电子自旋四个量子数
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最大?
解 (1) 概率密度
n ( x)
2
2 sin a
2
nx
a
粒子在 0< x < a/4 区间中出现的概率
P
a
4 0
n
(
x)
2
dx
a 4
2
ห้องสมุดไป่ตู้
sin
2
nx
dx
0a
a
1 1 sin n 4 2 n 2
《大学物理》 西安交通大学理学院 王瑞敏
n 1
P1
9 100
n
(2)a/4 处的概率密度
P2
E0= 0 零点能
量子力学结果
En=(n+1/2)hv E0= hv/2
《大学物理》 西安交通大学理学院 王瑞敏
六.氢原子
(x22
2 y 2
2 z 2
)Ψ
2m 2
E
V
Ψ
0
V e2
4 0r
球坐标的定态薛定谔方程
1 r2
r
(r
2
r
)
r2
1
sin
(sin
)
1 2 r2 sin 2 2
2m 2
玻尔氢原子理论中,电子的轨道位置
《大学物理》 西安交通大学理学院 王瑞敏
2. 角动量量子化 电子绕核转动的角动量 L 的大小
L l(l 1)
角量子数 l = 0 ,1 ,2 , …… , n-1
25 100
n
(
a 4
)
2
2 sin 2 (n
aa
a) 4
2 sin 2 n
a4
极大值对应
sin n 1
4
n (2k 1)
4
2
n = 2、6、10……等量子态。
五.隧道效应(势垒贯穿)
经典力学中:
Ⅰ
E P2 U (x) 2m
E
E U(x)
P2 0
2m
隧道效应是微观粒子具有波动性的结果
U0 ⅡⅢ
西安交通大学理学院 王瑞敏
《大学物理》 西安交通大学理学院 王瑞敏
四. 一维无限深势阱中的粒子
V(x)
研究对象:金属中的电子,
原子中的电子,原子核中的
质子和中子等粒子
Ψ(x) 0
Ψ(x) 0
势能函数
V (x) = 0 0 < x < a
V (x) = ∞ 0 < x 或 x > a
0
0 > x 或 x < a 区域
B0
因此 Ψx Asin kx
在 x = a 处连续,有
0
a
x
Ψa Asin ka 0
所以
k nπ
a
量子数为 n 的定态波函数为
Ψn x
An
sin
nπ a
x
由归一化条件
|Ψn (x)
|2dx
1
可得 An a / 2
定态波函数
《大学物理》 西安交通大学理学院 王瑞敏
E3 32 E1
六.一维谐振子
《大学物理》 西安交通大学理学院 王瑞敏
1.势能函数
U
(x)
1 2
kx2
1 2
m
2
x2
m — 振子质量, — 固有频率,x — 位移
2.定态薛定谔方程
'
'
(
x)
2m 2
(
E
1 2
m
2
x2
)
(
x)
0
3.能量量子化
说明 En (n 12)h
(n 0,1, 2, )
普朗克量子化假设 En=nhv
Ψn (x)
2 sin nπ x aa
E2 22 E1
粒子能量
其中
k2
2mE 2
k nπ a
En
n2
h2 8ma2
n 2 E1
能量是量子化的
E1
x
0
a
n 1
E1
22
2ma 2
零点能
波函数
Ψ
(r ,
t
)
Ψ
i (r )e
E
t
2
sin
nπ
i
xe
E
t
aa
驻波波函数
y 2Acos 2π x cost
x = a 处: Ψ2 (a) Ψ3(a)
dΨ2 dΨ3 dx xa dx xa
U0 ⅠⅡ Ⅲ
E
B3 = 0 0a
得到4个方程,求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系,从
而得到反射系数 R | B1 |2 / | A1 |2和透射系数 T | A3 |2 / | A1 |2
分别为
R
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 (k2a) k22 )sin 2 (k2a) 4k12k22
Ⅰ
U0 Ⅱ
Ⅲ
T
(k12
4k12k22 k22 )sin 2 (k2a) 4k12k22
E
T R 1
0a
入射粒子一部分透射到达III 区,另一部分被势垒反射回I 区
讨论
(1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度,入射粒子并非 全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度,入射粒子仍 可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应
(3)如果a、m和(U0-E)越小,则粒子贯穿势垒的几率就越大。
T
(k12
4k12k22 k22 )sin 2 (k2a)
4k12k22
k22
2m(U0 2
E)
(4)隧道效应的应用——扫描隧道显微镜原理
k nπ 2 a
an
2
E3 32 E1
E2 22 E1 E1
x 0 概波率函分数布 a
《大学物理》 西安交通大学理学院 王瑞敏
例 设质量为m 的微观粒子处在宽为a 的一维无限深方势阱中,
求 (1) 粒子在 0< x < a/4 区间中出现的概率, 并对n = 1 和n =
的情况算出概率值。(2) 在哪些量子态上, a/4 处的概率密度
Ψ(x) 0
0 < x < a 区域,定态薛定谔方程为
a
x
d2Ψx
dx2
2mE 2
Ψ
x
0
令
k2
2mE 2
《大学物理》 西安交通大学理学院 王瑞敏
d
2Ψx
dx2
k
2Ψ
x
0
V(r)
通解为
Ψx Asinkx Bcos kx
Ψ(x) 0
Ψ(x) 0
波函数在 x = 0 处连续,有
Ψ0 Asin k 0 Bcos k 0 0
0a
势垒 Ⅰ区 Ⅱ区
Ⅲ区
U(x) =0 x≤0
U ( x ) = U0 0≤ x ≤ a
U(x) =0
x≥a
定态薛定谔方程:
Ⅰ区
d 2Ψ1 ( x) dx2
k12Ψ1 ( x)
0
Ⅱ区
d2Ψ2 ( dx2
x)
k22Ψ2
(x)
0
Ⅲ区
d 2Ψ3 ( dx2
x)
k12Ψ3 (
x)
0
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
Ψ1(x) A1eik1x B1eik1x Ψ2 (x) A2eik2x B2eik2x Ψ3(x) A3eik1x B3eik1x
k12
2mE 2
k22
2m(U0 2
E)
k12
2mE 2
波函数在 x = 0 ,x = a 处连续
x = 0 处: Ψ1(0) Ψ2 (0)
dΨ1 dΨ2 dx x0 dx x0
(
E
e2
4 0r
)
0
《大学物理》 西安交通大学理学院 王瑞敏
1. 能量量子化
能量
En
1 n2
(8m02eh42 )
E1 n2
主量子数 n = 1 ,2 ,3 ,……
电子云 电子云密度
概率密度ψnlm2(r,θ,)
r1 0.529 1010 m r2 4r1 r3 9r1
……
电子在这些地方出现的 概率最大