环境工程原理第07章_过滤
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• 空隙率的大小与颗粒的形状、粒度分布、颗粒床的填充方法 和条件、容器直径与颗粒直径之比等有关。
第三节 深层过滤的基本理论
2.颗粒床层的比表面
颗粒的比表面a： 单位体积颗粒所具有的表面积
颗粒表面积 a 颗粒体积
床层的比表面积ab：单位体积的床层中颗粒的表面积
ab与a之间的关系如下：
ab (1 )a
属丝等编制成的滤布。
• 多孔固体介质：如素烧陶瓷板或管、烧结金属板或管等。
• 多孔膜：由高分子有机材料或无机材料制成的薄膜，根据 分离孔径的大小，可分为微滤、超滤等。
第一节 过滤操作的基本概念
三、过滤分类
1.按过滤机理分：有表面过滤和深层过滤 2.按促使流体流动的推动力分：
•重力过滤：在水位差的作用下被过滤的混合液通过过滤介 质进行过滤，如水处理中的快滤池。
d eb p ul 32l '
(7.3.7)
2
ul——流体在床层空隙中的实际流速，m/s；
deb——颗粒床层的当量直径，m;
若忽略过滤介质阻力，则简化为:
K 2 V A t (7.2.18a) 或 2
2
K q t 2
2
(7.2.18a)
在恒速过程方程中，过滤压差随时间而变化， 因此过滤常数 K 随时间 t 变化
第二节 表面过滤的基本理论
三、过滤常数的测定
（一）过滤常数K，qe的计算
对于恒压过滤，过滤积分方程改写为：
第三节 深层过滤的基本理论
则颗粒床层的当量直径为：
d eb
4 (1 )a
(7.3wk.baidu.com5)
…与床层空隙率和颗粒尺寸有关
第三节 深层过滤的基本理论
（三）流体在颗粒床层中的流动 1. 流动速度
根据上述的简化模型，流体在颗粒床层中的流动可以看成是 在小孔道管束中的流动。 流体在孔道内的流动可以看成是层流。 流动速度可以用Hagen-Poiseuille定律来描述。
本节的主要内容
一、流体通过颗粒床层的流动 二、深层过滤过程中悬浮颗粒的运动 三、深层过滤的水力学（略）
第三节 深层过滤的基本理论
深层过滤过程
• 利用过滤介质间空隙进行过滤。
• 通常发生在以固体颗粒为滤料的过 滤操作中。 • 滤料内部空隙大于悬浮颗粒粒径。 • 悬浮颗粒随流体进入滤料内部，在 拦截、惯性碰撞、扩散沉淀等作用下 颗粒附着在滤料表面上而与流体分开。 流体在颗粒滤料层 中的流动规律
三、过滤常数的测定
四、滤饼洗涤（略） 五、过滤机生产能力的计算（略）
第二节 表面过滤的基本理论
表面过滤过程
被过滤的颗粒粒 径较小的情况
滤饼过滤
多孔性 介质
表面过滤通常发生在过滤流体中颗粒物浓度较高或过滤速 度较慢的情况。
第二节 表面过滤的基本理论
一、过滤基本方程
主要特征：随着过滤过程的进行，流体中的固体颗粒被截
s：滤饼的压缩指数，
对于可压缩滤饼，s=0.2～0.8， 对于不可压缩滤饼，s=0
第二节 表面过滤的基本理论
将比阻计算式代入式（7.2.8），得：
dV Ap1s Adt r0 f (V Ve )
假设
(7.2.10)
2p1s K r0 f
则： dV
Adt
KA 2(V Ve )
第三节 深层过滤的基本理论
颗粒床层的当量直径定义为：
d eb
4 流道截面积 4 流道截面积 流道长度 4 流道容积 湿润周边 湿润周边 流道长度 流道表面积
取面积1m2，厚度为1m的颗粒床层为基准，根据简化模型
流道容积 1
流道表面积 床层体积 床层比表面积 1 (1 )a
p u ( Rm Rc )
(7.2.2)
Rm：过滤介质过滤阻力, 1/m Rc：滤饼层过滤阻力, 1/m
假设rm，r分别为过滤介质和滤饼层的过滤比阻, 1/m2 Rm= rmLm；Rc= rL
p u ( rm Lm rL)
(7.2.4) Ruth 过滤方程
r：与过滤介质上形成的滤饼层的孔隙结构特性有关 L：与滤液量有关，在过滤过程中是变化的。
1.6 10
2 2
2 1.6 102 qe 600 K （2）
第二节 表面过滤的基本理论
联立两式可以求得
qe 0.7 10 2 m3/m2，K 0.8 106 m3/m2s 2 2 6 q 2 0.7 10 q 0.8 10 t， 因此， 2 2 6 t 15 60 900 s q 2 0.7 10 q 0.8 10 900 ， 3 当 3 s, 则： 3 2 q 2.073 10 解得： 3 m3/m2
第七章 过 滤
第七章 过滤
本章主要内容
第一节 过滤操作的基本概念 第二节 表面过滤的基本理论 第三节 深层过滤的基本理论
第一节 过滤操作的基本概念
本节的主要内容
一、过滤过程
二、过滤介质 三、过滤分类
第一节 过滤操作的基本概念
一、过滤过程
• 混合物的分离：液体和气体混合物 • 什么现象属于过滤？ 混合物中的流体在推动力（重力、压力、离心力）的 作用下通过过滤介质，固体粒子被截留，而流体通过 过滤介质，从而实现流体与颗粒物的分离。 液－固分离，气－固分离 如砂滤池、袋式除尘器、口罩…… • 过滤分离的对象？ 粗大颗粒、细微离子、细菌、病毒和高分子物质等
或：
dV A2 p dt r f (V Ve )
……(7.2.8)
第二节 表面过滤的基本理论
滤饼层的比阻r有两种情况： •不可压缩滤饼：滤饼层的颗粒结构稳定，在压 力的作用下不变形，r与p无关
•可压缩滤饼：在压力的作用下容易发生变形
经验式：
r r0 p
s
(7.2.9)
r0：单位压差下滤饼的比阻，m-2 Pa-1；
2 2 3 q q 0.1 2.073 10 1.6 10 0.1 0.473 10 所以 3 m3 2
因此可再得到的滤液为 0.473L。
第二节 表面过滤的基本理论
（二）恒速过滤 恒速过滤是指在过滤过程中过滤速度保持不变，即滤 液量与过滤时间呈正比。
q ut
(7.2.16a) 或 V Aut
(7.2.16b)
dV V 常数 Adt At
2
代入式（7.2.11）
dV KA2 dt 2(V Ve )
K 2 (7.2.17a) 或 V VV e A t 2
K (7.2.17b) q qq e t 2
2
第二节 表面过滤的基本理论
(7.2.13a)
q
0
2( q qe )dq Kdt
0
t
q 2qqe Kt
2
(7.2.13b)
第二节 表面过滤的基本理论
若过滤介质阻力可忽略不计，则简化为：
V 2 KA2 t
(7.2.14a)
q 2 Kt
(7.2.14b)
K可通过实验测定。 如果恒压过滤是在滤液量已达到V1，即滤饼层厚度已
2
1103 q1 1102 m3/m2， t1 5 60 300 s 0.1 1 0.6 103 q2 1.6 102 m3/m2， t2 600 s 0.1
代入过滤方程得
110
2 2
2 1102 qe 300 K （1）
(7.2.11)
令q=V/A，qe=Ve/A（qe称为过滤介质比当量滤液体积），则
dq K dt 2( q qe )
(7.2.12)（滤饼过滤基本方程）
第二节 表面过滤的基本理论
K：过滤常数，如何测定?与下列因素有关：
•滤饼的颗粒性质
•悬浮液浓度 •滤液黏度 •滤饼的可压缩性 qe：过滤介质特性参数
留在过滤介质表面并逐渐积累成滤饼层。
滤饼层厚度：随过滤时间的增长而增厚，其增加速率与过
滤所得的滤液的量成正比。
过滤速度：由于滤饼层厚度的增加，因此在过滤过程中是
变化的。
过滤速度是描述过滤过程的关键！
推动力 其它因素
第二节 表面过滤的基本理论
过滤过程的主要参数
处理量：处理的流体流量或 分离得到的纯流体量V(m3) 过滤推动力：由流体位差、压差或离心力场 造成的过滤压差p 过滤面积：表示过滤设备的大小A(m2) 过滤速度：单位时间通过单位面积的滤液量u
累计到L1的条件下开始时，应如何计算？
积分时：时间从0 t， 滤液量V1V
L1
(V V ) 2Ve (V V1 ) KA t
2 2 1 2
(7.2.15)
V1
第二节 表面过滤的基本理论
例 7.2.1 在实验室中用过滤面积为 0.1m2 的滤布对某种水悬浮液进 行过滤试验，在恒定压差下，过滤 5min 得到滤液 1L，又过滤 5min 得到滤液 0.6L。如果再过滤 5min，可以再得到多少滤液？ 解：在恒压过滤条件下，过滤方程为 q 2qqe Kt
第二节 表面过滤的基本理论
假设每过滤1m3滤液得滤饼f（m3）
fV LA
fV L A
V：滤液体积(m3)
(7.2.5)
另外，可把过滤介质的阻力转化成厚度为Le的滤饼层阻力
rm Lm rLe
则：
(7.2.6)
fVe Le A
(7.2.7) (7.2.8)
dV Ap u Adt r f (V Ve )
•真空过滤：在真空下过滤，如水处理中的真空过滤机。
•压力差过滤：在加压条件下过滤，如水处理中的压滤滤池。 •离心过滤：使被分离的混合液旋转，在所产生的惯性离心 力的作用下，使流体通过周边的滤饼和过滤介质，从而实 现与颗粒物的分离。
第二节 表面过滤的基本理论
本节的主要内容
一、过滤基本方程 二、过滤过程的计算
第三节 深层过滤的基本理论
深层过滤在水处理中的应用
• 水处理中的快滤池、加压砂滤器 • 深层过滤一般适用于流体中颗粒含量少的场合。
快滤池
第三节 深层过滤的基本理论
一、流体通过颗粒床层的流动
颗粒床层是由一定大小和形状的颗粒组成。 （一）混合颗粒的几何特性 1.粒度分布 筛分实验: 采用一套标准筛进行测量
t 1 2 q qe q K K
t/q
(7.2.19)
2qe/K q
斜率 1/K
第二节 表面过滤的基本理论
（二）压缩指数s的计算
2p1s K r0 f
lg K (1 s) lg p B
(7.2.20)
在不同的过滤压差下做过滤实验求得相应的K， 由上式可得s。
第三节 深层过滤的基本理论
第一节 过滤操作的基本概念
二、过滤介质
•固体颗粒：由一定形状的固体颗粒堆积而成，包括天
然的和人工合成的。 天然：石英砂、无烟煤、磁铁矿粒等。 人工：聚苯乙烯发泡塑料球等。
固体颗粒过滤介质在水处理中的各类滤池中应用广泛，
通常称为滤料。
第一节 过滤操作的基本概念
• 织物介质：又称滤布，如棉、麻、丝、毛、合成纤维、金
第二节 表面过滤的基本理论
某一过滤时间 t 时的过滤状态
相应的滤液量为V 过滤速度u定义为：
（表观）
dV dV——dt时间内通过过滤面的滤液量, m3 u Adt 2
A——过滤面积, m
dt——微分过滤时间, s
（7.2.1）
Lm
过滤 压差
p
第二节 表面过滤的基本理论
过滤速度与推动力之间的关系可用下式（Darcy 定律）表示：
累计质量分数F(%)
100 80 60 40 20 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 dp(mm)
2.混合颗粒的平均粒径
混合颗粒的累计粒度分布曲线
第三节 深层过滤的基本理论
（二）颗粒床层的几何特性
1.颗粒床层的空隙率
床层空隙体积 床层体积 颗粒体积 (7.3.3) 床层体积 床层体积
(7.3.4)
ab主要与颗粒尺寸有关，颗粒尺寸愈小，床层的比表面愈 大。
第三节 深层过滤的基本理论
3.颗粒床层的当量直径 颗粒床层中空隙所形成的流体通道结构非常复杂。 通常采用简化的流动模型来代替床层内的真实流动过程。 将实际床层简化成由许多相互平行的小孔道组成的管束。
l’=L
与床层厚 度成正比
第二节 表面过滤的基本理论
二、过滤过程的计算
确定滤液量与过滤时间和过滤压差等之间的关系。 （一）恒压过滤 在过滤过程中，过滤压差自始自终保持恒定。 对于指定的悬浮液，K为常数。 对式(7.2.11)或式(7.2.12)进行积分：
V
0
2(V Ve )dV KA2 dt
0
t
V 2 2VVe KA2t
第三节 深层过滤的基本理论
2.颗粒床层的比表面
颗粒的比表面a： 单位体积颗粒所具有的表面积
颗粒表面积 a 颗粒体积
床层的比表面积ab：单位体积的床层中颗粒的表面积
ab与a之间的关系如下：
ab (1 )a
属丝等编制成的滤布。
• 多孔固体介质：如素烧陶瓷板或管、烧结金属板或管等。
• 多孔膜：由高分子有机材料或无机材料制成的薄膜，根据 分离孔径的大小，可分为微滤、超滤等。
第一节 过滤操作的基本概念
三、过滤分类
1.按过滤机理分：有表面过滤和深层过滤 2.按促使流体流动的推动力分：
•重力过滤：在水位差的作用下被过滤的混合液通过过滤介 质进行过滤，如水处理中的快滤池。
d eb p ul 32l '
(7.3.7)
2
ul——流体在床层空隙中的实际流速，m/s；
deb——颗粒床层的当量直径，m;
若忽略过滤介质阻力，则简化为:
K 2 V A t (7.2.18a) 或 2
2
K q t 2
2
(7.2.18a)
在恒速过程方程中，过滤压差随时间而变化， 因此过滤常数 K 随时间 t 变化
第二节 表面过滤的基本理论
三、过滤常数的测定
（一）过滤常数K，qe的计算
对于恒压过滤，过滤积分方程改写为：
第三节 深层过滤的基本理论
则颗粒床层的当量直径为：
d eb
4 (1 )a
(7.3wk.baidu.com5)
…与床层空隙率和颗粒尺寸有关
第三节 深层过滤的基本理论
（三）流体在颗粒床层中的流动 1. 流动速度
根据上述的简化模型，流体在颗粒床层中的流动可以看成是 在小孔道管束中的流动。 流体在孔道内的流动可以看成是层流。 流动速度可以用Hagen-Poiseuille定律来描述。
本节的主要内容
一、流体通过颗粒床层的流动 二、深层过滤过程中悬浮颗粒的运动 三、深层过滤的水力学（略）
第三节 深层过滤的基本理论
深层过滤过程
• 利用过滤介质间空隙进行过滤。
• 通常发生在以固体颗粒为滤料的过 滤操作中。 • 滤料内部空隙大于悬浮颗粒粒径。 • 悬浮颗粒随流体进入滤料内部，在 拦截、惯性碰撞、扩散沉淀等作用下 颗粒附着在滤料表面上而与流体分开。 流体在颗粒滤料层 中的流动规律
三、过滤常数的测定
四、滤饼洗涤（略） 五、过滤机生产能力的计算（略）
第二节 表面过滤的基本理论
表面过滤过程
被过滤的颗粒粒 径较小的情况
滤饼过滤
多孔性 介质
表面过滤通常发生在过滤流体中颗粒物浓度较高或过滤速 度较慢的情况。
第二节 表面过滤的基本理论
一、过滤基本方程
主要特征：随着过滤过程的进行，流体中的固体颗粒被截
s：滤饼的压缩指数，
对于可压缩滤饼，s=0.2～0.8， 对于不可压缩滤饼，s=0
第二节 表面过滤的基本理论
将比阻计算式代入式（7.2.8），得：
dV Ap1s Adt r0 f (V Ve )
假设
(7.2.10)
2p1s K r0 f
则： dV
Adt
KA 2(V Ve )
第三节 深层过滤的基本理论
颗粒床层的当量直径定义为：
d eb
4 流道截面积 4 流道截面积 流道长度 4 流道容积 湿润周边 湿润周边 流道长度 流道表面积
取面积1m2，厚度为1m的颗粒床层为基准，根据简化模型
流道容积 1
流道表面积 床层体积 床层比表面积 1 (1 )a
p u ( Rm Rc )
(7.2.2)
Rm：过滤介质过滤阻力, 1/m Rc：滤饼层过滤阻力, 1/m
假设rm，r分别为过滤介质和滤饼层的过滤比阻, 1/m2 Rm= rmLm；Rc= rL
p u ( rm Lm rL)
(7.2.4) Ruth 过滤方程
r：与过滤介质上形成的滤饼层的孔隙结构特性有关 L：与滤液量有关，在过滤过程中是变化的。
1.6 10
2 2
2 1.6 102 qe 600 K （2）
第二节 表面过滤的基本理论
联立两式可以求得
qe 0.7 10 2 m3/m2，K 0.8 106 m3/m2s 2 2 6 q 2 0.7 10 q 0.8 10 t， 因此， 2 2 6 t 15 60 900 s q 2 0.7 10 q 0.8 10 900 ， 3 当 3 s, 则： 3 2 q 2.073 10 解得： 3 m3/m2
第七章 过 滤
第七章 过滤
本章主要内容
第一节 过滤操作的基本概念 第二节 表面过滤的基本理论 第三节 深层过滤的基本理论
第一节 过滤操作的基本概念
本节的主要内容
一、过滤过程
二、过滤介质 三、过滤分类
第一节 过滤操作的基本概念
一、过滤过程
• 混合物的分离：液体和气体混合物 • 什么现象属于过滤？ 混合物中的流体在推动力（重力、压力、离心力）的 作用下通过过滤介质，固体粒子被截留，而流体通过 过滤介质，从而实现流体与颗粒物的分离。 液－固分离，气－固分离 如砂滤池、袋式除尘器、口罩…… • 过滤分离的对象？ 粗大颗粒、细微离子、细菌、病毒和高分子物质等
或：
dV A2 p dt r f (V Ve )
……(7.2.8)
第二节 表面过滤的基本理论
滤饼层的比阻r有两种情况： •不可压缩滤饼：滤饼层的颗粒结构稳定，在压 力的作用下不变形，r与p无关
•可压缩滤饼：在压力的作用下容易发生变形
经验式：
r r0 p
s
(7.2.9)
r0：单位压差下滤饼的比阻，m-2 Pa-1；
2 2 3 q q 0.1 2.073 10 1.6 10 0.1 0.473 10 所以 3 m3 2
因此可再得到的滤液为 0.473L。
第二节 表面过滤的基本理论
（二）恒速过滤 恒速过滤是指在过滤过程中过滤速度保持不变，即滤 液量与过滤时间呈正比。
q ut
(7.2.16a) 或 V Aut
(7.2.16b)
dV V 常数 Adt At
2
代入式（7.2.11）
dV KA2 dt 2(V Ve )
K 2 (7.2.17a) 或 V VV e A t 2
K (7.2.17b) q qq e t 2
2
第二节 表面过滤的基本理论
(7.2.13a)
q
0
2( q qe )dq Kdt
0
t
q 2qqe Kt
2
(7.2.13b)
第二节 表面过滤的基本理论
若过滤介质阻力可忽略不计，则简化为：
V 2 KA2 t
(7.2.14a)
q 2 Kt
(7.2.14b)
K可通过实验测定。 如果恒压过滤是在滤液量已达到V1，即滤饼层厚度已
2
1103 q1 1102 m3/m2， t1 5 60 300 s 0.1 1 0.6 103 q2 1.6 102 m3/m2， t2 600 s 0.1
代入过滤方程得
110
2 2
2 1102 qe 300 K （1）
(7.2.11)
令q=V/A，qe=Ve/A（qe称为过滤介质比当量滤液体积），则
dq K dt 2( q qe )
(7.2.12)（滤饼过滤基本方程）
第二节 表面过滤的基本理论
K：过滤常数，如何测定?与下列因素有关：
•滤饼的颗粒性质
•悬浮液浓度 •滤液黏度 •滤饼的可压缩性 qe：过滤介质特性参数
留在过滤介质表面并逐渐积累成滤饼层。
滤饼层厚度：随过滤时间的增长而增厚，其增加速率与过
滤所得的滤液的量成正比。
过滤速度：由于滤饼层厚度的增加，因此在过滤过程中是
变化的。
过滤速度是描述过滤过程的关键！
推动力 其它因素
第二节 表面过滤的基本理论
过滤过程的主要参数
处理量：处理的流体流量或 分离得到的纯流体量V(m3) 过滤推动力：由流体位差、压差或离心力场 造成的过滤压差p 过滤面积：表示过滤设备的大小A(m2) 过滤速度：单位时间通过单位面积的滤液量u
累计到L1的条件下开始时，应如何计算？
积分时：时间从0 t， 滤液量V1V
L1
(V V ) 2Ve (V V1 ) KA t
2 2 1 2
(7.2.15)
V1
第二节 表面过滤的基本理论
例 7.2.1 在实验室中用过滤面积为 0.1m2 的滤布对某种水悬浮液进 行过滤试验，在恒定压差下，过滤 5min 得到滤液 1L，又过滤 5min 得到滤液 0.6L。如果再过滤 5min，可以再得到多少滤液？ 解：在恒压过滤条件下，过滤方程为 q 2qqe Kt
第二节 表面过滤的基本理论
假设每过滤1m3滤液得滤饼f（m3）
fV LA
fV L A
V：滤液体积(m3)
(7.2.5)
另外，可把过滤介质的阻力转化成厚度为Le的滤饼层阻力
rm Lm rLe
则：
(7.2.6)
fVe Le A
(7.2.7) (7.2.8)
dV Ap u Adt r f (V Ve )
•真空过滤：在真空下过滤，如水处理中的真空过滤机。
•压力差过滤：在加压条件下过滤，如水处理中的压滤滤池。 •离心过滤：使被分离的混合液旋转，在所产生的惯性离心 力的作用下，使流体通过周边的滤饼和过滤介质，从而实 现与颗粒物的分离。
第二节 表面过滤的基本理论
本节的主要内容
一、过滤基本方程 二、过滤过程的计算
第三节 深层过滤的基本理论
深层过滤在水处理中的应用
• 水处理中的快滤池、加压砂滤器 • 深层过滤一般适用于流体中颗粒含量少的场合。
快滤池
第三节 深层过滤的基本理论
一、流体通过颗粒床层的流动
颗粒床层是由一定大小和形状的颗粒组成。 （一）混合颗粒的几何特性 1.粒度分布 筛分实验: 采用一套标准筛进行测量
t 1 2 q qe q K K
t/q
(7.2.19)
2qe/K q
斜率 1/K
第二节 表面过滤的基本理论
（二）压缩指数s的计算
2p1s K r0 f
lg K (1 s) lg p B
(7.2.20)
在不同的过滤压差下做过滤实验求得相应的K， 由上式可得s。
第三节 深层过滤的基本理论
第一节 过滤操作的基本概念
二、过滤介质
•固体颗粒：由一定形状的固体颗粒堆积而成，包括天
然的和人工合成的。 天然：石英砂、无烟煤、磁铁矿粒等。 人工：聚苯乙烯发泡塑料球等。
固体颗粒过滤介质在水处理中的各类滤池中应用广泛，
通常称为滤料。
第一节 过滤操作的基本概念
• 织物介质：又称滤布，如棉、麻、丝、毛、合成纤维、金
第二节 表面过滤的基本理论
某一过滤时间 t 时的过滤状态
相应的滤液量为V 过滤速度u定义为：
（表观）
dV dV——dt时间内通过过滤面的滤液量, m3 u Adt 2
A——过滤面积, m
dt——微分过滤时间, s
（7.2.1）
Lm
过滤 压差
p
第二节 表面过滤的基本理论
过滤速度与推动力之间的关系可用下式（Darcy 定律）表示：
累计质量分数F(%)
100 80 60 40 20 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 dp(mm)
2.混合颗粒的平均粒径
混合颗粒的累计粒度分布曲线
第三节 深层过滤的基本理论
（二）颗粒床层的几何特性
1.颗粒床层的空隙率
床层空隙体积 床层体积 颗粒体积 (7.3.3) 床层体积 床层体积
(7.3.4)
ab主要与颗粒尺寸有关，颗粒尺寸愈小，床层的比表面愈 大。
第三节 深层过滤的基本理论
3.颗粒床层的当量直径 颗粒床层中空隙所形成的流体通道结构非常复杂。 通常采用简化的流动模型来代替床层内的真实流动过程。 将实际床层简化成由许多相互平行的小孔道组成的管束。
l’=L
与床层厚 度成正比
第二节 表面过滤的基本理论
二、过滤过程的计算
确定滤液量与过滤时间和过滤压差等之间的关系。 （一）恒压过滤 在过滤过程中，过滤压差自始自终保持恒定。 对于指定的悬浮液，K为常数。 对式(7.2.11)或式(7.2.12)进行积分：
V
0
2(V Ve )dV KA2 dt
0
t
V 2 2VVe KA2t