§4.3.主理想环
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§ 4.3 主理想环
特殊的唯一分解环：第一种是主理想环.
定义1 一个整环I 叫做一个主理想环, 假如 I的每一个理想都是主理想.
一个主理想环一定是一个唯一分解环.
例1环R的理想升链 : I1 I 2 I n I n 1 的并 I I i 是理想.
i 1 n
例2在整环中 (1) ( a ) (b) b a (2)( a ) (b) a, b是相伴元
(i ) I的每一个既不是零也不是单位的元a都有 一个分解a p1 p2 pr
pi是I的素整除ab, 那么p能整除a或b.
§ 4.3 主理想环
§ 4.3 主理想环
令A 为这些理想的并集,则A 是I的一个理想,
由于I 是主理想环, 所以A 是一个主理想:A = (d).
由于d A , 所以d也属于某一个 an .可以证明, 这个an一定是要求的元.
§ 4.3 主理想环
否则,若an 存在真因子an +1 ,由于d an , an 1 d =A , 因此an | d , d | an 1 ,于是an | an 1
又 an1 | an ,可得an1和 an是相伴元,与an1是an的 真因子矛盾.
综上，这个序列一定是一个有限序列.
§ 4.3 主理想环
引理2 假定I 是一个主理想环,那么I的一个素元p 生成一个最大理想.
§ 4.3 主理想环
定理 一个主理想环I 是一个唯一分解环.
证明 利用P131定理2的性质来证明.
§ 4.3 主理想环
引理1 假定I 是一个主理想环.若在序列 a1 , a2 , a3 ,
ai I
里每一个元都是前面一个的真因子,那么 这个序列一定是一个有限序列.
证明 : 作主理想 a1 , a2 , a3 ,
由于ai1是ai的因子,显然 a1 a2 a3
特殊的唯一分解环：第一种是主理想环.
定义1 一个整环I 叫做一个主理想环, 假如 I的每一个理想都是主理想.
一个主理想环一定是一个唯一分解环.
例1环R的理想升链 : I1 I 2 I n I n 1 的并 I I i 是理想.
i 1 n
例2在整环中 (1) ( a ) (b) b a (2)( a ) (b) a, b是相伴元
(i ) I的每一个既不是零也不是单位的元a都有 一个分解a p1 p2 pr
pi是I的素整除ab, 那么p能整除a或b.
§ 4.3 主理想环
§ 4.3 主理想环
令A 为这些理想的并集,则A 是I的一个理想,
由于I 是主理想环, 所以A 是一个主理想:A = (d).
由于d A , 所以d也属于某一个 an .可以证明, 这个an一定是要求的元.
§ 4.3 主理想环
否则,若an 存在真因子an +1 ,由于d an , an 1 d =A , 因此an | d , d | an 1 ,于是an | an 1
又 an1 | an ,可得an1和 an是相伴元,与an1是an的 真因子矛盾.
综上，这个序列一定是一个有限序列.
§ 4.3 主理想环
引理2 假定I 是一个主理想环,那么I的一个素元p 生成一个最大理想.
§ 4.3 主理想环
定理 一个主理想环I 是一个唯一分解环.
证明 利用P131定理2的性质来证明.
§ 4.3 主理想环
引理1 假定I 是一个主理想环.若在序列 a1 , a2 , a3 ,
ai I
里每一个元都是前面一个的真因子,那么 这个序列一定是一个有限序列.
证明 : 作主理想 a1 , a2 , a3 ,
由于ai1是ai的因子,显然 a1 a2 a3