球的组合体问题1(球的组合体问题最全分类和解法研究)

球的组合体研究
（球中的截面问题 及 球与其它几何体的切接问题）
王宪良
[学习目标]1.学习球与其它几何体切接的直观图的画法。

2.掌握球的截面的性质；
3.理解掌握球的切接题目的类型和解法；
4.培养空间想象能力，能根据题意正确画出组合体的直观图。

一、基础知识与概念： 1.有关定义
（1）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，
（2）外接球：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接
多面体，这个球是这个多面体的外接球. 如图
（3）内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.如图
（4）大圆：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等（它是截面圆中最大的圆）； （5）小圆：不过球心的截面所截得的圆叫小圆． 2．外接球的有关知识与方法 （1）性质：
性质1：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 性质2：经过小圆的直径与且小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：球心和截面圆心的连线垂直于截面（类比：圆的垂径定理）；
性质4：在同一球中，过两不平行截面圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两
相交弦的中垂线交点是圆心）；
性质5：球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． （2）结论：
结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；
结论2：若由长方体截得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；
结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的
一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；
c
a b
初图2
初图1N
O
O 1
P
E
F
O
O 1
D 1
C 1
B 1
D
C
A 1
O 2
A
B
M
结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连线段中点处；
结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；
结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.
（3）终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 3．内切球的有关知识与方法
（1）若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.
（2）内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等(类比：与多边形的内切圆、外接圆) （3）正多面体的内切球和外接球的球心重合.
（4）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 4．基本方法：
（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；
（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 二、理清位置，学会画图 先画一个大圆与一个或两个小圆。

1．多面体的外接球（球包体）
模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）
球包 直
柱
注：凡是有一条侧棱垂直于底面的柱或锥，都能补成同球内接圆柱，则都可用以下公式求其外接球的半径
球包正方体
速算a R 2
3=
球包长方体
22
2
2
c b a R ++=
球包四棱柱
速算:球径公式
(右)
球包三棱柱 速算:球径公式
(右)
球包直锥 三棱锥
速算：球径公式(右)
球径公式：2
22h R r ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
（r 为底面外接圆半径）
关键：构建Rt △
四
棱锥
速算：球径公式(右)
r
速算
模型2：“顶点连心”锥:锥体的顶点与球心及其在底面的投影(都是底面多边形外接圆的圆心)两心一顶连成线,构建Rt △ 实例：正棱锥
图5-6
D
P
O
O A
B
C
球径计算方程：()2
2
2
h R r R -+=22
22
202h r h hR r R h
+⇒-+=⇒=，
（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径）
特别地，（1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =________．
a 4
6 （2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =____．h h a 632
2+
（3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =____．h
h a 422
2+
2．正多面体的内切球（体中球）
棱锥的内切球：(由等体积法)R =____．
锥表
锥
S 3V 圆锥的内切球：(若圆
锥高为h ，底面半径
r )R =
2
2r h r hr ++
边长为a 的正方体： 2
a
R =
等边圆柱（母线a ）： R =
2
a ． 边长a 的正八面体：
R =
a 6
6 ①对于正三角形、等腰直角三角形、一般直角三角形：
②对于一般三角形：
r C
c
B b A a 2sin sin sin ===
注：不用记忆结果，应画好直观图，做好轴截面图，会用平面几何知识求半径。

3．正多面体的“l 棱切球”（与所有的棱都相切的球）
正四面体边长为a ，球半径(是对棱距离的一半)R =_______.
a 4
2 正方体边长为a ，球半径R =a 2
2 正四面体边长为a ，球半径R =2a
三、球的问题的六种题型和解法
球心可以确定球的位置，半径可以确定球的大小。

球心和半径是确定球的两个重要的量。

“求球的表面积、体积、半径或已知球的半径而求切接几何体的棱长”等是常见题目，它们的求解都离不开“求球的半径R”，据此可把球的切接问题分成六种类型。

（见思维导图）
（一）简单的 ——（1）能直接用222
R d r =+求解的；
（2）正方体与球的切、接；
（3）长方体内接于球（球包长方体）；
对于（1）如图
对于（2）（3），球心在体对角线的交点处，请先观看视频
如图：①正方体的内切球 ②球与正方体的棱相切 ③正方体的外接球
分别作直观图如下
说明：①正方体的内切球：
球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。

设正方体的棱长为a ，球半径为R 。

如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a
R =
； ②与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2
=。

③正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AC 为截面作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2
3
1=
=（作为记住）。

④球包长方体2222c b a R ++= 下面分别就（1）（2）（3）种情况举例分析
例1．（1） (2012·课标全国，8，中)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π B ．43π C ．46π D ．63π
解：(直接用222
R d r =+求解)如图，设平面α截球O 所得圆的圆心为O 1，则|OO 1|＝2，
|O 1A |＝1，
∴球的半径R ＝|OA |＝2＋1＝ 3. ∴球的体积V ＝4
3πR 3＝43π.故选B.
例1．（2）【2012高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()
A 26 ()
B 36 ()
C 23 ()
D 2
2 【解析】(用222R d r =+求解)ABC ∆的外接圆的半径33
r =，点O 到面ABC 的距离22
63d R r =-=,SC 为球O
的直径⇒点S 到面ABC 的距离为26
23
d =， 此棱锥的体积为113262233436ABC V S d ∆=⨯=⨯⨯=
另解（估算法）：13
236
ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.
例1.（3）求棱长为4的正方体的外接球和内切球的体积。

解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径2R ，正方体的棱长即为其内切球的直径2r ，因为正方体的棱长为4，故2R=34，2r=4，所以32=R ，（或直接用公式得3242
3
23=⨯==a R ）. 2=r ，从而πππ3323234R 343
3===
）（外接球V ；3
32234r 3433πππ===内切球V . 例1.（4）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）
A ．
22
B ．1
C ．212
+
D ．2
解：(利用截面图)由题意可知，球为正方体的外接球，平面D D AA 11截球所得的圆面的半径2
2
2
1
=
=
AD R ，因为D D AA 11面⊂EF ，且EF 过截面圆圆心，所以直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22=R . 选D
例1.(5) （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。

长方体体对角线长为
=++=2223212R 14，所以2
14=R ，故球的表面积为==2
4R S π14π. 巩固训练：1．能直接用222
R d r =+求解的
（1）(2013·课标Ⅰ，15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________． 解：平面α截球O 所得截面为圆面，圆心为H ，设球O 的半径为R ，则3
2231R
R AH =
⨯=
，R R R AH R OH 3
132=-
=-=，所以OH ＝1
3R . 由圆H 的面积为π，得圆H 的半径为1，所以⎝⎛⎭⎫R 32
＋12＝R 2，得R 2＝98，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π·98＝9π2. 填 9π2 （2）已知三棱锥S-ABC 各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若AB=AC=2，∠BAC=3
2π
，三棱锥S-ABC 的体积为4，则球O 的表面积为（ ）
A ．120π
B ．64π
C ．32π
D ．16π
解：如图，在△ABC 中，由余弦定理，得32=BC ，又由正弦定理3
2sin
2πBC
r =
，得底面△ABC 的外接圆半径r=A O '=2，又因为33
2sin 21=⋅=
∆π
AC AB S ABC ，
且三棱锥S-ABC 的体积为4，得433
1
=⨯=h V ，所以34=h ，所以322
==
'h
O O ，在A O O Rt '∆中，由勾股定理得球半径42
2
='+'==O O A O OA R ，则球O 的表面积ππ6442
==R S .选B. （3）(2013·课标Ⅱ，15)已知正四棱锥O -ABCD 的体积为32
2，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．
【解析】 设底面中心为E ，由球的截面性质知ABCD OE 底面⊥，则|AE |＝1
2·|AC |
＝62，∵体积V ＝13|AB |2·|OE |＝|OE |＝322，由球的截面的性质知△OEA 为Rt △，∴|OA |2＝|AE |2＋|OE |2＝6. 从而以O 为球心，OA 为半径的球的表面积S ＝4π·|OA |2＝24π. 填24π
（4）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

（5）(2013·课标Ⅰ，6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.500π3cm 3
B.866π3cm 3
C.1 372π3cm 3
D.2 048π
3cm 3
解：设水面与球的接触点（切点）为P ，球心为O ，则PO 垂直于正方体的上表面，依题意P 到正方体上表面的距离为2h =。

设球的半径为R ，则球与正方体上表面相交圆（截面圆）的半径是42
8
==r ，且球心到该截面的距离是R －2，故()2
22
2R r R -+=，
R 2＝(R －2)2＋42⇒R ＝5.∴V ＝43πR 3＝500π
3(cm 3)．【答案】 A
【点评】关键是由球的截面圆性质构造Rt ∆，由勾股定理建立关于R 的方程，求出R .
（6）(2015·四川绵阳一模，7)如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )
A.
22＋12 B.62＋12 C.32 D.32＋1
2
解：蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为d ＝1－14＝32.而截面到底面的距离即为三角形的高1
2，所以球心到底面的距离为
32＋1
2. 【答案】 D
2．求正方体的外接球的有关问题
（7）（2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 另解：23323==
a R ，故表面积为πππ274
27
442=⨯==R S .
（8）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为___________.
解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，2,4,2462
2
==∴=⋅a a a ,从而求出正方体的体对角线
是23，所以球的半径为323==a R ，故该球的体积为()ππ34
33
43
==V .
（9）(2013·天津，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π
2，则正方体的棱长为________．
【解析】 设正方体的棱长为a ，则正方体的外接球半径R ＝32a .因为球的体积为9
2π，所以43π·R 3＝92π，即R ＝32＝3
2a ，所以a ＝ 3. 【答案】 3
（10）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为6，面DB A 1与面11DC A 的重心分别为E 、F ，求EF 所在直线被正方体外接球截得的弦长为（ ）
A ．
439 B ．339 C ．3392 D ．3
6
5 解法一：如左图，连结1AC ，1BD ，交点为球心O ，易知点E 是线段1BD 的三等分点（靠近1D ），点F 是线段1AC 的
三等分点（靠近A ），又O 是1BD 的中点，且是1AC 的中点，所以
OF BD OE ==⨯⨯==22
3661611，连结,EF 1AD ，在1OAD ∆中，因为OA
OF OD OE =1，
所以1//AD EF ，所以OEF ∆～A OD 1∆，所以
==OA OF
AD EF 13
12
2322
=，所以3
323231311=⋅==
AD EF . 作出平面OEF 与球O 的截面圆图象如右图，作MN OP ⊥，则613121332222
2
2
2
2=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=EF OE OP ；在OPM Rt ∆中，3136129616232
22222=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-=-=OP R OP OM MP ，得313=MP ，所以
3
39
22=
=MP MN . 选C. 解法二：（先用空间向量求球心到直线EF 的距离OP ）设外接球球心为O ，如图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、
1DD 所在直线分别为X 轴、Y 轴、Z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，则)0,0,6(A 、
)6,0,6(1A 、)0,6,6(B 、)6,6,0(1C 、)0,0,0(D 、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛36,36,362E 、 z
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛362,36,36F 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,26,26O ，所以⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=66,66,66OE ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=36,
0,36EF ，所以点O 到直线EF
的距离66==d ，下边同解法一。

3．求长方体的外接球的有关问题
（11）（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
解析：正四棱柱是底面为正方形的长方体。

由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例1（5），622416442==++=R ，6=R ，所以ππ2442==R S ，故选C.
（二）一般的——找球心，构造直角三角形
球心是决定球的位置的关键点，定球心的方法有：
① 扩展成同球内接圆柱或直棱柱后，再定球心位置，在上下底面圆心连线段的中点处.(适用于有一条侧棱垂直底面的几何体)（见例2）
② 根据球心到球面上四个不共面的点的距离相等确定球心位置；（常用于多面体中有两个直角三角形，且两个直角三角形有公
共斜边的情况，可利用直角三角形性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

得球心为直角三角形斜边中点）（见例3）
③ 过两个相邻三角形外接圆圆心，且垂直于两个三角形各自所在面的两条直线的交点为球心.(适用于二面角模型) ④讨论球心的位置，列方程求解，舍去一种位置（适用于球内接正棱锥）；也可不讨论球心的位置，而由
222)(r R R h -=-，求R .（见例5）
⑤其它：构造R t △求解。

下面分别举例探究：
1． 有一条侧棱垂直底面的几何体模型
方法一：采用扩展成同球内接圆柱或直棱柱．．．．．．
后，再定球心位置的方法；（结合后四3圆柱模型）
图3-1
图3-2
图
3-3
题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心O 的位置（O 在扩展成的同球内接圆柱上下底面圆心连线段的中点），1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ；
第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，（底面三角形外接圆半径r 的求法：①若底面是等边三
角形，则r =
a 3
3
；②若底面是Rt △，则r =斜边的一半；③若底面是一般的三角形，则可用正弦定理r C c
B b A a 2sin sin sin ===求解），h AA OO 2
1211
1==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：用勾股定理21212O O A O OA +=⇒2
22)2
(r h R +=⇒22)2(h r R +=，解出R .(可
记住该公式，见后四（三）圆柱模型速算法)
方法二：构造以球直径为斜边的球内接直角三角形，利用勾股定理求球半径 题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径. 解题步骤：
第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；（因
为⊥1OO 面ABC ，又PA ⊥面ABC ，所以1//OO PA ，所以PA 与1OO 共面；又∠PAD=90° ，所以PD 是大圆的直径）
第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三种方法同前），PA OO 2
1
1=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①在PAD Rt ∆中，2
22)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=
；或
②在D OO Rt 1∆中，2
12
2OO r R +=⇔2
12OO r R +=
.
例2.(1) 请观看视频（例题1——4）
例 2.(2).已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒
=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体
ABCD E -的外接球的表面积为 .
解：（折叠型）
法一：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式.再扩展为圆柱，通过计算圆
柱的轴截面的对角线长来求球的直径：EAB ∆外接圆半径
33
31==
EA r ，所以()162)32(2)2(2222
12=+=+=AD r R ，所以42
=R ，π16=表S ；也可以解Rt △OO 1E
注：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下
图5
A
D
P
O 1O
C
B
底面的中心。

根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 3
3
,,2===
，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求2
2
332⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R
法二：补形为直三棱柱，（可改变直三棱柱的放置方式为立式），再扩展为圆柱，如图，设ABE ∆的外接圆圆心为1O ，则AB EO ⊥1，垂足为M ，由题意⊥EM 面ABCD ，又设矩形ABCD 的外接圆圆心为2O ，球心为O ，则⊥2OO 面ABCD ，所以2//OO EM ，又因为M 为AB 中点，所以AB M O ⊥2，则⊥M O 2面ABE ，又
⊥1OO 面ABE ，所以M O OO 21//，得21MO OO 为矩形，所以
12
21==
=AD
M O OO ，在Rt A OO 1∆中，33311===EA A O r ，，所以42
1212=+=OO r R ，所以外接球的表面积为π16=表S . 填π16 .
法三：同上图在Rt D OO 2∆中，2312==M O OO ，213222===BD D O r ，所以44
13432
=+=R ，π16=表S ；
法四：用公式22)2
(h
r R +=
速算， EAB ∆的外接圆半径为31=r ，2==AD h ，所以231=+=R ，π16=表S .
巩固训练：
1．（高考题选）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A ．π
B ．
3π
4
C ．
π２
D ．
π4
解法一：由题可知球心在圆柱体中心，球心与圆柱底面圆心的距离2
1
2==
h d ，圆柱体上下底面圆半径2
2
d R r -=2
2
13122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B. 解法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，()()22
2
22h R r -=3122=-=，
得2
3
=r 2．已知直三棱柱111C B A ABC -的六个顶点都在球O 的球面上，若BC=3，AC=4，BC ⊥AC,121=AA ，则球O 的半径为 A ．
2
17
3 B ．102 C ．213 D ．10
解法一：由题意知，AB 是△ABC 外接圆的直径，AB 中点1O 为此外接圆的圆心，球心O 是三棱柱外接圆柱的中心（高的中点），连结1OO 、A 1O 、OA ，得Rt △O 1O A,,由AB=5，得
A 1O =2521=BC ，又1OO =121AA =6，所以球O 的半径2136252
2
=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=R .
r 1
R r 2
r 1
R （3）题
O O 2
M
D
B
A
C
E
O 1
解法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，
()()2
122
12222BB AB AA r R +=+=21316914425==+=，得2
13=
R 3．(2015·河南驻马店调研，13)在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AA ′⊥平面ABC ，AA ′＝2，BC ＝23，∠BAC ＝π
2
，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．
【解析】 依题意可知，球心到平面ABC 的距离为d=12AA ′＝1，平面ABC 外接圆的半径为r=1
2BC ＝3，则球的半径
为=+=
22r d R 12＋（3）2＝2，则球的体积为球V = 43×π×23＝32π3. 【答案】 32π
3
解法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，()()()
162322222
222=+='+=A A r R ，得2=R ，则球的体积为
球V = 43×π×23
＝32π
3.
4.在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3
,6,41==
==AA A AC AB π
，
则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .π3
160
解法一：在ABC ∆中，由余弦定理求BC ，282
1
64236162
=⋅
⋅⋅-+=BC ，72=BC ，又由正弦定理3
742
372sin 2=
==
A BC r ，得372=r ，所以3404328)2(212
2=+=+=AA r R ，π3160=表S ； 法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
5.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .
解法一：由余弦定理得32=BC ，由正弦定理得4120sin 3
22==
r ，2=r ，所以5122
12
12=+=+=r AO OO R ，则此球的表面积为π20=S ；
法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
6. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
且该六棱柱的体积为9
8，底面周长为３，则这个球的体积为_________. 解：（本题可扩展成圆柱来考虑）设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有
2
63,1,2936,384x x x h h =⎧⎧
=⎪⎪
∴⎨⎨=⨯⎪⎪
=⎩⎩．
图3-3
C 1
B 1
A
E
F
A 1
O 1
O O 2
B
C
图3-2
C 1
B 1
A
A 1
O 1
O
O 2
B
C
图3-1
C 1
B 1
A
E
F
A 1
O 1
O
O 2
B
C
∴正六棱柱的底面圆的半径
12r =
，球心到底面的距离2
32==h d .∴外接球的半径22
1R r d =+=.43V π
∴=球.
法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
小结：①本题可扩展成圆柱来考虑，解法一是运用公式2
2
2
R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。

本类题目的一般解法是——构造直角三角形法。

2．多面体中有两个直角三角形且有公共斜边的模型，（两直角三角形拼接在一起，斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥，如图）
根据球心到球面上四个不共面的点的距离相等确定球心位置；（可利用直角
三角形结论：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

得球心为直角三角形斜边中点）
题设：如图7，
90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 2
1
====，
∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角，球半径都为定值.
例3.(1) 已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积 解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=
PC ，10=AC ，因为22
210517=+ 所
以知2
2
2
PC PA AC +=，所以 PC PA ⊥ ，如右图。

在ABC Rt ∆中，斜边为AC ； 在
PAC Rt ∆中斜边也为AC ，取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==，在PAC Rt ∆中，OC OP OA ==，所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四
面体的外接球的球心， 521==
AC R ，所以该外接球的体积为3
500343π
π==R V . 评注：对于四面体四个面都是直角三角形的三棱锥（中国古代称作“鳖臑”），可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。

如图，三棱锥ABC S -,满足⊥SA 面ABC ，BC AB ⊥，取SC 的中点为O ，由直角三角形的性质可得：OC OB OS OA ===,所以O 点为三棱锥ABC S -的外接球的球心,则2
SC
R =
.例3（2）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD
O
A
B
C
P
图7
O
A
C
B P
A
C
B
S
的外接球的体积为（ ）
A ．
π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3
125
解：设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===. 折起后该等量关系不变∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为
四面体的外接球的球心，如图所示.∴外接球的半径
52R OA ==.故34125
36V R ππ
==球.选C. （变式）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，
所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 ． 解：BD 的中点是球心O ，1332222=+=
=BD R ，ππ1342==R S .
例3.(3) 已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长和底面边长都为23，求其外接球的半径。

解：这是特殊的正四棱锥，依题意，该四棱锥底面对角线的长为6223=⨯，高为3621)23(2
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥外接球的球心
即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
例3（4）在直角梯形ABCD 中，BC AD //， 90=∠A ，
45=∠C ，1==AD AB ，沿对
角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 .
解：如图，由题意知∠ABD=45°，∵BC AD //，
∴∠CBD=45°，又∵∠C=45°，∴∠BDC=90°，∴△BAD
与△BDC 都是等腰直角三角形，在四面体BCD A -'中，取BD 中点M ，BC 中点O ，则BD OM ⊥，BD A '⊥∴面OM ，则点O 到各顶点的距离都相等，∴球心在BC 的中点O 处，
∵1===AD OB R ，∴π4=表S ；
巩固训练：
（1） (2014宁夏银川质检，10)已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D-ABC 的外接球表面积等于________．
【解析】 设矩形的两邻边长度分别为a ，b ，则ab ＝8，此时2a ＋2b≥4ab ＝82，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立．此时四边形ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是2
24⨯=πS ＝16π. 【答案】 16π
（2）正四棱锥S ABCD -
点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为___. 解：设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. 正方形ABCD 的对角线
D S
C A
O D
B
图4
C
D A
B
S
O
1
图
3
(2)题-2
(2)题-1
→
A
222=⨯=AC ，11=∴A O ，在A SO Rt 1∆中，()
1122
1=-=
SO
. ∴S O D O B O C O A O 11111====，所以球心O 与点1O 重合. ∴其外接球的半径是12AC =. 故
43V π
=
球. （3）(2015河北衡水中学一模，8)已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为( )
A ．16π
B ．4π
C ．8π
D ．2π
【解析】画出该几何体的直观图如左图所示，设点O 为AB 的中点，连接OP ，OC ，由三视图知OP ＝1，△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝1，由
勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝2，由于点O 为斜边AB 的中点，所以OC ＝1
2
AB ＝1，
所以OA ＝OB ＝OC ＝OP ＝1，则点O 为三棱锥P -ABC 的外接球的球心，所以三棱锥P -ABC 外接球的半径长为1，
其表面积为4π×12＝4π，故选B.
3．二面角模型，（两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)，也可连成四面体） 利用“过两个三角形外接圆圆心且垂直于两个三角形各自所在面的两条直线的交点为球心”来定球心位置。

第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心
1H 和2H ；
第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；（若此两直线不相交，则无外接球）
第三步：解Rt 1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：
2
22121R OC CH OH ==+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆（对角互补），证略.
例4（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAB 平面ABC ，△PAB 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .
解：如图，法一：
21r r = ，3460sin 22221=== r r ，3
2
2
1==r r ，由四边形12HO OO 是矩形，∴123
12OO r H O ===，又32
11==r C O ，∴在C OO Rt 1∆中，R OC =，
则3
534312
12122=+=+==r OO OC R ，得315=R ；
法二：312=H O ，3
1
1=H O ，1=AH ，在OHA Rt ∆中，
3
5
31311212122222=++=++=+==O O H O AH OH AH AO R ，所以315=R ； 例4（2）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，
2==BC AB ，△SAC 是正三角形，二面角B AC S --的余弦值为3
3
-
，（1）题
O H A P
O 2
O 1
图6
H 1
E A
C
O
B
D A'
H 2
则四面体ABC S -的外接球表面积为 π6 解：如图，法一：取AC 中点1O ，易知∠B SO 1是二面角S-AC-B 的平面角，且1O 为
△ABC 的外接圆圆心，设O 为球心，2O 为SAC ∆的外接圆圆心，则ABC OO 面⊥1，
AC OO S 2面⊥，满足此类题型.
∵33)2cos(cos 211-=+∠=∠π
O OO B SO ， ∴3
3sin 21=∠O OO ，
∴3
6cos 21=∠O OO ，在21O OO ∆中，33
3122321=⨯⨯=O O ， ∴223
6
33
cos 21211==∠=O OO O O OO ，在C OO Rt 1∆中，2321121212=+=+=C O OO R ，ππ642==R S ； 法二：延长1BO 到D 使1111===r BO DO ，在B SO Rt 1∆中，3
3
,1,3111-
=∠==B SO Cos BO SO ，由余弦定理得6=
SB ，又在D SO 1∆中，
3
311=∠-=∠B SO Cos D SO Cos ，由余弦定理2=SD ，所以222BD SD SB +=，所以︒=∠90SDB ，而SBD ∆的外接圆是大圆，所以大圆直径为62==SB R ；所以2
6=R ，ππ642
==R S .
巩固训练
（1）在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为
120的四面体ABCD ，
则此四面体的外接球表面积为
解：分析知ABD ∆和CBD ∆都是等边三角形，如图，取BD 的中点M ，ABD ∆和
CBD ∆的外接圆半径为221==r r ，ABD ∆和CBD ∆的外心21,O O 到弦BD 的距离
（弦心距）为121==d d ，
法一：由题意OM 是四边形21MO OO 的外接圆直径，在21MO O ∆中，由余弦定理得
321=O O ，又由正弦定理：
OM r Sin O O ==︒
21202
1，得2=OM . 在OMB Rt ∆中，
32
3
22===
BD MB ，由勾股定理得7==OB R ，所以ππ2842==R S ； 法二：在M OO Rt 1∆中，33160tan 11=
⨯=︒=M O OO 31=OO ，所以在C OO Rt 1∆中，
743212
122=+=+==C O OO OC R ，所以ππ2842==R S ；
法三：借助AEC ∆的外接圆是大圆，用正弦定理求球半径. 作出等
边CBD ∆的外接圆直径CE ,则3==CM AM ，
4222=⨯==r CE ，11==M O ME ，在AME ∆中，︒=∠60AME ，由余弦定理得72
=AE ，7=AE ，同理
(4)题图
→
抽象化
(5)题解答图
-2
(5)题解答图-1
1
(3)题。