 7、如图7菱形ABCD中, AB=2 / BAD=60 , E是AB的中点,P是对角线AC上的一
个动点,贝U PE+PB的最小值为_________________________ .
F
上一个动点,当PO PD的和最小时,PB的长为______________
5、如图5,在直角梯形
B
蓟
8、 如图8,菱形ABCD 勺两条对角线分别长6和8,点P 是对角线AC 上的一个动点,点 M N 分别 是边AB BC 勺中点,贝U PM+P 的最小值是 _________________________
9、 如图9,圆柱形玻璃杯,高为 12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm 的点
C 处有一 滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁, 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离为 _________ c m.
10、如图10所示,已知正方形 ABCD 勺边长为8,点M 在DC 上,且DM=2 N 是
AC 上的一个动点,则 DN+MN 勺最小值为 __________________ 11、如图11, MN 是半径为1的O O 的直径,点 A 在O O 上, / AMN= 30°, B 为AN 弧的中点,P 是直径 MN 上一动点, 则PA +
PB 的最小值为(
)
(1)求反比例函数的解析式;
为1,在x 轴上求一点 P,使PA+PB 最小.
(B)
(C)1 (D)2
^11
解答题
1、如图,正比例函数y
-X 的图象与反比例函数
2
k
y - (k 丰0)在第一象限的图象交于
x
点,过A 点作x 轴的垂线, 垂足为 M 已知三角形 OAM 的面积为1.
(2)如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点(点
B 与点A 不重合),且B 点的横坐标