结构力学(虚功基本知识和结构位移计算)

解：在载荷作用下，
刚架的 M P 图如图所示，
状态I
BC梁
MP
1 qx2 2
AB柱
MP
1 qa2 2
<1>求C点的水平位移，可在C点加一单位力
得状态II，M K 图 状态II
BC梁 M K 0
AB柱 M K x
代入位移公式，得：
c
MPMK EI
ds
0
a
0
x( 1 qa2 ) 2 EI
三、几种类型的虚拟状态 求线位移： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力。
求转角、相对转角： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。
1) 若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方 向加一单位力，如图示
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
二、变形体位移计算的步骤： 1、沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载 2、确定单位荷载下的结构内力 M、 N、 Q 和支反力R 3、利用公式计算拟求位移Δ
注：1、Δ是广义位移
2、应用单位荷载法每次只能求得一个位移 3、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明
实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反
3、位移产生的原因
（1）、结构 荷载作用 内力
应变
变形
结构上各点位置发生变化
（2）、结构
非荷载作用
温度改变、支座移动、 材料涨缩、制造误差
位移
虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。
4、结构位移
变形(deformation) －－结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变； 由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法 几何法
MPMK EI
ds
NPNK EA
ds
kQPQK GA
ds Rc
KP
MPMK EI
ds
NPNK EA
ds
kQPQK GA
ds Rc
此即为由虚功原理得到的计算结构位移的一般公式 (称单位载荷法)
它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。
虚拟状态中的单位力为所计算位移相应的广义力。
FN , FNP — —以拉力为拉
FQ ,FQP — — 以使微段顺时针转动为正
M , M P — —两者使杆件同侧纤维受 拉时时其乘积取正
二、各类结构的位移公式
1）梁和刚架 MM P ds EI
2）桁架
FN FNP ds EA
3）桁梁混合结构 MMP ds FNFNP ds
dx
qa4 4EI
<2>求C点的角位移， 可在C点加一单位弯矩, 如图示.
其计算方法与(1)相同
例2. 计算桁架结点C 的竖向位移，设各杆EA都相同。
解 1)、分析内力：
D
A
本问题因为桁架与载荷均对称，
第四章
虚功原理和结构位移计算
Computation of displacemen of structure
主要内容
§4－1 结构位移概念 §4－2 刚体体系虚功原理及其应用
§4－3 变形体结构位移计算一般公式 §4－4 荷载作用下的位移计算及举例 §4－5 图 乘 法 §4－6 温度作用时的位移计算 §4－7 互等定理 §4－8 小 结
特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。 适用范围： 刚体体系的位移计算，
变形体体系的位移计算问题。
2、支座位移时静定结构的位移计算 虚设单位荷载的目的 使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力
即：单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。
例1 : 如图示梁在支座A有竖向位移cA，拟求
(1) C点的竖向位移ΔC;
(2)再设其产生I 的位移： 即，将结构的实际位移作为 状态II的虚位移
根据虚功原理和 PK 1 得：
1KP Md Ndl Qg ds Rc
1KP Md Ndl Qg ds Rc
d M ds ， dl N ds ， g ds kQ ds
EI
EA
GA
KP
(2)利用虚功原理， 结构有变形又要有力系。
求结构变形，须有平衡力系 虚功原理中， 作功力系与位移可以彼此无关， 二者之一可以虚设。
见图(b) 状态II
表示虚拟状态，沿K-K’方向作用 PK 1 虚拟力引起的内力为 NK , M K , QK 求 KP
(1)先设刚架处于II： 内力，外力满足平衡条件
AB段： BC段：
M P qx12 2
M P ql 2 2
（3）将以上弯矩表达式代入求位移公式
AV
M K M P ds EI
l 0
1 EI
( x1 )(
qx12 2
)dx1
l1
ql 2
5 ql4
( l )( 0 EI
2
)dx2 8 EI ()
例2，计算图示刚架C端的水平位移和角位已移知EI为常数。
M FN FQg 0 ds FRKck
• 其中 M、FN、FQ、FRK ----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、、g 0、ck •----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 KP
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
A RK Ca
[( 1 0.03) ( 1 0.05)]
6
10
0.01rad.()
3. 局部变形时刚体体系的位移计算公式
图示悬臂梁B点附近的微段ds 有局部变形．
轴向伸长应变ε
微段局部变形包括 平均剪切应变γ 轴线曲率为k
求A点沿 α 方向的位移分量 dΔ 思 路：
相对轴向位移 首先 相对剪切位移
相对转角
dλ＝εds
dη= γ ds dθ= k ds = ds/R
BC C1
s ds
dl
gds
d
α
A dΔ
A1
其次：将微段变形集中化，即ds 0
B截面发生集中的相对位移dλ、 d η 、 dθ 最后：应用刚体虚功原理，得
P=1 α
B A
Ｍ ＱＮ
—
—
—
dΔ M dθ Q dη N dλ
虚设单位力在截面B处引 起的弯矩、剪力、轴力
φ
4）、各种位移举例
绝对位移 (Absolute displacement)
相对位移
Relative displacement
△CD= △C+ △D
一般而言，位移有其产生的原因和所在结构部位和方向。
位移用Δ表示.
第一角标：位移的地点和方向 双角标表示
第二角标：产生该位移的原因
A
i Δij
j Pj
FNP ε EA
k
FQP GA
γ
0
FNds FQg 0ds Mds
MM P ds FN FNP ds kFQFQP ds
EI
EA
GA
MM P ds FN FNP ds kFQ FQP ds
EI
EA
GA
式中
M, FN , FQ－－是实际荷载引起的内力
P
A
D
虚功的计算式为：
T P
力 A 虚功的两因素: 相应的位移
4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：
（1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，应满足 静力平衡条件．
（2）虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，应满足 变形协调条。
(3)、虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的 功，以计算结构的未知位移(如挠度、转角等).
已知：支座A移动位
移c1，求
解： 因位移状态给定 故用虚力原理
A' c1
A
虚设一单位力，如图(b)示
由平衡条件知：
A
R1
b 未知力与已知力 a 之间的几何方程
由虚功方程：
R1
C
a
b
图（a）
C
图（b）
Δ
1
c1
b a
0
即
Δ
c1
•
b a
B
B'
P=1 B
应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单 位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 R1 这种解法称为单位荷载法。
EI
EA
4）拱
MMP ds FNFNP ds
EI
EA
三、位移计算举例
例题1 试求图示刚架A点的竖向位移AV。各杆材料 相同，截面抗弯模量为EI。
解：（1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出 弯矩表达式
AB段： M K x1
BC段： M K l
（2）荷载作用下（图1）的弯矩表达式
1）、线位移
水平线位移： H
铅直线位移： V
2）、角位移：
3）、位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。 上述各种位移统称为“广义位移”。 与广义位移相对应的力称为“广义力”。
在梁和桁架中，垂直方向位移称为挠度(deflection) 在刚架中，结点水平方向位移称为侧移
在超静定刚架中，荷载作用下， 结点不仅有角位移，同时有侧 移现象。如图示
１．沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，求出单位 荷载下的支座反力FRK.得到虚设的平衡力系。
2.令虚设力在 实际位移上作虚功，写出虚功方程
1 Δ F RK cK 0
3. 求拟求位移为：
Δ F RK cK
例2：已知B截面处有相对转角θ，拟求A点的竖向位移Δ。
分析： 1）等效图（b） 2) 虚设P=1
B
Δij－－由于作用于j点确定方向的力Pj所引起的i点在某 确定方向的位移
柔度δ(Flexibility )－－单位力所引起的位移
A
i
δij
j Pj=1
B
δjj
δjj －－直接柔度 δij －－间接柔度
δjj >0
>0 δij <0
=0
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
(a)
(2) 杆CD的转角β.
解: (1)在Ｃ点加一竖向
Ｐ＝１，图(b)示:
(b)
(２)在ＣＤ杆上一力偶
Ｍ＝１，图(Ｃ)示:
列虚功方程：
(c)
ΔC
1
cA
1 3
0
β
１
cA
1 2l
0
解得：
ΔC
1 3
cA
β
1 2l
cA
所得位移为正，表明 与单位荷载方向一致
小结：支座K有给定位移cK时静定结构的位移计算步骤
(4)、虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功， 以计算结构的未知力(如支座反力等).
二、刚体虚功原理 理论力学 质点、质点系虚功原理
刚体虚功原理：刚体平衡的充要条件是作用于刚体上 的外力在刚体的任何虚位移上所作的虚功总和为零。即：
W外＝0
1、虚力原理 ( Virtual force theory ) 以图(a)示静定梁为例说明虚力原理
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在 该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个 截面上加两个方向相反的单位力偶。
§4-4 荷载作用下的位移计算及举例
一、荷载作用下内力和变形的关系
FP M P , FNP , (M k Q γ N ε)ds
局部变形的位 移计算公式
§4-3变形体结构位移计算一般公式
一、公式
—
—
—
dΔ (M k Q γ N ε)ds
支座
Δ dΔ (M k F N ε F Q γ0 )ds
位移
Δ
Mdθ FN du FQdυ FRK ck
§4-1 结构位移概念
• 1、工程结构在荷载作用、温度变化、材料收缩和支座移 动等因素下：
• 结构的形状一般会发生变化-变形(或形变) • 结构的截面位置会发生变化-位移(线位移或角位移)
2、结构位移计算的目的
(1)验证结构的刚度
(２)为超静定结构的内力分析打下基础．
（３）为研究结构动力计算和稳定分析的打基础 在结构的制作、架设、养护等过程中，往 往需预先知道结构的变形情况，以便采取 相应的措施（如图），以消除位移的影响
M 1.a
3) 虚功方程
1 Δ Mθ 0
所以
Δ Mθ aθ
图（a） 图（b） 图（c）
例题3 三铰刚架，支座B发生如图所示的位移,a=5cm, b=3cm,
l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。
-5
（图1）
（图2）
解：思路:沿拟求位移方向上加单位力（图2），求出支座
反力后依求位移公式计算位移：
单位荷载法
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。