初中数学 圆的弧长和图形面积的计算

4．(2014· 德州)如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别为BC， CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，半径为1作圆，求图中阴 影部分的面积．
计算时注意数形的结合，求面积时往往 需要图形的分割，转化为其他图形的面 积和、差来计算．
B
圆柱和圆锥
1．(2013·黄石)已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12 cm，另一 条直角边BC＝5 cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是 (A) A．90π cm2 B．209π cm2 C．155π cm2 D．65π cm2
圆柱和圆锥
解：(1)∵∠BAC＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即 BC＝ 2， ∴AB＝ 2 BC＝1 2 (2)设所得圆锥的底面圆的半径为 r，
弧长、扇形的面积
1．(2013· 常州)已知扇形的半径为6 cm，圆心角为150°，则此扇形 5π 15π 2.(结果保留π) 的弧长是____cm ，扇形的面积是____cm
弧长、扇形的面积
2．(2014· 贺州)如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC＝ 2，AE＝，CE＝1.求弧BD的长．
2 2
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的 思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形 的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有： 1．将所求面积分割后，利用规则图形的面积 相互加减求解． 2．将阴影中某些图形等积变形，重组成规则 图形求解．
3．(2014·泰安)如图，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分 别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( A )
B
2．(2014·嘉兴)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆 锥的底面半径为( D ) A．15 B．2 C．2.5 D． 3 3．(2014·绍兴)如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90° 的扇形，则该圆锥的底面周长为( B )
4．(2014· 金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和 圆形纸板按如图方式分别剪得一个正方形，边长 都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( A )
2 3 60 π × 2 3π ︵ 3 BC＝ ＝ 180 9
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弧长和扇形的面积： (1)在半径为r的圆中，圆心角的度数为n°的 弧长的计算公式为l＝________； (2)如果圆的圆心角的度数为n°，圆的半径为 r，扇形的面积为S，那么扇形的面积计算公 式为________或________．
C
第25讲 圆的弧长和图形面积的计算
1．会计算圆的弧长和扇形的面积． 2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面 积． 3．了解正多边形的概念及正多边形与 圆的关系．
该内容考查较基础，常以选择题、填空题的 形式出现． 1．运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的 计算，以及圆锥的侧面积和全面积的求解． 2．借助分割与转化的方法探求阴影部分的面 积是中考的热点．
解：连结 OC，∵△ACE 中，AC＝2，AE＝ 3，CE＝1，∴ AE2＋CE2＝AC2，∴△ACE 是直角三角形，即 AE⊥CD，∵ CE CE sinA＝ ，∴∠A＝30°，∴∠COE＝60°，∴ ＝sin∠COE， AC OC 即 ︵ ︵ ︵ 1 3 2 3 ＝ ，解得 OC＝ ，∵AE⊥CD，∴BC＝BD，∴BD＝ OC 2 3
2 2 2 2
阴影面积的计算
2．(2014· 昆明)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点， 连结BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号 和π)
解：(1)连结 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝2∠1， ∵∠A＝2∠1，∴∠A＝∠DOC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∵OD 为半径，∴AC 是⊙O 的切线 (2)∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，∴在 Rt△ODC 中， DC 1 tan60°＝ ，DC＝OD·tan60°＝2× 3＝2 3，∴S△ODC＝ OD·DC＝ OD 2 1 nπ r 60×π ×2 2 ×2×2 3＝2 3，S 扇形 ODE＝ ＝ ＝ π ，∴S 阴影＝ 2 360 360 3 2 S△ODC－S 扇形 ODE＝2 3－ π 3
90· π·1 1 根据题意得 2πr＝ ，解得 r＝ 180 4
3．(2014· 宁波)圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是 (B ) A．6π B．8π C．12π D．16π 4．(2013· 恩施)直角三角形两直角边长是3 cm和4 cm，以该三角形的边 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，求其表面积．(结果保留π )
求解时注意圆锥侧面展开图与圆锥的转化关 系： 1．圆锥的底面的周长等于圆锥侧面展开图中 扇形的弧长． 2．圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的面积就 是圆锥的侧面积．
阴影面积的计算
解： （1）由 SAS 可证△AOC≌△BOD，则 AC＝BD 90π OA 90π OC 3 （2）S 阴影＝ － ，所以 π ＝ 360 360 4 90π （2 －OC ） ，可得 OC＝1 cm 360