液面升降问题

浮力与液面升降专题教案

有关浮力和液面升降问题的练习

直柱形容器液面升降专题：

第一讲

浮力压强是中考的难点之一，课时当物体排开液体的体积变化时，液体对容器底的压力压强的变化以及容器对支 撑面压力压强的变化是许多考生感到难解的题目类型。现在选一些该类型的题目，以飨读者。 例题1.如图1所示，有一圆柱形容器和一个足够长的圆柱形金属块，其横截面积

S 容：S 柱=3 : 1,容器中盛有水，金属

块吊在一根细线下，现将金属块慢慢放入水中，金属块上下底面始终和水面平行，求： (1)若金属块浸入水中深度达到

15cm 时，容器底部受到水的压强增大多少？

15cm 时，容器底部受到水的压强增大多少？

△h ，则有(S 容-Si) A h i

h (1), h + A h l = 15cm (2),由以上两式可得到 A h i = 5cm ；

容器底部受到水的压强增大 A pr = P 水g A h 1

=500?。

(2)如图1丙、丁所示，若绳子从金属块底刚好接触水面到向下放下

(S 容 — S 柱)△ h 2 h ，代入数据得， A h ^ 7.5cm ，容器底部受到水的压强增大 也p 2 =必g

也h 2 = 750P a 。

例题2.如图2所示，有一圆柱形容器和一个足够长的圆柱形金属块，

体，金属块吊在一根细线下，从金属块接触液面到金属块浸入液体中深 面上升A h 。求证：S ^h =S 2h 。

证明：设圆柱形容器相对于容器下降底 h 1，液面上升A h ，则h =h 1 + A h

Q H

(S 1— S 2) i h=S 2h 1

(2)由以上两式可得： i h =—2

— (3)；

S 1 - S 2

_ -

z 口， (S — S 2) S 2h 1

h 1S 1

将(3)带入(1)得：h= ------------------ + -------- = -------- (4)

S — S 2

S 1— S 2 S — S 2

将(4)整理得：S^h — h) = S1^h = S 2h 。

注意：(1)金属块浸入液体中的深度等于金属块相对于容器下降的高度+液体沿容器壁上升的高度。

(2 )金属块底从刚好接触液面到向下放置

h 时，即金属块相对于容器下降 h (金属块没有浸没于液体中)，

(2 )若绳子从金属块底刚好接触水面到向下放下

解析：(1)如图1甲、乙所示,

金属块相对于容器底下降 h ,容器中水面上升为

h=15cm 时，容器中水面升高了 i h 2 ；则

其横截面积分别为 S 和Sa ,容器中盛有某种液 h

(金属块没有浸没在液体中)，液

金属块浸入水中深度达到 15cm 时, (1 )；根据体积相等可以得

图2

此时

金属块浸入液体中的体积V = S(h +i h)。

(3)金属块从接触液面到浸入液体中深h (金属块没有浸没在液体中)，液面上升A h ,金属块的7排=S^h = S2h。

例题3.如图3所示，有一横截面积为 S 、重为G 圆柱形容器；一个足够长的直柱形金属块，其横截面积为

S 2,容

器中盛有密度为 P ,深度为h 、体积为V 的液体；金属块吊在一根细线下，现将金属块慢慢浸入液体中深为

h ，液面上升A h ，金属块始终没有浸没于液体中。

(1)液体对容器底部的压强 p i ； (2)液体对容器底部的压力 F i ； (3)容器对水平地面的压力

F 2； (4)容器对水平地面的压强 P 2；

(一)求在金属块 浸入液体前:

G 液+ G

P 2=^^。

P i =

pgh ；

在金属块浸入液体后: (1) 液体对容器底的压强

P i

；

(2) 液体对容器底部的压力 (3) 容器对水平地面的压力

F 2

；

(4) 容器对水平地面的压强

p 2

；

(三)求在金属块 浸入液体前后

(1) 液体对容器底的压强的变化量

(2) 液体对容器底部的压力的变化量 (3) 容器对水平地面的压力变化量

(4) 容器对水平地面的压强的变化量

(四)金属块浸入液体前后的变化量 (1) 液体对容器底部压强的变化量:

(2) (3) F ] = pQ = PghS = G

液；

F 2 = p 1 S +

G = G 液 +

G ;

p^ Pg(h + 也h) = Pgh + P g

"hS

= Pgh

S

S Fi = piS^Pg (h P h ) S=G 液+ A F 浮

F2' = Pi's + G = G 液+ A F 浮+ G

△p 1

； "p L g

E 竽

△ F i ； A R =心p 1S=PgihS = i F 浮

△ F 2；

Pg 也 hS

(总结)

A F 浮 A F

g 卩液g h

=^=忑

液体对容器底部的压力的变化

量:

也 F i =山 P 1S

§ =P 液 g 虫 h S

§

当物体处于漂浮或者悬浮时，容器对水平地面的压力的变化量

虫卩2 =A p 2S § =。液g 也h S § = P 液=也卩浮=G 物

(4)当物体处于漂浮或者悬浮时，容器对水平地面的压强的变化量

__G 液+

A F 浮 -S

(其中A F 为细绳拉力变化量)

(6)

(7) (9) A P2

A F i

_ _ _ P液g心_也斤孚_ G物

5容S容S容5容

A F2A F1

△ F浮△ F =△F2 = P液gS容i h = A F浮；i p = P液g i h =---- =—;

S容S容

当物体漂浮或者悬浮在液体中时，物体的重等于液体对物体压力的合力; 当物体漂浮在液体中时,

当物体悬浮在液体中时,

当容器不是直柱形容

器，

物体的重力等于液体对物体向上的压力;

容器是口大底小或者口小底大时,

液体对容器底部压强的变化量m =p液g i h ;

①当容器口小底大，液体对容器底部的压力的变化量

②当容器口大底小，液体对容器底部的压力的变化量

（10）无论容器什么形状，当容器中装有液体时,

W E

AR =3何液g心hS容＞卩液^V^ = A F浮

A F1 =A p1S^ = P液g A hS容V P液妙V排=也F浮容器对水平面的压力等于容器重力和液体重力之和，即

F =G液+G容；当再向容器中加入固体时，无论容器形状如何，物体在液体中的浮沉情况如何,

容器对水平面的压力变化量都等于放进去的物体的重力，即

液面升降专题：第二讲

例题

A.

B.

C. 1.如图1甲所示，底面积为50cm的圆柱形玻璃筒中装有一定量的水，放在水平台面上，底面积为10cm的圆柱形物体B浸没在水中，杠杆CD可绕支点O在竖直平面内转动，CO= 2DO物体A是质量100g的配重。如图1乙所示，杠杆在水平位置平衡，作用在物体A上的竖直向下的拉力F为0.6N，物体B有2/5的体积

露出水面，筒中水的深度比图甲中水的深度下降了0.4cm ;此时，物体B所受的浮力为F浮。水在物体

B底面处产生的压强为P。g取10N/kg，杠杆、悬挂物体的细绳的质量均忽略不计，则下列选项正确的是（）P的大小为500Pa

F浮的大小为0.2N

物体B的密度为7g/cm3

D.物体B的体积为100cm

解析: 物体B浸没于水中时F浮1 =巴水gV B（1）;物体有2/5的

体积露出水面时受到的浮力

3

F浮2 = ^水g^V B (2);物体

5

匚

所受浮力的变化量

2

P水g =V B = P水g心hS容=0.2N (3);由(2)

5

(3) 得F浮2 =

0.3N ；

由杠杆平衡条件得（G B—F浮2）OD （ F +G A）? OC，将数字带入得: G B=3.5N (4);由(3) (4)

得V B =50cm3; % = 7g/cm3; p = ^浮=300P a ;所以选项C正确。

S B

细绳对物体 A 的拉力为F 1。将物体A 浸没在圆筒形容器内的液体中，静止时，容器内

A 的拉力为F 2,物体A 上表面到液面的距离为 h 1。然后，将

例题2.图2是小华利用杠杆提升浸没在水中的物体 B 的示意图。杠杆CD 可绕支点O 在竖直平面内转动，OC : OD=1 : 2,物体A 为配重，其质量为200g 。烧杯的底面积为 75cm 2，物体B 的质量为320g ,它的体积为40cm 3。当物体B 浸没 在水中时，水对杯底的压强为 直向下拉物体A 的力为F , kg ,杠杆的质量、悬挂物体 P 1。当用力拉物体 A ,将物体B 提出水面一部分以后，杠杆恰好在水平位置平衡，此时竖 水对杯底的压强为 P 2。若P 1与P 2之差为40Pa ,则拉力

F 的大小为

A 和物体

B 的细绳的质量均忽略不计) N 。(g 取 10N /

解析：物体B 浸没于水中时 F 浮1 = B K gV e =O.4N (1)；物体B 有部分体 积露出水面时受到的浮力变化量

閒浮=(Pi — P 2)

=心pS § =0.3N (2);由(1) (2)得杠杆水平平衡时物体 B 受到的F 浮=0.1N (3)；由杠杆平衡条件得: (G B -F 浮)OD ( F +G A )

OC ,将数字带入得：F =4.2N 3.如图

3甲所示，底面积为

80cm 2

的圆筒形容器内装有适量的液体，放在水平桌面上；底面积为

60cm 2

的圆柱形物体

A 悬挂在细绳的下端静止时，

的液面升高了 7.5cm ,如图3乙所示，此时细绳对物体 物体A 竖直向上移动h 2,物体A 静止时，细绳对物体

5: 8, h i 为3cm , h ?为5cm 。不计绳重, g 取 10N/kg 。 A 的拉力为F 3。已知F 1与F 2之差为7.2N , F ?与F 3之比为

kg/m 3

。

则物体A 的密度是

解析：设物体 A 的高度为h A 对物体A 进行受力分析，得:

F i =

G A

(1)

F 2+ p 液 gqh ； =G

A

V A = S

容人 h = S A h

A

当物体A 相对于容器底上升 h 2时液面下降为

(S 容一S A )心h =S A( ^2— h

i ) (4)

此时物体A 浸入液体中的深度为 h A =hA —

(h 2— h 1) — A h ;

F 3+ P 液gS A A h ； = F3 +P 液gS A(h A — h 2+ h 1—i h)

G A (5)

I^=I = G G —浮" (7)代入数据可得P A 沖叭亦。

4 ?将圆柱体B 竖立在圆柱形容器 A 的水平底面上，圆柱体

B 对容器A 底面的压强为P 0。向容器A 内缓慢注水，记录

注入水的质量 m 和所对应的水对容器 A 底面的压强P ,记录的数据如下表所示。已知圆柱体

B 的体积为2800cm ,

则 p o 等于 __________________ Pa 。(g 取 10N/kg )

m/g 1000 2000 3000 4300 5900 7500 P /Pa 4OO

800

1200

1600

2000

2400

解析：设圆柱形容器 A 的底面积为S A ,圆柱体B 的底面积为 形容器底A 的压强成正比，圆柱形物体 B 仍然没有漂浮；当加水 质量成正比，所以圆柱形物体 B 已经漂浮；依题意有：

S B ,分析题设条件知道当加水至 3000g 时，水对圆柱

4300g 时水对圆柱形容器 A 底的压强不再与所加水的

(S A -S B ) △ h=V 水 1

1000g r

(2)

乙

甲图3

P 6S A =m 6g + G B = 2400x 0.04N = 75N + G B

由以上各式得：G B =21N , S B = 0.015m 2

, p 。

5.宋朝的怀丙用如图

4所示的方法打捞落入水底的铁牛。把一根圆木绑在两只装着沙土的打捞船上，请人潜到水底，

用绳索捆牢铁牛，将绳刚好拉直，并将绳索的另一端捆在两船间的圆木上。然后，把船上的沙土卸走，铁牛就被拉 起。假设铁牛由某种密度为 p =8X 103

kg/m 3

的铁合金制成，质量为 4.8t ，沉入湖水静止的湖底，铁牛的底部与湖底不 密合。每只打捞船的质量为 1.15t ，每只船上各站着2名质量为50kg 的工人，船 内装有等质量的沙土，

圆木的质量为100kg 。两只船浸入水中的深度相同，

每只

船浸入水中的深度与船排开水的体积关系如下表所示。忽略绳索质量，湖的面 积很大。如果将船中沙土全部卸光后，能使铁牛的底部提升至距离湖底

20 cm

的高度，最初船离岸时每只船内应装沙土的质量为 ______________ kg 。（ g 取10N/kg ）

船浸入水中的深度 h/m 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 排水体积V/m 3

0.7 1.5 2.4 3.4 4.5 5.6

'a

图4

解析：设将船中的沙子卸掉以前，船浸入水中的深度为

装沙土的质量为m 沙。依题意有：

h ，每只船排开水的体积为

V o ，最初船离岸时每只船内应

6总1 = F 浮1

即

（2m 船+2m 沙+4m 人+m 木）g = P 水

2V 排（1）

(2m 船 + m 牛+4m 人+m 木)g = P 水g (2V^V 牛) (2)

%=令

=8x103kg/m 3

由（3）代入（2）得7排=3.4m 3

，查表可知，此时船浸入水中的深度 h=0.4m ,在沙没有卸下来以前船浸入水中

-

3

O

的深度h =0.4m + 0.2m =0.6m ，每只船排开水的体积为 W = 5.6m 代入方程（1）得m 沙=4.3x 103

kg 。

6. 一个底面积为50cm 2

的烧杯装有某种液体，将一个木块放入烧杯内的液体中，木块静止时液体深

h 1=10cm,如图甲所

示；把一个小石块放在木块上，液体深

h 2=16cm ，如图乙所液体中示；若将小石块放入液体中，液体深

h 3=12cm,如图

丙所示，石块对杯底的压力 F=1.6N 。求：小石块的密度 P 石。

解析：由甲乙两图可知:

由甲丙两图可知

7石=5容(h

3—

h)

(1)

=03 t J

T

2 (2)

甲

乙 图5

由乙丙两图可知 :冃液 gV 石+ F

= G 石

1000 Pa 103

kg/m 3

xl0N/kg

=0.04m (3)

2400Pa —2000Pa Ah - P 6 - P 5 -P 水 g —103kg/m 3

x10N/kg =0.04m (4)

7500g -5900g ■ ■6 ■■■5

■ 500g

5900g 2

S A

gih = 103

kg/m 3

>d0N/kgx0.06m 0.

04m 5

(6) 21N

=而5厂1400Pa

3 3

将数据带入（i ） （2） （3）得： 阳=2.4xi0 kg/m 。

7?如图6所示，放在水平桌面上的甲、乙两个薄壁容器，其底面积分别为

P 的两种液体。现有 A 、B 两个实心球，其体积分别为 V A 、V B ，质量分别为 m A 、m B ,密度分别为 将A 、B 两个实心球分别放入甲、乙容器中（两容器中液体均未溢出） S 1、S 2,容器内分别盛有密度为

P1

、

A p 。

，当A 、B 两个球静止时，它们受到 的浮力分别为F A 、F B 。甲、乙两容器内液面上升的高度分别为 A h i 、A h 2,液体对甲、乙两容器底的压力分

别增加了 A F i ＞壬2，压强分别增加了

巾1、也。甲、乙两容器对水平桌面的压力分别增加了

A F 3> A F 4,压 强分别增加了 A p 3、A P 4° 已知 2m A =5m

B , 4V A =3V B ,

F A =F B , 4S i =5S 2, 7 p =8 p, 2 A h i =3

A h 2°

则（

A .

A F i ： ￡2=15： 7 , A F 3：圧

4=2: 5

B .

A p i ： C .如果

D .如果

A 2=4:5 , A p 3： /p 4=2:i 3 3 H 疗 / 3 3 p =0.8 >I0 kg/m ，那么 P A =2.0 X O kg/m

p =4>I0 kg/m ，那么 p =i.6 i0 kg/m 解析：液体对甲、乙两容器底的压力分别增加了

A F r 、

A F 2；

A F I

HgAh i S i 8x3x5 7 A F 2

P 2g i h 2S 2

7x 2x 4

(i )

；

甲、乙两容器对水平桌面的压力分别增加了

A F 3、A F 4,

△F

3

PA gV A

"pBgVB 丄(2);

2 液体对甲、乙两容器底的压强分别增加了

A p i 、A p 2,

如=

△P 2

Eg 也 h i Eg 心

h 2

8^3

-7X2

甲、乙两容器对水平桌面的压强分别增加了

巾3、A p 4, eG AA 亠 A

、

两物体在甲乙两容器中都漂浮时

F A F B

A

、

两物体在甲乙两容器中都沉底时

F A F B

A

、

G G B S I

2x5

=匹9=5工1，所以A 、B 两物体在甲乙两容器中都漂浮不可能; m B g 2 i

=Pg 丰1，所以A 、B 两物体在甲乙两容器中都漂浮不可能;

p2gV B 7 i

两物体在甲乙两容器中只可能一个漂浮一个沉底，由于

匕＞P B ，所以是A 物体沉底B 漂浮，即：如果

“ i0

亦，F 7=-^=i^-0.^

i03kg/m3

，由鶯

P B V B

啦€得P A=2g 03kg/m 3

; 所以选项C 正确。