一、平均值与加权平均值

0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解
设甲,乙射手击中的环数分别为 1 , 2 .
E(1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环),
E(2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: AA AB BA BB A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负
把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果
相结合, 即A、B赌完五局, 前三局: 后二局: A胜2局B胜1局 AA AB A胜 BA BB B胜

p
1
2
0.02
0.98
1 2 1 .5 , 随机变量 的算术平均值为 2
加权平均值为
O
1 0.02 2 0.98 1.98.
1


2

x
它从本质上体现了随机变量取可能值的平均值. 当随机变量 取各个可能值是等概率分布时 , 的加权平均值与算术平均值相等.
定义 设有一组数x1 , x2 ,
, xn , 其权值分别为
1 , 2 ,
, n , 则称
x1 x2 x n
为这组数的算术平均值；
xn
x x11 x22
为这组数的加权平均值.
xnn
显然算术平均值是加权平均值的特例
二、离散型场合
1. 数学期望的定义
定义4.1.1 设离散型随机变量 的分布律为 P{ xk } pk , k 1, 2, . 若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 k 1 xk pk
k 1
的和为随机变量 的数学期望, 记为 E ( ). 即 E ( ) xk pk .
k 1
也可以简称为期望，期望值，或均值
分赌本问题
A 期望所得的赌金即为 的数学期望 3 1 E ( ) 200 0 150(元 ). 4 4 射击问题
“平均射中环数”应为随机变量 的数学期
若设每人一年须交保险费为a 元,
由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的
赔偿金的期望值相等知
10000a 40000 a 4(元),
故每人1年应向保险公司交保险费4元.
例5
分组验血
在一个人数很多 的团体中普查某种疾病 ,为 此要抽验 N 个人的血, 可以用两种方法进行 .
(i)将每个人的血分别去验 , 这就需验 N 次.
(ii)按k 个人一组进行分组 , 把从 k 个人抽来的 血混合在一起进行检验 , 如果这混合血液呈阴性 反 应, 就说明 k个人的血都呈阴性反应 , 这样, 这 k 个人 的血就只需验一次 .若呈阳性, 则再对这 k 个人的血 液分别进行化验, 这样, k个人的血共要化验 k 1次.
假设每个人化验呈 阳性的概率为 p, 且这些人 的试验反应是相互独立 的.试说明当p较小时, 选取 适当的k , 按第二种方法可以减少 化验的次数.并说 明 k 取什么值时最适宜 . 解 由于血液呈阳性反应的 概率为 p,
解 设每张彩票中奖的数额为随机变量ξ, 则

p
10000 1 105
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 1051000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金
1 2 E ( ) 10000 5 5000 5 10 10
0.5(元),
0 p0
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 2 13 15 10 20 0 1 2 3 4 90 90 90 90 90 30 5 90 5 nk k 0 k 3.37. n
n
n
( n 1)! np p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
n
np[ p (1 p)]n1
np.
【泊松分布】
设 ~ P( ), 且分布律为
P{ k }
k
k!
射击问题
设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数 k 命中次数 nk
nk 频率 n
0
2
1
13
2
15
3 10
4 20
5
30
30 90
2 90
13 90
15 90
10 90
20 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
解
射中靶的总环数 平均射中环数 射击次数

2 常见的连续型随机变量的数学期望
【均匀分布】 设 ~ U (a, b), 其概率密度为
解
设1年中死亡人数为 , 则 ~ b(10000,0.002)
1000 k 10000 k E ( ) k 0 k (0.002) (1 0.002) k 20(人).
10000
被保险人所得赔偿金的期望值应为
20 2000 40000(元).
每张彩票平均可赚
2 0.5 0.3 1.2(元),
因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为
100000 1.2 120000(元).
实例3
如何确定投资决策方向?
某人有10万元现金, 想投资 于某项目, 欲估成功的机会为 30 %, 可得利润8万元 , 失败的机会 为70%, 将损失 2 万元.若存入银 行, 同期间的利率为5% , 问是否 作此项投资? 解
E ( ) k P{ k }
k 0
n
n k n k k p (1 p) k 0 k
kn! p k (1 p)n k k 0 k !( n k )! np( n 1)! p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
2. 常见分布的数学期望
【两点分布（伯努利分布） 】
已知随机变量 的分布律为

p
则有
1
0
p
1 p
E ( ) 1 p 0 q p ,
【二项分布 】
设随机变量 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n k P{ k } p (1 p)nk ,(k 0,1, 2, , n), k 则有 0 p 1. n
第4.1节
数学期望
一、平均值与加权平均值 二、离散型场合 三、应用实例
四、连续型场合 五、一般场合 六、随机变量函数的数学期望
一、平均值与加权平均值
引例1 分赌本问题(产生背景)
A、B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
1 1 k 1 k k E ( ) q (1 )(1 q ) 1 q . k k k 1 N 个人平均需化验的次数 为 N (1 q ). k
k
因此, 只要选择 k 使
1 1 q 1, k
k
则 N 个人平均需化验的次数 N .
当 p 固定时, 选取 k 使得
望 E ( )
0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 5 p5 .
关于定义的几点说明 (1) E()是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
1 L 1 q k
k
小于1且取到最小值,
此时可得到最好的分组 方法.
四、连续型场合
1 连续型随机变量数学期望的定义
定义4.1.2 设连续型随机变量 的密度函数 为 p( x ), 若积分



x p( x )d x

绝对收敛, 则称积分 x p( x )d x 的值得为随机 变量 的数学期望(或均值） , 记为 E ( ).即 E ( ) x p( x )d x .

设 为投资利润,则
p
8 0 .3
2 0.7
E( ) 8 0.3 2 0.7 1(万元), 存入银行的利息:
10 5% 0.5(万元),
故应选择投资.
例4
你知道自己该交多少保险费吗?
根据生命表知 , 某年龄段保险者里 , 一 年中 每个人死亡的概率为0.002, 现有10000个这类人 参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领 取 2000 元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少 元?

e , k 0,1, 2,
, 0.
则有
E ( ) k
k 0

k
k!
e

e
k 1

k 1
( k 1)!

e e .
【几何分布】
设 ~ G(k , p), 且分布律为
P{ k } qk 1 p, k 1, 2,
所以血液呈阴性反应的 概率为 q 1 p,
因而 k 个人的混合血呈阴性反 应的概率为q k , k 个人的混合血呈阳性反 应的概率为1 q .
k
设以 k 个人为一组时 , 组内每人化验的次数为X , 则 X 为一随机变量 , 且其分布律为

pk
1 k
k 1 k
qk
1 qk
的数学期望为
若设随机变量 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则 所取可能值为:
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为的 “期望”值, 等于 即为
3 1 200 0 150(元 ). 4 4
的可能值与其概率之积的累加.
引例2
则有

.
)
E ( ) k q k 1 p p(1 2q 3q 2
k 1
p(q q q
2
3
q ' 1 1 ) p( ) p 2 1q (1 q ) p
'
3. 数学期望不存在的实例
例 (p173例5） 随机变量的分布律为P{ 2 1 ( 1) } k ,则 k 2
故甲射手的技术比较好.
实例2
发行彩票的创收利润
某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设 头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元; 三等奖 10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各1 百元;五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本 费为 0.3 元,请计算彩票发行单位的创收利润.
k k
1 xk pk ( 1) ln 2 k k 1 k 1
k


但是
1 | xk | pk k 1 k 1 k


因此其数学期望不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在.
三、应用实例
实例1 谁的技术比较好?
甲,乙两个射手, 他们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
故有,在赌技相同的情况下, 可能性大小之比为 3 : 1,
A、B最终获胜的
1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4
因此, A 能“期望”得到的数目应为 3 1 200 0 150(元 ), 4 4 而B 能“期望”得到的数目, 则为 1 3 200 0 50(元). 4 4
设射手命中的环数为随机变量 .
nk 平均射中环数 k 0 k n 随机波动
5
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ? 5 nk 5 n k 0 k n k 0 k pk 随机波动 稳定值
“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
引例3
假设