初中数学竞赛：函数的最大值与最小值
初中数学最小值问题知识点
初中数学最小值问题知识点初中数学中，最小值问题是一个重要的应用题类型，涉及到函数的图像、方程的解、不等式和最优化等知识点。
下面是对初中数学中最小值问题的相关知识点进行详细介绍。
一、函数与图像1.函数的定义函数是一种特殊的关系，将每个自变量映射到唯一的因变量上。
函数可以用符号表示，例如：y=f(x)。
2.函数的图像函数的图像是函数在坐标平面上的表现形式。
通过绘制函数的图像，可以更直观地了解函数的性质和特点。
3.最小值与最大值在函数的图像上，最小值是指函数曲线上的最低点，而最大值是指函数曲线上的最高点。
二、方程与不等式1.方程的解方程是等式的一种特殊形式，它包含一个或多个未知数，并要求找到使方程成立的未知数的值，这些值被称为方程的解。
2.不等式的解不等式是表示两个数之间大小关系的数学句子，它使用不等号（<、>、≤、≥）来表示。
不等式的解是使不等式成立的数值范围。
3.方程与不等式的应用在最小值问题中，我们通常需要建立一个方程或不等式，然后通过求解方程或不等式的解来找到最小值的条件。
三、最优化问题1.最优化问题的定义最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找使目标函数取得最大值或最小值的数学问题。
2.最小值问题的处理方法在最小值问题中，我们可以采用以下几种方法：-利用函数的性质和图像进行分析，找到可能的最小值点；-求解相关的方程或不等式，确定最小值的条件；-运用导数和极值的概念，找到最小值点。
3.最小值问题的应用最小值问题在实际生活中有广泛的应用，如最小成本问题、最短路径问题、最小时间问题等。
通过数学建模和求解最小值问题，可以帮助我们做出最优的决策。
四、相关知识点1.导数的概念导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。
导数可以帮助我们分析函数的增减性和极值点。
2.极值与最小值在数学中，极值是指函数的最大值或最小值点。
最小值是指函数曲线上的最低点，它可以通过导数和二次判别式等方法来求解。
二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体,因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家参考.一、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题抛物线y ＝ａｘ2+b ｘ＋c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a >0向上，a ＜0向下；常数项ｃ描述抛物线与y 轴的交点（0，ｃ)，c >0时交点处x 轴上方，c <0时交点处x 轴的下方,c =0时时处原点;由对称轴公式x =－ab2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b ２-4a ｃ大于0,等于0或小于0，决定抛物线和ｘ轴交点的个数,等等.上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如x =±１时ｙ的值的情况,来确定a ±b +c 等的符号问题．例１ 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(４,－11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a 、b 、c 中为正数的( )A 、只有a ﻩﻩB 、只有bC 、只有c ﻩＤ、有ａ和ｂ解：由顶点为（４,-11），抛物线交ｘ轴于两点,知ａ>0.设抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为ｘ1,x 2，即x １、x 2为方程ax 2+b ｘ＋c =0的两个根，由题设ｘ1x ２＜0知a c <0,所以c <0，又对称轴为ｘ=4知－ab2>０，故ｂ＜0.故选（A)． 二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数ａ、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2 已知二次函数f (x )=a ｘ2+b ｘ+ｃ的系数a 、b 、c 都是整数,并且f (19)=ｆ（99)=1999,|c |<1000，则c = .解：由已知f (ｘ)＝ax ２+bx+c ，且ｆ(19)=f (９9)=１99９，因此可设ｆ(ｘ)=a (x －１9)（ｘ－9９）+19９９,所以a ｘ2+bx+c =a （x -19)(x -99)+1999=ａx 2－(19+99)x +1９×99a ＋1999,故c ＝1999+1881ａ.因为｜ｃ|<1000,a 是整数，a ≠０,经检验,只有a =-1满足，此时c =１999-18８1=1１8．例３ 已知a,ｂ，c 是正整数,且抛物线y ＝ａx ２+bx+c 与x 轴有两个不同的交点Ａ，B,若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值.解:设A 、B 的坐标分别为A(x １，0),Ｂ(x ２，０)，且ｘ1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx+ｃ＝0的两个根．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x ２<０ 又由题设可知△=b 2-4ac >０，∴b >2ac ① ∵|OA|=|x 1|＜1,|OB|=｜x ２|<1,即－1<x 1,x 2<0, ∴ac=x １x 2<1,∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当ｘ=－１时y >0， ∴a （－１)2+b (-1）＋c >０,即a ＋ｃ>ｂ． ∵b ,a +ｃ都是整数,∴a+c ≥b +1 ③ 由①,③得a+ｃ>2ac +1,∴(c a -)2>1，又由②知,c a -＞1,c a >＋1，即ａ＞(c +１)2≥（1+1)2＝4∴ａ≥５，又b ＞２ac ≥215⨯＞4,∴ｂ≥5 取a =5，b =5,c =1时，抛物线y ＝5x 2+5x ＋1满足题意. 故a+b ＋c 的最小值为5+5+1=11． 三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a 、b 、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a 、b 、c 建立联系．例4 如果y =ｘ2-(ｋ－1)x -k －1与ｘ轴的交点为A,Ｂ,顶点为C ，那么△ＡB Ｃ的面积的最小值是( )Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４解：由于△=(k －1)2＋４(k ＋1）=（k +1）2+4＞０,所以对于任意实数k ,抛物线与x 轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x 1,x 2，则：｜AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c 坐标是(452,212++--k k k ）, 因此Ｓ△ＡB Ｃ=52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k 因为k ２＋2ｋ+5＝（k +1)2＋4≥4，当k =－1时等于成立， 所以，S △AＢC ≥14813=,故选A. 四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值）．如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值.例5 已知二次函数y=x ２-x -2及实数ａ>－２.（1)函数在－２<x ≤a 的最小值; (2)函数在a ≤x ≤a ＋2的最小值. 解：函数y ＝x ２-x -2的图象如图1所示.(1）若－2＜a <21,当x ＝a 时,ｙ最小值=a 2-a －2若a ≥21，当x ＝21时,y 最小值=－49.(2)若－2<ａ且ａ+2<21，即-2<a <－23,当x ＝a +２时，ｙ最小值=（a +２）2-(a +2)－2=a ２+3a ，若a <21≤a +２,即-23≤ａ＜21，当ｘ=21时,y 最小值=-49．若a ≥21，当x =a 时,ｙ最小值=a 2－a -2．例6 当|ｘ+１｜≤６时,函数y ＝x |x |-2x +１的最大值是 . 解：由|x +1|≤６,得－７≤x ≤５,当0≤x ≤5时，y ＝x 2－2x ＋１=(x －1)2，此时y 最大值=（5－1）２=1６．当－7≤x <0，y =－x ２－2x ＋1=2-(x +1)2,此时y 最大值=2. 因此,当－7≤ｘ≤５时，y 的最大值是-1６．说明：对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．五、二次函数及其图像的应用.有些方程及不等式等有关问题,直接求解十分困难,若能构造二次函数关系,借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程.例7 当a 取遍０到5的所有实数时，满足3ｂ=a (3ａ－8)的整数b 有几个？解：由３b =a （3ａ-８）有b ＝a 2-38a ,即b =(a －916)342-,因为,当ａ=0时，b =0时;当ａ=5时,b =1132利用二次函数图象可知－916≤b ≤1132所以ｂ可取到的整数值为－1,0,1,…,１１,共有1３个． 例8 已知a <0,b ≤0,c >0,且ac b 42-=b -2a ｃ,求b 2-4a ｃ的最小值. 解:令y ＝ax ２+bx+ｃ，由于ａ<0，b≤0，c >0，则△=b 2-4ａc >0,所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，Ｂ（x 2,0)．因为ｘ1x 2=a c <0，不妨设x 1<x 2,则ｘ１<0＜x 2,对称轴x ＝-ab 2≤0，于是｜x １|=c a acb b a ac b b =--=-+-242422, 故ab ac 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242-∴b 2-4ａc ≥4，当a =-1，b =0，c =1时，等号成立． 因此,b ２-4ａｃ的最小值为4． 练习题:１、已知二次函数y=a ｘ２＋bx+c 图像如图３所示,并设Ｍ=｜a+b+c |－｜a －b +ｃ|+|２ａ+b |-|２a -b ｜，则( ） Ａ、M >0 B 、M ＝０C 、M <0D 、不能确定M 为正、为负或为0 (答案:C)2、已知二次函数ｙ=ａｘ2＋bx+c （其中ａ是正整数)的图象经过点A(-1，４）与点B(2,１），且与x 轴有两个不同的示点,则b+c 的最大值为 ．(答案:-４)3、如图4,已知直线y =－2ｘ+3与抛物线y=x ２相交于Ａ、Ｂ两点,O 为坐标原点,那么△OＡＢ的面积等于 .(答案:6)4、设ｍ为整数,且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于-59而小于73,则ｍ＝ ．图3 图4(提示：设y =３ｘ2+m ｘ-2，由题设可知x =－59时ｙ>0，且x ＝73时y >0．答案：４)5、已知函数y =(a +2）ｘ2-2(a 2－1)ｘ＋1，其中自变量x 为正整数,a 也是正整数，求x 为何值时,函数值最小．(答案：x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<-=,4,1,4,32,41,1,1,1时当时当或时当时当a a a a a a (其中a 为正整数),函数值最小.６、已知关于x 的方程x 2-（２m -3)x ＋m －４=０的二根为α1,α2,且满足-3<α1<-２，α2>0，求m 的取值范围．(答案:5674<<m ) ７、已知关于正整数ｎ的二次式y ＝n 2+an （ａ为实数),若当且仅当n =5时,y 有最小值，则实数a 的取值范围是 .(答案:－11＜ａ<-9)。
初中数学竞赛辅导资料(七八年级部分)11-5最值问题6绝对值42
初中数学培优辅导资料姓名： 过关： 成绩：（五）最值问题1. （本题7分）若x ,y 是实数，求19993322+--+-y x y xy x 的最小值。
2. （本题7分）若xy =1,求代数式44411y x +的最小值。
3. （本题7分）设21、x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值，并求这个最小值。
（六）绝对值的几何意义（每小题5分）1.已知a是有理数，则| a－2007|+| a－2008|的最小值是。
2.若|x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是。
3.不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是。
4. 对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是。
5. 已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，则x+ y最大值是，最小值是．（七）平面直角坐标系与一次函数（每小题6分）1.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2．在平面直角坐标系中，已知A（2，•－2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P 有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3.过点P（－1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条4.若k、b是一元二次方程x2+px－│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）（A）第1、2、4象限（B）第1、2、3象限（C）第2、3、4象限（D）第1、3、4象限5.当－1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（）（A）－4<a<0 （B）0<a<2 （C）－4<a<2且a≠0（D）－4<a<26.已知直线L•经过（2，0）和（0，4），把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，则直线L′的解析式为．7.不论k为何值，解析式（2k－1）x－（k+3）y－•（k－11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是．8．设直线kx+（k+1）y－1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…+S2008= ．9.平面直角坐标系内有A（2，－1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标．。
初中八年级(初二)数学课件 最大值、最小值问题
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值 即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23; f (2) 34;
R(350)
(350
20)
6831500 108 Nhomakorabea0 (元).
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，使 曲线在该点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成 的三角形面积最大．
解 如图,
设所求切点为P( x0 , y0 ),
x0 16 (舍去).
P
oA
T B
Cx
S(16) 8 0. S(16) 4096 为极大值 .
3
3 217
故 S(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
则切线 PT 为 y y0 2x0( x x0 ),
y
P
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
初中数学 如何求解三角函数的最大值和最小值
初中数学如何求解三角函数的最大值和最小值在初中数学中，求解三角函数的最大值和最小值是一个重要的概念。
在本文中，我们将介绍如何求解三角函数的最大值和最小值，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
首先，让我们来看正弦函数的最大值和最小值。
正弦函数的值范围在[-1, 1]之间。
因此，正弦函数的最大值是1，最小值是-1。
正弦函数的最大值和最小值分别对应于函数图像上的顶点和谷底。
在单位圆上，正弦函数的最大值出现在x = π/2 (或90度)，最小值出现在x = 3π/2 (或270度)。
对于一般的正弦函数y = Asin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D是常数，最大值和最小值的位置可以通过对函数进行平移、伸缩和反转来确定。
接下来，让我们来看余弦函数的最大值和最小值。
余弦函数的值范围也在[-1, 1]之间。
因此，余弦函数的最大值是1，最小值是-1。
余弦函数的最大值和最小值分别对应于函数图像上的顶点和谷底。
在单位圆上，余弦函数的最大值出现在x = 0 (或360度)，最小值出现在x = π (或180度)。
对于一般的余弦函数y = Acos(Bx + C) + D，其中A、B、C和D是常数，最大值和最小值的位置可以通过对函数进行平移、伸缩和反转来确定。
最后，让我们来看正切函数的最大值和最小值。
正切函数的最大值和最小值是无穷大和负无穷大。
正切函数的最大值和最小值没有特定的位置，因为正切函数在不同的点上都会趋近于无穷大或负无穷大。
对于一般的正切函数y = Atan(Bx + C) + D，其中A、B、C和D是常数，正切函数的最大值和最小值的位置可以通过对函数进行平移、伸缩和反转来确定。
综上所述，我们可以通过观察三角函数的图像范围和周期性来确定三角函数的最大值和最小值。
了解如何求解三角函数的最大值和最小值对于解决与三角函数相关的问题非常重要，例如优化问题和最值问题。
通过实际的练习和例题，我们可以更好地理解和应用这些概念。
初中数学常见8种最值问题
的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式 由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则 的最大值为.解：设 ，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（ ）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设 ，则从而可知，当时，解：由 得解得由是非负实数，得 , 解得又 ，故， 三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛） 实数满足.则 z 的最大值是.解：由 得.代入 消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即 ，整理得 解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程 的两个实数 根，则 ,因为 ，所以 ，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。
初中数学 如何通过函数的图像判断其在某个区间上的最大值和最小值
初中数学如何通过函数的图像判断其在某个区间上的最大值和最小值在初中数学中，我们学习了函数的概念，并且了解了如何通过函数的图像来判断其在某个区间上的最大值和最小值。
这种方法被称为图像法，它是一种直观且易于理解的方法。
在本文中，我们将详细讨论如何使用图像法来判断函数的最大值和最小值。
首先，让我们回顾一下函数的概念。
函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
数学上，函数通常用符号表示为f(x)，其中f 是函数的名称，x 是自变量，f(x) 是因变量。
要通过函数的图像来判断其在某个区间上的最大值和最小值，我们可以按照以下步骤进行：第一步是观察函数的图像。
我们可以使用计算机软件或手绘函数的图像。
确保图像的绘制范围包含了我们感兴趣的区间。
以y = f(x) 为例，我们可以绘制出x 和y 的坐标轴，并在坐标轴上标出函数的图像。
第二步是观察图像上的高低点。
通过观察函数的图像，我们可以找到函数在某个区间上的最大值和最小值。
最大值是曲线上的最高点，而最小值则是曲线上的最低点。
这些点的坐标可以通过观察图像或使用计算机软件来确定。
第三步是使用数学方法来验证我们的观察结果。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
临界点是函数的导数为零或不存在的点。
最大值和最小值通常出现在临界点或函数的定义域的端点上。
我们可以计算函数在临界点和端点上的函数值，并比较它们来得出最大值和最小值。
举例来说，考虑函数y = x^2 在区间[-2, 2] 上的最大值和最小值。
首先，我们绘制出函数的图像。
我们可以看到函数的图像是一个开口向上的抛物线。
通过观察图像，我们可以发现抛物线在x = 0 处取得最小值，即最小值为y = 0。
此外，抛物线在x = -2 和x = 2 处取得最大值，即最大值为y = 4。
为了验证我们的观察结果，我们可以计算函数的导数。
对于函数y = x^2，它的导数为y' = 2x。
通过令导数等于零，我们可以解方程2x = 0，得到x = 0。
初中数学最大值和最小值的问题
初中数学最大值和最小值的问题
1、二次函数的最值问题，包括三方面的内容：
自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．
二次函数y=ax2+bx+c=a（x+）2+．
（1）当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-时，y随x增大而减小；当x>-时，y随x•增大而增大；当x=-时，y取最小值．（2）当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-时，y随x增大而增大；当x>-时，y随x增大而减小；当x=-时，y取最大值．2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．
（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．
若自变量的取值范围为，则取最值分和两种情况，由、与的大小关系确定。
1．对于a>0：
（1）当，因为对称轴左侧随的增大而减小，所以的最大值为，最小值为。
这里、分别是在与时的函数值。
（2）当，因为对称轴右侧随的增大而增大，所以的最大值为，最小值为。
（3）当，的最大值为、中较大者，的最小值为. 2．对于a<0：
（1）当，的最大值为，最小值为。
（2）当，的最大值为，最小值为。
（3）当，的最小值为、中较大者，的最大值为.
综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值。
初中数学中最值问题求法
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。
现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： （一）根据非负数的性质求最值。
1、若M =（X ±a ）2 +b ，则当X ±a = 0时M 有最小值b 。
2、若M = －（X ±a ）2 + b ,则当X ±a = 0 时M 有最大值b 。
3、用（a ±b ）2≥0 ，∣a ∣≥0,a ≥0的方法解题。
【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。
】例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a 2 + b 2 + c 2= 9，则代数式 （a － b ）2 + （b —c ）2 +（c － a ）2的最大值是 （ ）A ．27B 、 18C 、15D 、 12 解：(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2= 2(a 2+b 2+c 2)－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－a 2－b 2－c 2－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－(a 2+b 2+c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca)=3(a 2+b 2+c 2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a 2+b 2+c 2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。
当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。
【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a 2＋b 2＋c 2)后用完全平方式。
】 例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +1都能表示成K 个完全平方数的和，那么K 的最小值是 （ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X 2 （N ≥ 8），则3不能整除X ，所以X 可以表示成3P ±1的形式。
巧求最值问题八种方法
巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。
分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。
x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。
由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。
x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。
解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。
二次函数竞赛题
二次函数竞赛题1．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．2．在直角坐标系中有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6）；已知直线b ax y +=上横坐标为0、1、2的点分别为D 、E 、F .试求b a ,的值使得AD 2+BE 2+CF 2达到最小值.3.（2004年“TRULY @信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x 、y 、z 满足x +y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是_______．4.已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。
5.（2003年“TRULY @信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x •轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为________．6.设抛物线()452122++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，（1）求a 的值；（2）求618323-+a a 的值.7. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段.（1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式； （2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排， 使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.8．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口．．的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，•水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，•他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a ）．若∠ACB =90°，设AC =x 厘米，该水槽的横截面面积为y 厘米2，请你写出y 关于x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围），并求出当x 取何值时，y 的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b ）．若∠ABC =120°，•请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y 的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，•使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．9．如图，抛物线2(0)y ax bx a =+>与双曲线ky x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满 足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.10.如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点.（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.12.已知0<a ，0≤b ，0>c ，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.13. 在自变量x 的取值范围59≤x ≤60内，二次函数212y x x =++的函数值中整数的个数是( ) A .59 B .120 C .118 D .6014. 在直角坐标系中，抛物线223(0)4y x mx m m =+->与x 轴交于A ，B 的两点.若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OB OA -=，则m =__ ___.15. Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >216. 设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（ ） （A ）k （B ）k k 12- （C ）k1（D ）k k 1+17. 平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个18. 函数1422-+=x x y 的最小值是 ．19.对220b a ab ≠≠，，二次函数))((b x a x y --=的最小值为 （ ）A . 2)2(b a + B . 2)2(b a +- C . 2)2(b a - D . 2)2(b a --20.两抛物线222b ax x y ++=和222b cx x y -+=与x 轴交于同一点（非原点），且a 、b 、c 为正数，a ≠c ，则以a 、b 、c 为边的三角形一定是 （ ） A . 等腰直角三角形 B . 直角三角形 C . 等腰三角形 D . 等腰或直角三角形21.当n =1，2，3，……，2003，2004时，二次函数1)12()(22++-+=x n x n n y 的图象与x 轴所截得的线段长度之和为（ ） A . 20032002B .20042003C .20052004D .2006200522.已知二次函数c bx ax y ++=2图象如图6-2所示，则下列式子： ab ，ac ，a +b +c ，a -b +c ，2a +b ，2a -b 中，其值为正的式子共有 个.23.如果当m 取不等于0和1的任意实数时，抛物线mm x m x m m y 3212--+-=在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿24.已知抛物线1)1(2+++=x k x y 与x 轴两个交点A 、B 不全在原点的左侧，抛物线顶点为C ，要使△ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为＿＿＿＿＿＿＿25.设x 为实数，则函数12156322++++=x x x x y 的最小值是＿＿＿＿＿＿26.设二次函数q px x y ++=2的图象经过点（2，-1）， 且与x 轴交于不同的两点A （x 1，0） B （x 2，0），M为二次函数图象的顶点，求使△AMB 面积最小时的二次函数的解析式.27.已知：3x 2+2y 2=6x , x 和y 都是实数，求：x 2+y 2的最大、最小值.28.ABC ∆中,∠B =60，AC =1，求BA +BC 的最大值及这时三角形的形状.29.如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示 的 位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积()S 随时间()t 变化的图象大致是（ ）FEGABCD N MH GFEDC BAkg ）30.（南京）如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413CE CF ==，,直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，矩形AMHN 的面积为y⑴ 求y 与x 之间的函数关系式；⑵ 当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.32．函数623)12(222+-+--=k k x k x y 的最小值为m ，则当m 达到最大时，x ＝______ （2004年全国初中数学联赛）33．设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数)3()(2)1(2222b ak k x k a x k k y ++++-++=的图像与x 轴-2-1O1x2交于点A （1，0）（1）求a ，b 的值（2）若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求AB 的最大值34.（2007年福州）如图所示，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中－2＜1x ＜－1，0＜2x ＜1，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③a ＜－1；④284b a ac +＞.其中正确的有：（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个35.（2007年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米，现在O点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．36.（2009年天津市）已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上． （Ⅰ）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为112时，求t 的值； （Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．37. 已知点A (0,3)，B (-2,-1)，C (2,-1) P (t ,t 2)为抛物线y ＝x 2上位于三角形ABC 内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交AC 于E ， CP 所在的直线交AB 于F 。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案1.选择题解答1.答案为（B）。
因为根据题意，M>P，所以M与P的大小关系为M>P。
2.答案为（C）。
因为只有图（C）正确地表示了题意，包括沿原路返回的一段路程和消耗的时间。
3.答案为（A）。
根据题意可得甲-乙=5.4.答案为（B）。
在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x=-1+4N，y=-25+5N，其中N是整数。
因为-1+4N>0，-25+5N<=0，所以N=1,2,3,4,5，共有5个点。
5.答案为（B）。
根据题意可得∠ABC=2∠ACB，因此∠BAC=2∠ACB，即∠B=2∠A。
6.答案为（D）。
题目中未给出S和S1的具体数值，因此无法确定它们的大小关系。
首先，文章中存在一些格式错误和重复的段落，需要删除和修改。
修改后的文章如下：一、选择题1、已知，那么x的值为______。
答：1.∵，即。
x=1.2、已知函数，且在区间[0,1]上单调递增，则f(0)与f(1)的大小关系为______。
答：f(0)<f(1)。
因为f(x)单调递增，所以f(0)<f(1)。
3、已知数列的通项公式为，若a1=1，则a4的值为______。
答：16.因为a1=1，所以a4=16.4、已知函数f(x)=x^2+bx+c在区间[0,1]上单调递减，则b 与c的大小关系为______。
答：b1/4.因为f(x)在[0,1]上单调递减，所以b1/4.5、已知数列的前n项和为Sn=n^2+2n，则该数列的通项公式为______。
答：an=n+1.因为Sn=n(n+2)，所以an=Sn-Sn-1=n+1.6、已知S=1+2+3+。
+100，S1=1+3+5+。
+99，则S与S1的大小关系为______。
答：S>S1.因为S=1+2+3+。
+100>1+3+5+。
+99=S1.二、填空题7、已知。
那么x的值为________。
答：1.∵，即。
例析均值换元法解数学竞赛最值问题
2020年第11期中学数学研究・63・例析均值换元法解数学竞赛最值问题江苏省南京市第二十九中学致远初级中学（210029）蔡俊剑将几个量的平均值作为辅助元，这种换元法称为均值换元法•例如将%+*=m中的％,*分别用2 +/号-/来代换，这种代换就称为均值换元.均值法的应用非常广泛，以几道数学竞赛题为，介绍其在求最值中的作用.一、求最例1（2016中数学联赛初三年级试题）设实数%,*,4满足％+*4=1，则M二％*+2*4+ 3%z的最大值为'）.123（2）1（5）3（C）'（D）1解：因为%+*+4=1,所以%+*=1-4.故可设（宁+/（宁4）+2（宁-）4+34・（L-+ /二+（-942+8z+4/—4/+1），化简整理得942-4（方+2）z+4/+4M-1二0，将此式视为关于4的一二次方程，且有实数根，因此0，7 16（t+2）2-36（4/+4M-1）*0，化简整理得M#-y（/-+）+#，因而当方二+时，.最大值二+故选C评注：本题依据已知条件%+*+4=1,M=%*+ 2*4+3%4,通过均值换元消去％,*,构一个关于力的一元二次方程，再利用有实数根的条件，“大”建立M的最大值.解题过程巧妙自然，构思精彩，耐人回味.例2（2003中数学联题）已知实数%1*满%2+f$+2②求％的最大值-解：由①可设％，筈丄+/*=专丄—/将其代入②中得(丸#+/2+(^-/2=4&2-2& +2，化简整理得&2-2&-3二-4/，因为-4/#0，所以&2-2&-3#0，即'&+1)(&-3)#0，所以&+1*0，&+1#0，{&-3#0或{&-3*0，解得—1#.从而%*=(%+*)2_(%2+*2)_(3&_1)2_(4&2_2&+2) 2二2最大值为16.评注:根据题设巧用均值换元，再结合因式公解十字相乘法，通过解一元二次&的取范围，合配方技巧求得%*的最大值•方法巧妙，解法新颖，匠心独具，令人赞叹.二、求最小值例3（2007中数学竞赛试题）已知& +'二1，求&2+'2的最小解：因为&+b=1，所以可设&二*+/'二+一力,则&2+'2=（*+/2+（*-彳）2二*+2/2*1，故&2+b2的最小值是2（这时方二0，即&二b二*）.评注：本题运用均值代换，其绝妙之处在于能最值问题关方的函数的最小问题，从而只要令/二0即可.其解法简捷明晰，别具风味.例4（2012年“希望杯”全国数学二第二题）如图1，已知边长为1的个正方一个“品”字，求“品”字的最小圆的面积.解析％“品”字的最小际是四边形ABCD的外接圆.“品”字形的高EF=2（（，由轴对称性知，四边形ABCD的外心在EF 由EO+FO=2，由，设E：=1+t,FO= 1-/外接圆的半径为?,由轴对称性知+E=*CD 二*,在Rt AAFO和Rt$DEO中，由勾股定理得3r1+（1-/2二？2,卩二16,[1）2+（1+/2=?解得?242=所以覆盖H2丿I一256°c425“品”字形的最小圆的面积为S="256评注：本题的等量关系隐藏在图形中，运用均-64-中学数学研究2020年第11期值换元法，用平均数和一个字母表示图中两条线段的长，既形象直观地表示出圆心的位置，又使计算简单明晰，令人耳目一新.三、求最大值和最小值例5（2001年全国初中数学竞赛题）已知实数&,'满足&2+&'+'2=1,且t—&'-&2-'2.试求t 的最大最小!解：由题设知&2+'2-〒'①,4&2'2-(1+t2②.由①式可设&2二1-+P,'21-1—丁->.代入②式得'（宁+P）d（宁=（1+/$，整理得（t+3）（3/1）二-16>,而一16>#0,所以（t+3）（3方+1）#0,解得-3#t#-1，故t的最大 值是-丁，最小值是-3.评注:对已知条件变形，先求得&2+'2=\-,再运用均值换元法结合一元二次不等式求最值,可见均值换元技巧在解题中的重要作用.例6（2004年“信利杯”全国初中数学竞赛题）设实数％,*,4满足％+*+4二5,%*+*4++4二3,试求4的最大值和最小值.、5-4解：由%+*+4=5，得%+*=5一4设％二+二5?4一一,代入%*+*4++4=3,化简整理得342-104-13=-412.因为—4/#0,故342-104-13#0,解得-1#2#琴，所以4的最大值是琴，最小值是-1.评注：本题题设为三元二次方程组，如按常规方法直接求4的最大值和最小值,很困难，但由%与5—4*的和是5-4,那么％与*的平均值就是丁.因此借助于均值换元，通过化简整理得到关于z的一元二次，解最大和最.例7（第31届IMO国家集训队测试题）设实数{%+*—=—12求4的最大最小.%*=—-74+14,解：由%+*—4-1,可设%—4-1+/*—=-y1-t,代入%*—42-74+14得（4-1+/（4—1-/—42 -74+14，即'4-1）2-t2—42-74+14,即42-24+1 -412—4z2-284+56，整理得342-264+ 55—-412,所以342-264+55#0，解得¥#Z#5，故Z的最大值是5，最小值是¥.评注:本题已知条件是关于％、*、4的三元二次，要通题设4的最大和最4-1困难，然而通过%+*—4-1—2d丁，再利用均值换元巧妙求得最值.其方法新颖简捷，别有风味.其解法既减少了计算量，又降低了解题的难度，充分显示了均值换元法的优越性.综上可知，均值换元法的应用是极其广泛的，方法通俗易懂，既有利于学生融会贯通“基础知识和基本技能”，又有利于帮助学生提高综合解题水平，对于启迪学生思维、开阔学生视野，培养学生学数学、用数学、研究数学的兴趣均颇有益处.*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%一道地中海地区数学奥林匹克试题推广——兼论一个条件的多余江苏省姜堰中等专业学校（225500）陈宇第21届地中海地区数学奥林匹克第4题:在锐 角中，AE,AF为的三等分线，且分别与$ABC的外接圆交于点.,7,分别在边4）,AC上取点P,R,使得）PEA—）B,）AER—）C.设PR与4E交于U,U7与BC交于+.证明：寻+爲-E+。
初中数学 二次函数的图像的最小值和最大值有什么关系
初中数学二次函数的图像的最小值和最大值有什么关系
二次函数的图像的最小值和最大值之间有着密切的关系。
以下是对二次函数图像的最小值和最大值之间关系的详细解释：
1. 开口向上的二次函数图像：对于开口向上的二次函数图像，顶点是图像的最小值。
也就是说，在顶点处，二次函数图像达到了最低点。
顶点的纵坐标值就是二次函数图像的最小值。
与最小值相对应的横坐标值是顶点的横坐标。
2. 开口向下的二次函数图像：对于开口向下的二次函数图像，顶点是图像的最大值。
也就是说，在顶点处，二次函数图像达到了最高点。
顶点的纵坐标值就是二次函数图像的最大值。
与最大值相对应的横坐标值是顶点的横坐标。
因此，二次函数图像的最小值和最大值是由顶点的纵坐标值决定的。
开口向上的二次函数图像的最小值是顶点的纵坐标值，开口向下的二次函数图像的最大值是顶点的纵坐标值。
此外，我们还可以通过顶点的横坐标值来确定最小值和最大值所对应的自变量的取值。
也就是说，在顶点处，最小值和最大值所对应的x 值是相同的。
综上所述，二次函数图像的最小值和最大值是由顶点的纵坐标值决定的，而顶点的横坐标值表示最小值和最大值所对应的自变量的取值。
理解和利用顶点的位置和开口方向，有助于我们分析和解释二次函数图像的特征和行为。
需要注意的是，二次函数图像可能不存在最小值或最大值，这取决于二次函数的系数和定义域的限制。
当二次函数的系数 a 大于0 且定义域为全体实数时，图像是开口向上的，没有最大值；当二次函数的系数 a 小于0 且定义域为全体实数时，图像是开口向下的，没有最小值。
解密初中数学函数的极值与最值问题
解密初中数学函数的极值与最值问题在初中数学学习中，函数是一个非常重要的概念。
函数的极值和最值问题是函数章节的一个重要部分。
理解和解决这些问题有助于提升学生的数学思维能力和解题能力。
本文将为大家解密初中数学函数的极值与最值问题。
一、函数的极大值和极小值在初中数学中，函数的极值指的是函数在某个定义域内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在某一点附近取得的最大值，极小值是函数在某一点附近取得的最小值。
要解决函数的极值问题，首先需要确定函数的定义域。
在定义域内，通过求函数的导数或者绘制函数的图像，可以找出函数的极值点。
导数为0的点或者导数不存在的点即为函数的极值点。
例如，对于函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，我们可以通过求导数来找出函数的极值点。
求导后得到f'(x) = 4x - 3，令f'(x) = 0，得到x = 3/4。
将x = 3/4代入原函数，得到f(3/4) = 25/8。
因此，函数f(x)在x = 3/4处取得极小值25/8。
二、函数的最值问题函数的最值问题是在函数的定义域内找出函数的最大值和最小值。
与函数的极值问题不同的是，最值问题并不要求极值点的存在，可以是函数的端点。
针对函数的最值问题，我们需要分两种情况进行讨论。
情况一：函数在定义域内没有极值点，只有端点。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 4x + 5，我们可以通过求导数来找出函数的极值点。
求导后得到f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0，得到x = 2。
然而，将x = 2代入原函数后发现，f(2) = 5，并非函数的最值。
由于函数是抛物线，开口朝上，因此函数在定义域内没有最小值，最小值为函数的最值。
情况二：函数在定义域内存在极值点。
例如，对于函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，我们可以通过求导数来找出函数的极值点。
求导后得到f'(x) = -2x + 4，令f'(x) = 0，解得x = 2。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。