非线性控制理论和方法

非线性控制理论和方法

姓名：引言

人类认识客观世界和改造世界的历史进程，总是由低级到高级，由简单到复杂，由表及里的纵深发展过程。在控制领域方面也是一样，最先研究的控制系统都是线性的。例如，瓦特蒸汽机调节器、液面高度的调节等。这是由于受到人类对自然现象认识的客观水平和解决实际问题的能力的限制，因为对线性系统的物理描述和数学求解是比较容易实现的事情，而且已经形成了一套完善的线性理论和分析研究方法。但是，现实生活中，大多数的系统都是非线性的。非线性特性千差万别，目前还没一套可行的通用方法，而且每种方法只能针对某一类问题有效，不能普遍适用。所以，可以这么说，我们对非线性控制系统的认识和处理，基本上还是处于初级阶段。另外，从我们对控制系统的精度要求来看，用线性系统理论来处理目前绝大多数工程技术问题，在一定范围内都可以得到满意的结果。因此，一个真实系统的非线性因素常常被我们所忽略了，或者被用各种线性关系所代替了。这就是线性系统理论发展迅速并趋于完善，而非线性系统理论长期得不到重视和发展的主要原因。控制理论的发展目前面临着一系列严重的挑战, 其中最明显的挑战来自大范围运动的非线性复杂系统, 同时, 现代非线性科学所揭示的分叉、混沌、奇异吸引子等, 无法用线性系统理论来解释, 呼唤着非线性控制理论和应用的突破。

1.传统的非线性研究方法及其局限性

传统的非线性研究是以死区、饱和、间隙、摩擦和继电特性等基本的、特殊的非线性因素为研究对象的, 主要方法是相平面法和描述函数法。相平面法是Poincare于1885年首先提出的一种求解常微分方程的图解方法。通过在相平面上绘制相轨迹, 可以求出微分方程在任何初始条件下的解。它是时域分析法在相空间的推广应用, 但仅适用于一、二阶系统。描述函数法是 P. J.Daniel于1940

年提出的非线性近似分析方法。其主要思想是在一定的假设条件下, 将非线性环节在正弦信号作用下的输出用一次谐波分量来近似, 并导出非线性环节的等效近似频率特性(描述函数) , 非线性系统就等效为一个线性系统。描述函数法不受系统阶次的限制, 但它是一种近似方法, 难以精确分析复杂的非线性系统。

非线性系统的稳定性分析理论主要有绝对稳定性理论、李亚普诺夫稳定性理论和输入输出稳定性理论。绝对稳定性的概念是由前苏联学者鲁里叶与波斯特尼考夫提出的, 其中最有影响的是波波夫判据和圆判据, 但难以推广到多变量非线性系统。李亚普诺夫稳定性理论是俄国天才的数学家李亚普诺夫院士于 1892 年在他的博士论文里提出的, 现在仍被广泛应用。但它只是判断系统稳定性的充分条件, 并且没有一个构造李亚普诺夫函数的通用的方法。输入输出稳定理论是由I.W. Sanberg和G. Zames 提出的。其基本思想是将泛函分析的方法应用于一般动态系统的分析中,而且分析方法比较简便, 但得出的稳定性结论是比较笼统的概念。

2. 非线性控制理论的研究

上世纪60 年代之后,非线性控制有了较大发展,如自适应控制、模型参考控制、变结构控制等,这些方法大多与Lyapunov 方法相关。可以认为是Lyapunov 方法在控制领域的丰富成果。上世纪80年代以后,非线性控制的研究进入了一个兴盛时期。本文主要介绍这一时期非线性控制理论研究的基本问题、方法和现状。主要表现为以下几个方面：

2.1 变结构控制方法

前苏联学者邬特金和我国的高为炳教授比较系统地介绍了变结构控制的基本

理论。变结构控制方法通过控制作用首先使系统的状态轨迹运动到适当选取的切换流形,然后使此流形渐近运动到平衡点,系统一旦进入滑动模态运动,在一定条件下,就对外界干扰及参数扰动具有不变性。系统的综合问题被分解为两个低维子系统的综合问题,即设计变结构控制规律,使得系统在有限时间内到达指定的切换流形和选取适当的切换函数确保系统进入滑动模态运动以后具有良好的动态特性。由系统不确定因素及参数扰动的变化范围可以直接确定出适当的变结构反馈控制律解决前一问题。而后一低阶系统综合问题可以用常规的反馈设计方法

予以解决。由于变结构控制不需要精确的模型和参数估计的特点,因此这一控制方法具有算法简单、抗干扰性能好、容易在线实现等优点,适用于不确定非线性多变量控制对象。

以滑动模态为基础的变结构控制,早期的工作主要由苏联学者完成,这一阶段

主要以误差及其导数为状态变量,研究SISO 线性对象的变结构控制和二阶线性系统。研究的主要方法是相平面分析法。上世纪60 年代,研究对象扩展到MIMO 系统和非线性系统,切换流形也不限于超平面,但由于当时硬件技术的滞后,这一阶段的主要研究工作,仅限于基本理论的研究。到了上世纪80 年代,随着计算机和大功率电子器件等技术的发展,变结构控制的研究进入了一个新的时代。以微分几何为主要工具发展起来的非线性控制思想极大地推动了变结构控制理论的发展,如基于精确输入/ 状态和输入/ 输出线性化及高阶滑模变结构控制律等都是近十余年来取得的成果。所研究的控制对象也已涉及到离散系统、分布参数系统、广义系统、滞后系统、非线性大系统等众多复杂系统。变结构控制研究的主要问题有以下几点:

2.1.1 受限系统变结构控制

许多实际控制系统需要考虑与外部环境的接触因素。描述这类系统的动态往往带有一定的约束或限制条件,故称为受限系统。约束条件分为完整和非完整约束两大类。完整约束上只与受控对象的几何位置有关,且由代数方程描述,经过积分运算可使约束得到简化,从而可以分解出若干个状态变量,将原始系统转化为一低阶无约束系统,故其控制问题与无约束系统相比没有太大困难。而非完整约束本质上为动态约束,由于不能通过积分等运算将其转化为简单的代数运算方程,使其控制及运动规划等问题变的相当困难。此外还有一些新的特点:如不能采用光滑或连续的纯状态反馈实现状态的整体精确线性化,但通过适当的输出映射选取,可以实现输入/ 输出的精确线性化;在光滑的纯状态反馈下不能实现平衡点的渐近稳定,但采用非光滑或时变状态反馈却可以实现。

2.1.2 模型跟踪问题

采用最优控制理论设计多变量控制系统遇到两个问题:①很难用性能指标指定设计目的。②对象参数往往有大范围扰动。克服第一个困难的有效方法之一是采用“线性模型跟踪控制”、基本思想是将一刻化设计目标的参考模型作为系统