人教版 高中数学 选修2-2 课时作业10

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课时作业(十)

一、选择题

1．函数f (x )＝x 3

－3x (－1

答案 C

2．函数y ＝x 2

＋x 在区间[－1,0]上的最小值是( ) A ．0 B ．－14

C.12 D ．－2

答案 B

解析 y ＝(x ＋12)2－14，对称轴x ＝－1

2∈[－1,0]，

∴y min ＝－1

4

.

3．函数f (x )＝x (1－x 2

)在[0,1]上的最大值为( ) A.23

9 B.229

C.

32

9

D.38

答案 A

解析 f ′(x )＝1－3x 2

，令f ′(x )＝0，得x ＝±33

. ∵f (0)＝0，f (1)＝0，f (33)＝239，f (－33)＝－239

， ∴f (x )max ＝23

9

.

4．函数y ＝x 3

3＋x 2

－3x －4在[0,2]上的最小值是( )

A ．－173

B ．－103

C ．－4

D ．－643

答案 A

解析 y ′＝x 2

＋2x －3，

令y ′＝0，得x ＝－3或x ＝1，∵x ∈[0,2]，∴x ＝1. ∵f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－10

3，

∴y min ＝－17

3

，选A.

5．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )

A ．f (a )－g (a )

B ．f (b )－g (b )

C ．f (a )－g (b )

D ．f (b )－g (a )

答案 A

解析 令h (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[a ，b ]， 则h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0. ∴h (x )是[a ，b ]上的减函数．

∴h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max ＝f (a )－g (a )．故选A. 二、填空题

6．函数f (x )＝x ＋3

x

在[2，＋∞)上的最小值为________．

答案 72

7．已知a >0，函数f (x )＝x 3

－ax 在[1，＋∞)上是单调函数，则a 的最大值是________． 答案 3

8．函数f (x )＝ax 4

－4ax 3

＋b (a >0)(x ∈[1,4])的最大值为3，最小值为－6，则ab ＝________.

答案 1

9．若不等式x 4

－4x 3>2－a 对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是________． 答案 (29，＋∞)

10．f (x )＝2x 3

－6x 2＋m 在[－2,2]上有最大值3，则f (x )在[－2,2]上的最小值为________． 答案 －37

解析 f ′(x )＝6x 2

－12x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2. ∵f (－2)＝m －40，f (0)＝m ，f (2)＝m －8，∴m 为最大值． 又最大值为3，∴m ＝3，∴最小值为f (－2)＝－37. 三、解答题

11．已知函数f (x )＝12

x 2

＋ln x .

(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的最大、最小值；

(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像在函数g (x )＝23x 3

图像的下方．

解析 (1)由已知f ′(x )＝x ＋1

x

，

当x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，

所以函数f (x )在区间[1，e]上单调递增．

所以函数f (x )在区间[1，e]上的最小、最大值分别为f (1)、f (e)．

因为f (1)＝12，f (e)＝e 2

2＋1，所以函数f (x )在区间[1，e]上的最大值为e

2

2＋1，最小值为

1

2

. (2)设F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2

＝

－x ＋x ＋2x

2

x

.因为x ＞1，

所以F ′(x )＜0.

所以函数F (x )在区间(1，＋∞)上单调递减， 又F (1)＝－1

6

＜0，

所以，在区间(1，＋∞)上F (x )＜0， 即12x 2＋ln x ＜23

x 3. 所以函数f (x )的图像在函数g (x )＝23x 3

图像的下方．

12．已知a 是实数，函数f (x )＝x 2

(x －a )．

(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值． 解析 (1)f ′(x )＝3x 2

－2ax ， 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0. 又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 3x －y －2＝0.

(2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a

3.

当

2a

3

≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而