函数的连续性.ppt

x0
因而函数 f (x) 在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要 条件是既左连续又右连续
lim
x x0
f ( x) lim x x0
f (x)
f (x0 )
lim
xx0
f
(x)
f (x0 )
y
o
x0
x
三、函数在某区间的连续性：
1、开区间内连续：如果f (x) 在某一开
而且 lim f 则称函数f(x)x0 )
处连续。
2、
f(x)在点x0处右连续。
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
f(x)在 x0 处左连续。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
3、 开区间内连续， 闭区间上连续
4、 结论：函数在一点处连续的充要 条件是即左连续又右连续
四、闭区间上连续函数的性质： f (x1)y f (x2 )
oa
x2
x1 b
x
从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续 曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。 如上图：
对于任意 x [a,b], f (x1) f (x), f (x2) f (x) ，这时
我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1 处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。
y分
80 60 40 20
40 80 120 160 x分
一般地，函数f（x）在点x0处连续 必须同时具备三个条件：
1、f (x0 ) 存在，即函数 f (x)
在点x0处有定义。
2、 lim f (x)存在。 x x0
3、
lim
xx0
f
(x)
f
( x0 )
例1 讨论下列函数在给定点处的连续性：
-1（如图）
y
1
-1 o 1
x
-1
练习：
1、连续函数的图象有什么特点？观察下列 函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：
y
y
y
Oa x 连续
（1） y
Oa x 不连续
（2）
y
Oa x 连续
（3）
y
不连续 O a （4）
x
Oa x
不连续
（5）
O 不连续
a
x
（6）
y
y
oa
x
o
a
x
（7） 不连续
（8） 连续
lim
x x0
f (x) lim x x0
f (x)
f (x0 )
5、 会用数形结合思想解某些数学问题
(1) f (x) 1 ,点x 0; x
(2)h(x) sin x,点x 0.
判断某函数在某点处的连续性方法？
导致函数图象断开的原因：
y
y
y
2
2.5 2
2
o1 x
o1
x
o1
x
1、函数在 x 1 处没有定义
2、函数在 x 1时极限不存在
3、函数在 x 1处的极限值和
函数值不等
注意：
1、判断函数在某点处是否连续的三个条件却一不可
2、连续必有极限，但有极限未必连续 3、函数的连续性（如同单调性、奇偶性一样）
是函数自身的重要性质
二、单侧连续性：
如果函数 f (x) 在点 x0 处及其右侧
附近有定义 并且
y
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
Oa x
则称f(x)在点 x0处右连续。
类似地：
如果函数 f (x) 在点x0处及其
左侧附近有定义，并且
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
则称f(x)在x0处是左连续。 如
y
x 1
f
(x)
x 2
2
x 1 x 1
2.5 2
o1
x
例如函数
f
( x)
1( x 1( x
0), 0),
y
如图，在点x=0附近，
1
o
x lim f (x) 1 f (0),
-1
x0
lim f (x) 1 f (0),
区间 (a,b) 内每一点处都连续，就说函
数f（x）在开区间（a，b）内连续，或 说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。
2、闭区间上连续：如果函数 f (x)
在开区间 (a, b) 内连续，在左端点x a
处右连续，在右端点x b 处左连续，就
说函数 f (x) 在闭区间[a, b] 上连
续。
(数3)在xlim点x0x0f处(x是)连续f 的(x。0 )
定义：设函数f(x)在x x0处及其
附近有定义，而且
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
则称函数f(x)在点 x0 处连续，
x0称为函数f(x)的连续点。
这是一种间断的或跳跃的变化
例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加 而作阶梯式的增加等
2、利用下列函数的图象，说明函数在 给定点或开区间内是否连续。
(1) f
( x)
1 x2
,点x
0;
(2) f (x) | x |, 点x 0；
(3) f (x) ax2 bx c,开区间(,);
(4) f (x) x2 4 ,开区间(0,2). x2
本节小结：
1、设函数f(x)在x x0 处及其附近有定义，
函数的连续性
§2.6 函数的连续性
一、函数在某一点处的连续性
y
1.y f (x)
o
x0
x
(如1)在 图：x0从处直有观定上看义，. 我们说一个函数在一点x=x0处 (连2)续li是m指f这(x个)存函数在的，图即象在limx=x0f处(没x)有中li断m，所f (以x)
以上x图x0象就是连续函数的图x象x0。也就是说x，x0这 个函
f (x1)y
f (x2 )
oa
x2
x1 b
x
性质 (最大值最小值定理) 如果f（x）是闭区间[a，b]
上的连续函数，那么f（x） 在闭区间[a，b]上有最大值 和最小值。
注 函数的最大值、最小值可能在区间端
点上取得。如函数 f (x) x(x [1,1])
在点x=1处有最大值1，在点x=-1处有最小值