球的组合体问题1(球的组合体问题最全分类和解法研究)

球的组合体研究

（球中的截面问题 及 球与其它几何体的切接问题）

王宪良

[学习目标]1.学习球与其它几何体切接的直观图的画法。2.掌握球的截面的性质；

3.理解掌握球的切接题目的类型和解法；

4.培养空间想象能力，能根据题意正确画出组合体的直观图。 一、基础知识与概念： 1.有关定义

（1）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，

（2）外接球：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接

多面体，这个球是这个多面体的外接球. 如图

（3）内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.如图

（4）大圆：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等（它是截面圆中最大的圆）； （5）小圆：不过球心的截面所截得的圆叫小圆． 2．外接球的有关知识与方法 （1）性质：

性质1：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 性质2：经过小圆的直径与且小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：球心和截面圆心的连线垂直于截面（类比：圆的垂径定理）；

性质4：在同一球中，过两不平行截面圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两

相交弦的中垂线交点是圆心）；

性质5：球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． （2）结论：

结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；

结论2：若由长方体截得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；

结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的

一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；

c

a b

初图2

初图1N

O

O 1

P

E

F

O

O 1

D 1

C 1

B 1

D

C

A 1

O 2

A

B

M

结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连线段中点处；

结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；

结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.

（3）终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 3．内切球的有关知识与方法

（1）若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.

（2）内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等(类比：与多边形的内切圆、外接圆) （3）正多面体的内切球和外接球的球心重合.

（4）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 4．基本方法：

（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；

（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 二、理清位置，学会画图 先画一个大圆与一个或两个小圆。 1．多面体的外接球（球包体）

模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）

球包 直

柱

注：凡是有一条侧棱垂直于底面的柱或锥，都能补成同球内接圆柱，则都可用以下公式求其外接球的半径

球包正方体

速算a R 2

3=

球包长方体

22

2

2

c b a R ++=

球包四棱柱

速算:球径公式

(右)

球包三棱柱 速算:球径公式

(右)

球包直锥 三棱锥

速算：球径公式(右)

球径公式：2

22h R r ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

，

（r 为底面外接圆半径）

关键：构建Rt △

四

棱锥

速算：球径公式(右)

r

速算

模型2：“顶点连心”锥:锥体的顶点与球心及其在底面的投影(都是底面多边形外接圆的圆心)两心一顶连成线,构建Rt △ 实例：正棱锥

图5-6

D

P

O

O A

B

C

球径计算方程：()2

2

2

h R r R -+=22

22

202h r h hR r R h

+⇒-+=⇒=，

（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径）

特别地，（1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =________．

a 4

6 （2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =____．h h a 632

2+

（3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =____．h

h a 422

2+

2．正多面体的内切球（体中球）

棱锥的内切球：(由等体积法)R =____．

锥表

锥

S 3V 圆锥的内切球：(若圆

锥高为h ，底面半径

r )R =

2

2r h r hr ++

边长为a 的正方体： 2

a

R =

等边圆柱（母线a ）： R =

2

a ． 边长a 的正八面体：

R =

a 6

6 ①对于正三角形、等腰直角三角形、一般直角三角形：

②对于一般三角形：

r C

c

B b A a 2sin sin sin ===