近世代数课件(全)--3-5_环的同态、极大理想
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近世代数课件-3-5_素理想与极大理想
这一特征可描述为： 另外，也可这样定义一个素数：
描述为： 这两个概念。
这一特征可
2020/4/27
二、素理想的概念
2020/4/27
三、素理想的性质
2020/4/27
四、极大理想的概念
注1： 注2：
注3： 注：
2020/4/27
五、极大理想的性质
2020/4/27
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作业：P91第1题。
2020/4/27
关系以及极大理想与域之间的关系。 利用素理想和极大理想构造整环和域是本节的重点，同时
也是难点。
2020/4/27
§3.5 素理想与极大理想
一.素理想与极大理想的引入 二.素理想的定义 三.素理想的性质 四.极大理想的定义 五.极大理想的性质
2020/4/27
18:19
一、极大理想和素理想概念的引入
近世代数
第三章 环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是 近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
2020/4/27
§3.5 素理想与极大理想
本节介绍两种特殊的理想——素理想与极大理想，并由此 给出由有单位元的交换环构造整环和域的一种方法。
本节教学目的与要求： 掌握素理想与极大理想的定义，掌握素理想与整环之间的
近世代数课件全 4 2 主理想整环欧式环 优质课件
1 ( f ( x), g( x)) g( x) x[ f ( x) g( x)x]
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
2019/12/11
而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
2019/12/11
做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
2019/12/11
近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
2019/12/11
而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
2019/12/11
做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
2019/12/11
近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
近世代数课件(全)--3-5 环的同态、极大理想
R S ( R S ) { a , b , } { u, v , } 令 R S ( R S ) { a , b , } { u, v , } 规定 : x x , x S , y y , y R S
运算
2012-9-19
2012-9-19
( 2) ( a b ) ( a ) ( b )
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且
(1) (0 R ) 0 R
( 3) ( a ) ( ( a ))
x y (
1
( x )
1
1
( y '))
x y (
1
( x )
( y '))
例4 设环 R {( a , b ) | a , b Z }, ( a1 , b1 ) ( a 2 , b2 ) ( a1 a 2 , b1 b2 ),
Z /( p ) 是域 p 是素数. 定理9：
2012-9-19
练习： 求Z12的全部最大理想.
2012-9-19
n n
:R~ R
，则
( 2) ( a ) ( a )
(4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1 R (1 R ).
2012-9-19
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为4阶循环环，即 R {0, a , 2 a , 3 a } ，且 a 2 a . : n na , ( n Z ) Z ~ R
运算
2012-9-19
2012-9-19
( 2) ( a b ) ( a ) ( b )
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且
(1) (0 R ) 0 R
( 3) ( a ) ( ( a ))
x y (
1
( x )
1
1
( y '))
x y (
1
( x )
( y '))
例4 设环 R {( a , b ) | a , b Z }, ( a1 , b1 ) ( a 2 , b2 ) ( a1 a 2 , b1 b2 ),
Z /( p ) 是域 p 是素数. 定理9：
2012-9-19
练习： 求Z12的全部最大理想.
2012-9-19
n n
:R~ R
，则
( 2) ( a ) ( a )
(4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1 R (1 R ).
2012-9-19
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为4阶循环环，即 R {0, a , 2 a , 3 a } ，且 a 2 a . : n na , ( n Z ) Z ~ R
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
《近世代数》精品课程25页PPT
《近世代数》精品课程
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
上。——叔本华
谢谢！
25
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
上。——叔本华
谢谢！
25
近世代数课件--3.5子环、环的同态
R
S
R
S
数学与计算科学学院
S
2018/11/9
思路分析：
(1) 构造 R S ( R S ) ； (2) 作 R 到 R 的对应关系 : R R,并证明 是双射；
~ R; (3) 在 R 中定义两个代数运算，并证明 R （P99的引理）
(4) 证明 S R 。
（只需证明 S 原有的运算和 R 新定义的运算是一致的）
2018/11/9 数学与计算科学学院
上两例表明：一个环有没有零因子这个性质经 过了一个同态满射后不一定能保持的。 但若把同态换为同构的话，则这个环的代数性 质当然没有什么区别了，所以有：
~R ， 定理3：设 R和 R 是两个环 ，并且 R 那么若 R 是整环 （除环、域），则 R 也是整环（除环、域）。
(1) S包 含 非 零 元 ； （ ）为加群； 1）（S， ( 2)a , b S a b S； S为R的子除环 * （ ）为群。 ( 3)a , b S，b 0 a b1 S . 2）（S ， 数学与计算科学学院 2018/11/9
例8：设 R {(a, b) | a, b Z } ，R Z 。现定义 R 的运算：
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 )
(a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
（1）容易验证，R {(a, b) | a, b Z } 关于所定义的运算 构成一个环。 作
: R R, (a, b) a 。
（2）容易验证 是同态。 （3）可以看出 R Z 无零因子，而 R {(a, b) | a , b Z } 却有零因子，因为对于(a,0), (0, b) (0,0) ，我们有 (a ,0)(0, b) (0,0) 。 注：此例表明：R ~ R ，R 有零因子，但 R 却没有零因子。
近世代数简介ppt
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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《近世代数》PPT课件
定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律与交换律,那么在 a1a2 an中，元素的次序 可以调换.
例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律，
交换律？
(1) a b a b ab (适合结合律和交换律 )
(2) ab(ab)2 (适合交换律，但不适合结合律)
(3) aba (适合结合律，但不适合交换律 )
定义1.9.2 设 是集合 A的代数运算. 若 是 A到 A的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 A的一个自 同构 (自同态).
小结
同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来
比较两个代数结构的工具.
返回
在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的. 22
§1.10 等价关系与集合的分类
定义1.10.1 A设 是集合，D对，.错 一个 AA 到 D 的映射
注: 变换 是 A到A自身的一个映射.
小结
为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一
一映射和变换的概念.
返回
19
§1.8 同态
定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， : A A 是一个映
射,若 a,bA，有 (ab ) (a ) (b ),
则称 是 A到 A 的一个同态.
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 aA，
有 1(a)2(a), 则称 1 与 2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
例5 设 AB 为正整数集 ．
定义 1 : ; a1 1 ( a ) ， a ,
近世代数课件极大理想
个逆元,R是一个 域。证完..。
注： 由以上两个引理可以证明定理。
作业： P119：2，4
r b, r bI Ø J
由于 J 是理想，可以得到 r J, J = R，与假定不合。
引理 2 若R是有单位元的、可交换的非平凡环。如果 R只有零理想同单位理想，那么R一定是一个域。
证明 我们看R的任意 a 0. a 所生成的主理想 a 显
然不是零理想,于是由假定, a R 。因而R的单位1a 。但 a的元都可以写成 rar R的形式,所以
[r] 可逆.
R / I是一个域.
() 设 R / I是一个域, 理想 J 满足: I Ø J R . 我 们需要证明 J R .
取一个 a J , a I 那么 [a] [0], 可逆(??). 于是, 存在 [b] R / I 使得
[a][b] [ab] [1] ab 1 I 1 ab i(i I )
引理 1 假定 I R是环R的理想。剩余类环 R / I 只有
零理想同单位理想,当而且仅当 I 是最大理想。
证明 我们用 来表示R到 R / I 的自然同态满射。
充分性. 已知 I 是最大理想. 设 J是 R R / I 的理想，
并且 J 0
那么，J 在 这下的逆象 J 是R的理想，J 显然包含 I 而且不等于 I (??)，所以
p
is
a
prime
Q { b
a,b Z,b 0}
定义 一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最
大理想,假如，除了 R 同 I 自己以外，没有包含 A 的
理想。
最大理想有下面一些等价表述:
(1)一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最大理 想,如果存在理想 J满足: I J R , 那么 J I 或
注： 由以上两个引理可以证明定理。
作业： P119：2，4
r b, r bI Ø J
由于 J 是理想，可以得到 r J, J = R，与假定不合。
引理 2 若R是有单位元的、可交换的非平凡环。如果 R只有零理想同单位理想，那么R一定是一个域。
证明 我们看R的任意 a 0. a 所生成的主理想 a 显
然不是零理想,于是由假定, a R 。因而R的单位1a 。但 a的元都可以写成 rar R的形式,所以
[r] 可逆.
R / I是一个域.
() 设 R / I是一个域, 理想 J 满足: I Ø J R . 我 们需要证明 J R .
取一个 a J , a I 那么 [a] [0], 可逆(??). 于是, 存在 [b] R / I 使得
[a][b] [ab] [1] ab 1 I 1 ab i(i I )
引理 1 假定 I R是环R的理想。剩余类环 R / I 只有
零理想同单位理想,当而且仅当 I 是最大理想。
证明 我们用 来表示R到 R / I 的自然同态满射。
充分性. 已知 I 是最大理想. 设 J是 R R / I 的理想，
并且 J 0
那么，J 在 这下的逆象 J 是R的理想，J 显然包含 I 而且不等于 I (??)，所以
p
is
a
prime
Q { b
a,b Z,b 0}
定义 一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最
大理想,假如，除了 R 同 I 自己以外，没有包含 A 的
理想。
最大理想有下面一些等价表述:
(1)一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最大理 想,如果存在理想 J满足: I J R , 那么 J I 或
近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
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等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
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除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
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交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
近世代数ppt
8
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
特权福利
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
近世代数课堂PPT
4
但其中有一些可以通过旋转一个角
度或翻转180度使它们完全重合， 5 我们称为是本质相同的，我们要考
虑的是无论怎么旋转、翻转都不能
使它们重合的项链类型数。
1 8
7 6
28.07.2024
06:10
例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。
随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难， 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
学习近世代数的意义
由于近世代数在数学的其他分支、近代 物理、近代化学、计算机科学、数字通信、 系统工程等许多领域都有重要应用，因而它 是现代科学技术的数学基础之一，是许多科 技人员需要掌握的基本内容和方法，因此近 世代数也是数学专业的专业基础课之一。
28.07.2024
06:10
几个有趣的应用实例
28.07.2024
06:10
伽罗华（Évariste Galois，公元1811年~公元1832 年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学
家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所
有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根
数解（Solution by Radicals）的不可能性（其实当时 已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道）， 和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他已
图。 问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？
28.07.2024
06:10
5.开关线路的构造与计数问题 一个有两种状态的电子元件称为一个开关，
例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关 组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路 的两端也只有两种状态：通与不通。
近世代数课件-理想与商环
作业 p40,第 1-4 题;第 5,6 题.
2021/3/4
19
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2021/3/4
16
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§3 理想与商环
定义 3.6 我们将如上定义的环 (R / I, , ) 称为环 R 关于理想 I 的商环.
注意 我们已经约定,将环 R 的零元记作 0 .为了 避免记号上的混淆,我们将环 (R / I, , ) 的零元记作 0 . 根据环 (R / I, , ) 的零元的定义, 0 就是加群 (R / I, ) 的零元 I ,即 0 I .此外,如果环 R 有单位元1,那么 1 I 就是环 (R / I, , ) 的单位元.我们将环 (R / I, , ) 的单位元记作1.于是1 1 I .
为 R 的一个有限生成的理想;不致混淆时,可将 ({a1, a2 , , an}) 简记作 (a1, a2 , , an ) .
(3) 设 I 是 环 R 的 一 个 理 想 . 若 存 在 aI , 使 得 I (a) ,则称 I 为环 R 的主理想,并称 a 为理想 I 的一个
生成元.
2021/3/4
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
2021/3/4
7
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§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
ab a'b' a(b b') (a a')b' I , 因此 ab I a'b'I .这样一来,我们可以定义 R / I 上的 乘法“ ”如下:
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§3 理想与商环
定义 3.6 我们将如上定义的环 (R / I, , ) 称为环 R 关于理想 I 的商环.
注意 我们已经约定,将环 R 的零元记作 0 .为了 避免记号上的混淆,我们将环 (R / I, , ) 的零元记作 0 . 根据环 (R / I, , ) 的零元的定义, 0 就是加群 (R / I, ) 的零元 I ,即 0 I .此外,如果环 R 有单位元1,那么 1 I 就是环 (R / I, , ) 的单位元.我们将环 (R / I, , ) 的单位元记作1.于是1 1 I .
为 R 的一个有限生成的理想;不致混淆时,可将 ({a1, a2 , , an}) 简记作 (a1, a2 , , an ) .
(3) 设 I 是 环 R 的 一 个 理 想 . 若 存 在 aI , 使 得 I (a) ,则称 I 为环 R 的主理想,并称 a 为理想 I 的一个
生成元.
2021/3/4
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
2021/3/4
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§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
ab a'b' a(b b') (a a')b' I , 因此 ab I a'b'I .这样一来,我们可以定义 R / I 上的 乘法“ ”如下:
近世代数(抽象代数)课件
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§1 代数运算
· a1 a2 … an a1 a11 a12 … a1n a2 a21 a22 … a2n an an1 an2 … ann
其中, aia j aij A , i, j 1, 2, , n .
10
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§1 代数运算
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
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§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
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§1 代数运算
例 5 设 R 是实数集.则 R 上的加法“”适合 结合律、交换律和消去律; R 上的乘法“”适合结 合律和交换律,不适合消去律; R 上减法“-”不适 合结合律和交换律,但适合消去律.
注意: R \{0}上的乘法“”适合结合律、交换 律和消去律.
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
3
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
近世代数教学PPT课件
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
描述法:
如果一个集A是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质
来表示.
第18页/共187页
A {x | 1 x 1, x R } 表示一切大于-1且小于1
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第一章 基本概念
§1 集 合 §2 映射与变换 §3 代数运算 §4 运算率 §5 同态与同构 §6 等价关系与集合的分类
第15页/共187页
§1 集 合
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集， 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素.
我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的
第6页/共187页
阿贝尔
加罗华
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研 究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽 罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被 公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的 解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何 图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的 问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计 算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运 算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生 了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义 哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
近世代数课件 第11节 子环与理想
显然: 任一非零环R至少有两个理想：{0}和R.
10/27
近世 代数
真理想的定义
显然: 任一非零环R至少有两个理想：{0}和R.
教材中真理想的定义： 除了这两个理想之外，如果R还有其他的理想，
则称它为R的真理想.
!!教材中真理想的定义有误
真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称 为R的真理想。
的理想，且HN，则 N=R. 即R没有包含H且不等于
H的真理想.
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近世 代数
极大理想
例1 设p是一个素数，则由p生成的主理想(p)是整数环 Z的极大理想.
说明：(1)如果环R有极大理想，则未必唯一，甚至可 能有无穷多个.
(2)一个环可能没有极大理想。但有下面的命题:
命题 含单位元的交换环R(|R|≥2)一定有极大理想.
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近世 代数
极大理想
由(交换)环得到域的方法之一：利用极大理想的方法
定义1 环R的理想H称为R的极大理想，如果H是R的真 理想，且R不存在真理想N使得H N.
定义1’ 环R的一个不等于R的理想H称为R的极大理 想，如果除了R同H自己以外，没有包含H的理想.
定义1” 环R的真理想H称为R的极大理想，如果N是R
注：教材P418 定理13.3.2中的同态，是指满同态。
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近世 代数
环的同态基本性质
定理3 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。 f是从R1到 R2的满同态，01和02分别是R1与R2的零元，则f -1(02) 是R1的一个理想.
定义2 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。 f是从R1到 R2的满同态，01和02分别是R1与R2的零元， R1的理 想f -1(02)称为f的核，记为Kerf.
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I是R的一个理想，则 R/I是一个域 I是最大理想。
p 是素数. Z /( p ) 定理9： 是域
2015-3-10
练习： 求Z12的全部最大理想.
2015-3-10
( : a ker (a) )
2015-3-10
例5
Z[ x] / ( x 1) Z[i]
2
（ : f ( x) f (i)
Z[ x ] ~ Z[i ]
Ker ( x 2 1)
）
定理7
子环与理想在同态满射之下不变.
2015-3-10
三、最大理想 定义3：一个环 R 的一个不等于 R 的理想 I 叫做 一个最大理想，假如， 除了 R 同 I 自己以外，没有包含 I 的理想. 例6： 求整数环的所有最大理想. 所有理想：
2015-3-10
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为4阶循环环，即 R {0, a, 2a, 3a} ，且 a 2 a .
: n na, (n Z ) Z~R 2 2a 2a 4a 4a 0 R 有零因子， Z 无.
2015-3-10
例2
做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而
又令 S {( a, 0) | a Z }
SZ
Z
((a, 0) a) ( R S)
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
2015-3-10
二、环同态基本定理 定理 5 R ~ R / I （ :aa I ） 定义2 设 为环 R到R 的同态,称集合 Ker {a R | (a) 0} 为同态 的核. 定理6（环同态基本定理）设 为环 R到R 的同态满射,则 (1) Ker为R的理想; ( 2) R / Ker R
( d ) dZ , d 0
是素数.
(d )
是最大理想
d
2015-3-10
引理 剩余类环R/I只有平凡理想 I是最大理想. 引理2：如果一个有单位元的交换环R 只有平凡理想， 那么R一定是一个域.
引理1：假定 I≠R 是环 R 的理想，
2015-3-10
定理8：假定R是一个有单位元的交换环，
2015-3-10
x y ( 1 ( x) 1 ( 1 ( y '))
例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
(1) (a b) (a) (b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
2015-3-10
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) (a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
近世代数
第三章 环与域 §5 环的同态、最大理想
2015-3-10
一、环同态的定义与性质 定义1 设 R和R 是两个环, 是集合 R到R 的映射.如果对任意的 a, b R ,有 ，则称 为环 R到R 的一个同态. 如果 为满映射,则称 为满同态, 记作 : R ~ R ,并称 R与R 同态.
R {(a, b) | a, b Z }, (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
R~ Z
( a, 0)(0, b) (0, 0)
，故 R 有零因子, Z 无. 注：同态环有无零因子不具传递性； 同态环性质不完全传递； 但是同构环性质完全相同.
2015-3-10
定理3 若 R 与 R 是环，且 R R ，则
R 是无零因子环（整环、除环、域）
R 是无零因子环（整环、除环、域）
2015-3-10
定理4（环的挖补定理） 设 S 为环 R 的子环，且 S 与环 S 同构， 即 R S S ，又若 S ( R S ) ，即 S 与 S 在 R 里的余集无公共元素，则存在 环 R ,使 R R ， S R. 证明: 令 S {a, b, }, S {a , b , }, x x , R S {u, v, } R S ( R S ) {a, b, } {u, v, } 令 R S ( R S ) {a , b , } {u, v, } 规定 : x x , x S , y y, y R S 运算
p 是素数. Z /( p ) 定理9： 是域
2015-3-10
练习： 求Z12的全部最大理想.
2015-3-10
( : a ker (a) )
2015-3-10
例5
Z[ x] / ( x 1) Z[i]
2
（ : f ( x) f (i)
Z[ x ] ~ Z[i ]
Ker ( x 2 1)
）
定理7
子环与理想在同态满射之下不变.
2015-3-10
三、最大理想 定义3：一个环 R 的一个不等于 R 的理想 I 叫做 一个最大理想，假如， 除了 R 同 I 自己以外，没有包含 I 的理想. 例6： 求整数环的所有最大理想. 所有理想：
2015-3-10
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为4阶循环环，即 R {0, a, 2a, 3a} ，且 a 2 a .
: n na, (n Z ) Z~R 2 2a 2a 4a 4a 0 R 有零因子， Z 无.
2015-3-10
例2
做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而
又令 S {( a, 0) | a Z }
SZ
Z
((a, 0) a) ( R S)
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
2015-3-10
二、环同态基本定理 定理 5 R ~ R / I （ :aa I ） 定义2 设 为环 R到R 的同态,称集合 Ker {a R | (a) 0} 为同态 的核. 定理6（环同态基本定理）设 为环 R到R 的同态满射,则 (1) Ker为R的理想; ( 2) R / Ker R
( d ) dZ , d 0
是素数.
(d )
是最大理想
d
2015-3-10
引理 剩余类环R/I只有平凡理想 I是最大理想. 引理2：如果一个有单位元的交换环R 只有平凡理想， 那么R一定是一个域.
引理1：假定 I≠R 是环 R 的理想，
2015-3-10
定理8：假定R是一个有单位元的交换环，
2015-3-10
x y ( 1 ( x) 1 ( 1 ( y '))
例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
(1) (a b) (a) (b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
2015-3-10
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) (a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
近世代数
第三章 环与域 §5 环的同态、最大理想
2015-3-10
一、环同态的定义与性质 定义1 设 R和R 是两个环, 是集合 R到R 的映射.如果对任意的 a, b R ,有 ，则称 为环 R到R 的一个同态. 如果 为满映射,则称 为满同态, 记作 : R ~ R ,并称 R与R 同态.
R {(a, b) | a, b Z }, (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
R~ Z
( a, 0)(0, b) (0, 0)
，故 R 有零因子, Z 无. 注：同态环有无零因子不具传递性； 同态环性质不完全传递； 但是同构环性质完全相同.
2015-3-10
定理3 若 R 与 R 是环，且 R R ，则
R 是无零因子环（整环、除环、域）
R 是无零因子环（整环、除环、域）
2015-3-10
定理4（环的挖补定理） 设 S 为环 R 的子环，且 S 与环 S 同构， 即 R S S ，又若 S ( R S ) ，即 S 与 S 在 R 里的余集无公共元素，则存在 环 R ,使 R R ， S R. 证明: 令 S {a, b, }, S {a , b , }, x x , R S {u, v, } R S ( R S ) {a, b, } {u, v, } 令 R S ( R S ) {a , b , } {u, v, } 规定 : x x , x S , y y, y R S 运算