八上 勾股定理的应用 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)

A

B

C

a

b

c

弦

股

勾

教学内容勾股定理的应用

教学目标会灵活运用勾股定理

重点勾股定理的应用

难点勾股定理的应用

课堂精讲

【知识要点】

1. 勾股定理的概念：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

常用关系式

由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC

2. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

3. 勾股数：

①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数

（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17

等

4.判断直角三角形：

（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（4）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

实际应用：

1. 梯子滑动问题：

1.一架长

2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米

8

6

2.如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑2米，那么，梯子底端的滑动距离米

3.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多 1 m，当他把绳子的下端拉开使绳子下端刚好触到地面，此时绳子下端距离旗杆底部是3米，试问旗杆的高度为米

4.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

5.如图，一个5米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为4米．

①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑1米至C，算一算，底端滑动的距离．

6.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?

2. 爬行距离最短问题：

1.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食，要爬行的最短路线是 cm

2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A 和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？

3.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 .

3、方向问题：

1.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为（）

A.100m

B.500m

C.1 240m

D.1 000m

2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．

⑴此时轮船离开出发点多少km?

⑵若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

3.甲、乙两船上午11时同时从港口A出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离.

E

C ′ A B C

D

4.折叠问题：

1.如图，在长方形ABCD 中，将△ABC 沿AC 对折至△AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。 （1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长

2.如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且14

FB AB ，那

么△DEF 是直角三角形吗？为什么？

4.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？

5.利用勾股定理测量长度

1.如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

2.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

3、一辆装满货物的卡车，高2.5 m，宽1.6 m，要开进形状如图所示的某工厂厂门，这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由．

4．如图，E为正方形ABCD的边AB上的一点，AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，求PB＋PE的最小值．

5、如图，铁路上A、B两点相距25 km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB ⊥AB于点B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上修建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应修建在离A站多少千米处？

6、勾股定理几何应用

1.如图在矩形ABCD中,M是CD中点，AB=8，AD=3．

（1）求AM的长；（2）△MAB是直角三角形吗？为什么？