近世代数课件--2.3理想与商环

出 ,作为加群, Z / n Zn . 因此 ,作为加群,我们有 Z /(n) Zn .此 外,对于任意的 [a], [b] Z n ,我们有
[a] a n a (n) , [b] b n b (n) ,
从而,
[a] [b] [ab] ab n ab (n) (a (n)) (b (n)) .
R 是环 Z 的子环,它没有单位元. Z 的平凡子环 {0} 以
0 为自己的单位元, {0} 是环 R 的子环.
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§3
定义 3.2 件:
理想与商环
设 R 是一个环, I 是 R 的一个非空子集.
(1) 我们称 I 是环 R 的一个 左 ( 右 ) 理想 , 是指 I 满足条 Ⅰ. I 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ra I (相应地, ar I ), r R , a I . (2)我们称 I 是环 R 的一个(双侧)理想,是指 I 既是环 R 的左理想,又是环 R 的右理想. (3)凡是由 R 的真子集构成的 R 的左( 右,双侧)理想都 称为环 R 的真左(右,双侧)理想.
设 R 是一个环, I 是 R 的非空子集.则 I
为环 R 的理想的充分必要条件是: Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , a I .□
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§3
理想与商环
命题 3.4
R 的理想.
这就是说,商环 Z /(n) 的乘法与模 n 剩余类的乘法是一致的.所以 商环 Z /(n) 就是模 n 剩余类环 Z n .
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§3 理想与商环
命题 3.7 的理想; (2)若 L 是环 R / I 的一个理想,则存在 R 的一个理想 J , 使得 I J ,并且 L J / I .□ 设 R 是一个环, I 是环 R 的一个理想.
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§3
注意
理想与商环
(1)若 R 是一个环, R ' 是 R 的一个非空子集,则
R ' 是 R 的子环
a b, ab R' , a, b R' ,并且
R ' 关于 “” 和 构成一个环 “”
a b, ab R' , ab R ' .
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§3 理想与商环
例 4 设 n 是一个正整数 , n 是 n 生成的加群 (Z, ) 的子
群 , ( n) 是 n 生 成的环 (Z, , ) 的 理 想 . 例 2 中已 经指出 , 加群
((n), ) 与加群 ( n, ) 是同一个群. 其次,在第一章§ 5 中已经指
§3
最后,显而易见,
理想与商环
I I {0} I J , J {0} J I J ;
对于环 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,由 I 和 J 都是加群 K 的子集可知 I J K . 所以 I J 是环 R 的包含 I 和 J 的最 小理想.□
有了命题 3.4(1),我们可以引入如下定义:
定义 3.5 (1)设 R 是一个环.对于 R 的任意非空子集
S ,我们将环 R 的包含 S 的最小理想称为环 R 的由 S 生成
的理想,记作 ( S ) .
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§3
理想与商环
(2) 设 I 是环 R 的一个理想 .若 S 是 R 的非空子集 , 使得 I ( S ) ,则称 S 为理想 I 的一个生成集 .若存在 R 的 有限子集 {a1 , a2 , , an } ,使得 I ({a1, a2 , , an }) , 则称 I 为 R 的 一个有限生成 的理想;不致 混淆时,可将 ({a1, a2 , , an }) 简记作 (a1 , a2 , , an ) . (3) 设 I 是 环 R 的 一 个 理 想 . 若 存 在 a I , 使 得 I (a) , 则称 I 为环 R 的主理想, 并称 a 为理想 I 的一个 生成元.
（a I ) (b I ) ab I , a, b R .
显而易见 , R / I 上的乘法对 R / I 上的加法适合分配律 . 所以 ( R / I , , ) 是一个环.
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§3 理想与商环
定义 3.6 我们将如上定义的环 ( R / I , , ) 称为环
u a b ,其中 a I , b J .于是, ra, ar I , rb, br J ,从而,
ru r (a b) ra rb I J ,
ur (a b)r ar br I J .
因此 I J 是环 R 的理想.
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(n) nZ {nk | k Z} n ,
因此,对于任意的整数 n ,我们有 其中 n 表示 n 生成的整数加群 (Z, ) 的子群 . 由此可见 ,加 群 ((n), ) 与加群 (n, ) 是同一个群.
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§3 理想与商环
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第二章
环
论
2015-3-3
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目
§1 环的概念
录
§2
§3 §4 §5 §6
多项式环
理想与商环 环的同态 交换环 整环的因子分解
§7 唯一分解环上的多项式环
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§3
理想与商环
设 R 是一个环 , S 是 R 的一个非空子集 . 如果 S 关于环
设 R 是一个环 , I 是环 R 的一个理想 .由于 I 是环 R 的 加群的正规子群,因此我们可以谈论商群 ( R / I , ) ,其中
R / I {a I | a R} .
当然, ( R / I , ) 是交换群.
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§3 理想与商环
§3 理想与商环
(3)若 R 是交换环,则对于任意的 a R ,
(a) {ra na | r R, n Z} ;
若 R 是一个有单位元的交换环,则对于任意的 a R ,
(a) aR {Βιβλιοθήκη Baidur | r R} .
Δ
例 2
考察整数环 (Z, , ) .由于它是有单位元的交换环.
现 在 考 察 R / I . 对 于 任 意 的 a, a' , b, b' R , 若
a I a ' I 且 b I b' I ,则 a a ' I 且 b b' I ,从而,
ab a' b' a(b b' ) (a a' )b' I ,
因此 ab I a' b' I . 这样一来 , 我们可以定义 R / I 上的 乘法 如下: “”
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§3 理想与商环
注意 (1)与群的情形类似,一个环 R 的任意两个互不
包含的子环(理想)的并不再是环 R 的子环(相应地,理想). (2)由命题 3.4 可知,对于一个环 R 的任意有限个理想, 譬如, I1 , I 2 , , I n ,我们有
R 关于理想 I 的商环.
注意
我们已经约定 , 将环 R 的零元记作 0 . 为了
避免记号上的混淆,我们将环 ( R / I , , ) 的零元记作 0 . 根据环 ( R / I , , ) 的零元的定义 , 0 就是加群 ( R / I , ) 的零元 I , 即 0 I . 此外 , 如果环 R 有单位元 1 , 那么 1 I 就是环 ( R / I , , ) 的单位元 . 我们将环 ( R / I , , ) 的单位元记作 1 .于是 1 1 I .
(2)环 R 的任意子环 R ' 的零元就是环 R 的零元;子环 R ' 中任意 元素 a 在 R ' 中的负元就是 a 在 R 中的负元. (3) 任何环 R 都有子环 , 例如, {0} 和 R . {0} 和 R 都称为环 R 的 平凡子环. 若 R ' 是环 R 的子环并且 R ' 是 R 的真子集 , 则称 R ' 为环 R 的 真 子环.
设 R 是一个环.
(1) 若 {I α }αΑ 是环 R 的一族理想 , 则 αΑ I α 也是环 (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
I J {a b | a I , b J }
也是环 R 的理想,而且是环 R 的包含 I 和 J 的最小理想, 也 就 是 说 , 对于 R 的 任 何 包 含 I 和 J 的 理 想 K , 总 有
从而,
ra, ar αΑ I α .
所以 αΑ I α 是环 R 的理想.
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§3
理想与商环
(2)设 I 和 J 都是 R 的理想. 首先, I 和 J 都是环 R 的加群的子群.由于交换群的子群 都是正规子群,因此根据第一章§5 习题第 6 题可知, I J 环 R 的加群的子群. 其次,考察任意的 r R 和任意的 uI J :不妨设
R 的加法 “” “” 和乘法 都封闭 , 那么 , 将 和 限制在 “” “”
“” S 上,便得到 S 上的加法 和乘法 .显然,作为 S 上加法 “”
“” “” 和乘法, 对 仍适合分配律.
定义 3.1 设 R 是一个环, R ' 是 R 的一个非空子集.我们 称 R ' 是环 R 的一个子环,是指 R ' 满足如下条件: Ⅰ. R ' 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ab R ' , a, b R' ,即 R ' 关于环 R 的乘法 封闭. “”
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理想与商环
注意 (1)环 R 的左理想和右理想都是环 R 的子环. (2) 任何环 R 都有理想 , 例如 , {0} 和 R , 它们分别称 为环 R 的零理想和单位理想,统称为环 R 的平凡理想. 没有非平凡的理想的环都称为单环.
命题 3.3
( n k 1 I k ) I1 I 2 I n ;
对于一个环 R 的任意有限个元素 ,譬如, a1 , a2 , , an , 我们 有
(a1, a2 , , an ) (a1 ) (a2 ) (an ) .
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IJ K.
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§3
理想与商环
证明
(1)设 {I α }αΑ 是 R 的一族理想.于是, αΑ I α
是 加 群 ( R, ) 的 子 群 . 对 于 任 意 的 r R 和 任 意 的
a αΑ I α ,我们有 ra, ar I α , α Α ,
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理想与商环
下面的一些例子告诉我们,当 R ' 是一个环 R 的子 环时 , R 有单位元 , 不意味着 R ' 有单位元 ; 即使子环
R ' 有单位元 , 子环 R ' 的单位元未必就是环 R 的单位
元;环 R 没有单位元不意味着其子环 R ' 一定没有单位 元. 例 1 整数环 Z 有单位元 1 .令 R 表示偶数环.则
例3 考察偶数环 ( R, , ) .由于它是交换环.因此,对于
nR {nr | r R} {2nk | k Z} .
任意的非零偶数 n ,我们有 显然 , nR 是偶数环 R 的理想 , 但 n nR . 因此 (n) nR . 事实 上, R 的由 n 生成的主理想为 (n) {nk | k Z}.