2019-2020年高二数学第二章平面向量复习课教案北师大版必修4

2019-2020年高二数学第二章平面向量复习课教案北师大版必修4 [第一部分：知识归纳]

1.知识结构

中的应用

中的应用

何中的应用

何中的应用

平面向量

2.重要公式、定理

①.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这

一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ

1

，λ

2

使=λ

1

+λ

2

.

②. 向量共线的两种判定方法：∥()

③. a = (x, y) ⇒|a|2 = x2 + y2 ⇒ |a| =

④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=

⑤.co sθ =

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

y

x

y

x

y

y

x

x

+

+

+

=

⑥.a⊥b⇔a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）

3.学习本章应注意的问题及高考展望

①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。

②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题

提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。

③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键. [第二部分：基础测试]（供选用） 教材P 125—126第1、2、3题

[第三部分：应用举例]（供选用）

例1.如图△ABC 中，= c ，= a ，= b ，则下列推导

不正确的是……………（ ）

A ．若a •b < 0，则△ABC 为钝角三角形。

B ．若a •b = 0，则△AB

C 为直角三角形。 C ．若a •b = b ⋅c ，则△ABC 为等腰三角形。

D ．若c • (a + b + c ) = 0，则△ABC 为正三角形。 解：A ．a •b = |a ||b |cos θ < 0，则cos θ < 0，θ为钝角 B ．显然成立

C ．由题设：|a |cos C = |c |cos A ，即a 、c 在b 上的投影相等

D ．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC 为正三角形 例2.设非零向量a 、b 、c 、d ，满足d = (a •c) b (a •b)c ，求证：a d 证：内积a •c 与a •b 均为实数，

∴a •d = a • [(a •c) b (a •b)c] = a • [(a •c) b] a • [(a •b)c]

= (a •b)(a •c) (a •c)(a •b) = 0

∴a d

例3.已知|a| = 3，b = (1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标。 解：设a = (x,y) ∵|a| = 3 ∴…①

又：∵a ∥b ∴1•y 2•x = 0 …②

解之：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧==556553y x 或⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧-=-=55

655

3y x

即：a = () 或a = ()

例4.已知a 、b 都是非零向量， a + 3b 与7a - 5b 垂直，且a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角。

解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a •b -15b 2 = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a •b + 8b 2 = 0 ② 两式相减：2a ⋅b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2

设a 、b 的夹角为θ，则cos θ = ∴θ = 60︒

例5.已知：|a | =，|b | = 3，a 与b 夹角为45︒，求使a +b 与a +b 夹角为锐角的的取值范围。

解：由题设：a •b = |a||b|cos α = 3××= 3

(a+b)⋅(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)a •b = 32 + 11 + 3 ∵夹角为锐角 ∴必得32 + 11 + 3 > 0

A C a c b

∴或

例6.a、b为非零向量，当a + tb(t R)的模取最小值时，①求t的值；②求证：b与a + tb垂直

解：① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b|

∴当t =时, |a + tb|最小

②∵b• (a + tb) = a•b = 0 ∴b与a + tb垂直

例7.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证：设= b，= a，则=+= b+a, =a +b

∵A, G, D共线，B, G, E共线

∴可设=λ，= μ,

则=λ=λ(b+a)=λb+λa,

= μ= μ(b+a)=μb+μa,

∵即：b + (μb+μa) =λb+λ a

∴(μλ)a + (μλ+)b = 0 ∵a, b

∴⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

-

=

-

3

1

3

2

2

1

2

1

2

1

μ

λ

λ

μ

λ

μ

=

例8.设=(a+5b)，=2a + 8b，=3(a b)，求证：A,B,D三点共线。

证：=++=(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)

= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)

而=(a+5b) ∴= (+ 1)

又∵, 有公共点∴A,B,D三点共线

例9.已知：A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，①求证：A，B，C三点不共线

②以、为一组基底来表示++

解：①∵=(1,3), =(2,4) ∵1×43×20 ∴

∴A，B，C三点不共线

②++=(3,5)+(4,2)+(5,1) = (12,8)

设：++= m+ n

即：(12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)

∴

⎩

⎨

⎧

-

=

=

⇒

⎩

⎨

⎧

+

=

+

=

-

22

32

4

3

8

2

12

n

m

n

m

n

m

∴++= 3222

例10.求证：|a + b |≤|a| + |b|

证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos ≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2

即：|a + b |≤|a| + |b|

例11.设作用于同一点O的三个力F

1

、F

2

、F

3

处于平衡状态，如果| F

1

|=1，|F

2

|=2，

F

1

与F

2

的夹角为.求①.F

3

的大小；②.∠F

3

OF

2

的大小.

解：①F

1

、F

2

、F

3

三个力处于平衡状态，故F

1

+F

2

+F

3

=0，即F

3

= -（F

1

+F

2

）.

∴| F

3

|=| F

1

+F

2

|=

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

)

(F

F

F

F

F

F∙

+

+

=

+

C