高级数理逻辑第5讲

4.5 一阶谓词语义系统 4.
5.1 什么是形式系统语义
抽象公理系统或者形式系统，具有较高的抽象性。

因此，已经脱离了任何一个具体的系统，但是我们可以对形式系统作出各种解释。

通过这种解释将形式系统对应到各种具体的系统中取。

例如可以将一阶谓词逻辑系统，解释到平面几何系统中。

怎样将形式系统解释成具体系统呢？我们先看下面的例子：
如果我们要知道)),1((x f xP ∀的具体的真值=1，我们至少要知道以下事情： 1、 x 在什么范围之内，x 范围是实数。

2、 f 是什么？ (X+1)
3、 P 是什么？P 代表的是大于＝0
4、 a=？a=1
5、 x=?，x ＝5，－4
例如，我们可以作出以下解释： 1、解释1：
● x 在实数中取值 ● P 表示等于0
●
),(a x f 表示x-a
● a=5
因此，公式解释为05==-x 。

令x=5, 则1))),(((=x a f P v s(x) ->5
s(f(a,x) ->I(f)(I(a),s(x)) 令x=6，则0))),(((=x a f P u 2、解释2：
● x 在实数中取值 ● P 表示大于等于0
●
),(a x f 表示2)(a x -
因此，公式解释为0)(2
>=-a x 。

这个公式不必对a 和x 作出具体解释，就可以确定公式的真值。

即对于任何实数x ，和赋值映射v ，1)))(((2
=-a x P v 。

由上面的例子可以看出，要对形式系统作出解释，我们要了解以下问题：
✓x取值于哪里？即规定讨论问题的领域。

✓给出谓词的含义和谓词的真值
✓给出函数的解释
✓给出变量和常量的值
✓根据连接词的赋值规则，赋值
这就是我们要研究的语义系统－指称语义的主要内容。

现代逻辑语义学理论的创始人是美籍波兰逻辑学家、哲学家A. Tarski，其奠基性文章是
他在1933年发表的《形式语言中的真实概念》。

后来被称为模型论—标准语义学理论。

进一步的发展由维特根斯坦最早提出设想，卡尔纳普最早把它展开为系统。

这体现在他1947年发表的《意义和必然性》一书中；卡普兰·克里普克(S.kripke)和蒙太古作出了进一步的贡献，提出了非经典逻辑的语义学理论—模态逻辑语义学(克里普克结构)。

4.5.2形式语义基本概念
1、指称语义：语义是由语义结构和以及在这种结构下公式赋真值的规定构成的。

2、语义结构：对于抽象公理系统或形式系统作出的一种解释。

包括个体域和在这种个
体域上的个体运算和个体间关系。

下面给出形式系统语义的定义：
3、形式语义：设FS是已经存在的形式系统，FS的语义有语义结构和赋值两个部分组
成：
a)语义结构：当FS的项集TERM不为空时，由非空集合U和规则组I所组成二
元组（U，I），称为形式系统FS的语义结构。

其中U和I的性质如下：
i.U为非空集合，称为论域或者个体域；
ii.规则组I，称为解释，根据规则组的规定对项集TERM中的成员指称到U 中的个体；规定对原子公式如何指称到U中的个体性质（U的子集）、关
U的子集）。

系（n
b)指派：若形式系统FS中的变量集合Variables非空，那么下列映射称为指派：
s：varibles－>U。

对于给定的语义结构，可以将指派扩展到项集TERM上：
s：TERM－>U；
s＝S(t) 当t 为变元
S指派t中变元由解释确定当t为非变元
F(x,a) = I(f) (x, I(a)) = s1( I(f) (x, I(a))) = I(f) (s(x), I(a))
P(f(a,x)) =I(P)(I(f)(a,s(x)))
c)赋值：是指一组给公式赋值的规则，据此规则可对每一结构U和指派S确定一
由原子公式到值域的映射v：atomic－>value。

根据这个赋值规则，可以将赋值
映射进行扩展：v为v：
d) 可满足：公式A 称为可满足，如果存在结构S 与指派s ，使一个赋值映射v 满
足v(A)=1,否则为不可满足。

|=P(f(x,y))
F(x,y) s(x,y)=(1,2) s(f(x,y))=I(f)(1,2)=I(f)(s(x),s(y)) V(P(x,y)=V(I(P)(s(x),s(y))→V(I(Q)(s(x)))
4.5.3 一阶谓词语义
1、语义结构：
一阶谓词形式系统采用TARSKI 语义结构。

这种语义结构以}1,0{=VALUE 为其真值集合。

每一个Tarski 语义结构S ，由非空集合U 和下列解释I 构成：
i ． 常元：对于任一常元a, I(a)∈U, I(a)记为a ，为论域中的一个元素；
ii ．
函数： 对于任一n 元函数)(,n
n f I f 为U 的一个n 元函数，记为n
f ：
U U n →；
iii ．
谓词：对于任一n 元谓词n P ，)(n
P I 为U 上的一个n 元关系，记为)
(n P ，
n n U P ⊆。

当n=1时，1P 为U 的子集。

2、指派：
指派S 为变元集合{}.......,21r r 到U 上的映射。

S 可以扩展为U TERM S →:： F(a,x) S(x)=5 S(f(a,x))=I(f)(I(a),S(x))= I(f)(I(a),5)
i ． 对于每一变元v ：)()(v S v S =； ii ． 对于每一常元a ：)()(a I a a S ==； iii ．
对于每一个n 元函词f n 和项t 1，t 2…….t n ：
).......)(),(()).......((21)
(1)
(t S t S f
t t f
S n n n =
S(F(x1,x2))=F(S(x1),S(x2))
由此可见，指派与结构无关，而S 与结构相关。

3、赋值：
i ．
赋值映射v ：Atomic →{}1,0定义为：对任何n 元谓词)
(n P
及项t 1……t n ，
1)))(),......(((1)(=n n t S t S P v 当且仅当<)(),......(1n t S t S >)(u P ∈，其中
)()()(n u P I P =。

Y>=X+1
P(x,y), I(P)={<1,2>,<2,1>,<2,3><3,2> }, s(x)==3, s(y)=2?;;; I(P)(s(x),s(y))::P(<3,2>)=1 ii ．
赋值映射v 按下列规则扩展，{}1,0:→Formula v ： ● 对原子公式A ：)()(A v A v =；
● 对于公式B ⌝，1)(=⌝B v 当且仅当0)(=B v ；
● 对于公式B A →，1)(=→B A v 当且仅当,0)(=A v 或1)(=B v ； ● 对公式xA ∀，1)(=∀xA v 当且仅当对于U 中每一元素d ，
[]1))|((=d x S A v ，其中[])|(d x S A 表示指派S 对x 指派元素d 。

4、所有公理为永真式：
我们从公理中取公理5来证明，即证明|=)()(xB xA B A x ∀→∀→→∀为永真式。

已知：),(B A x →∀=1 求证：)(xB xA ∀→∀=1
任意取一个结构，和这个结构任意一个指派，对于任意一个赋值f ，满足 f(),(B A x →∀)=1，则f()(xB xA ∀→∀)=1.
任意取一个结构,一个赋值映射f ，f 满足f(),(B A x →∀)=1： 证明：f()(xB xA ∀→∀)=1.
f(),(B A x →∀)=1, f(xA ∀)=1,证明:f(xB ∀)=1 D, B(d)=1;
f((A →B)(d))=1 f(A(d)→B(d))=1; f(A)(d)=1
f(A(d))=0,或者f(B(d))=1;;; f(A)(d)=1 f(B(d))=1
对于论域中的任意一个个体，d, f(A(d)→B(d))=1, f(A(d))=1, F(B(d))=1
f( (A(S[x|d])→B(S[x|d])) =1 A(d)=1,A(d)→B(d) 对于论域中的任意一个个体，d, f(A(S[x|d]))＝1
求证：对于论域中的任意一个个体，d, f(B(S[x,|d])＝1
证明：只要证明对任意结构U 和指派S ，对于任一赋值v ：
1))()((=∀→∀→→∀xB xA B A x v 成立。

由演绎定理可知，要证明╞)()(xB xA B A x ∀→∀→→∀，则只需证明：
xA B A x ∀→∀),(╞xB ∀。

因此，只需证明对于任意结构U 和指派S ，如果U 和S 满足：
╞)(B A x →∀和╞xA ∀成立；
则在结构U 和指派S 下 ╞xB ∀在S 和U 下成立。

只需对任意元素d ，进行验证： 对于)|(d x S 和任意赋值v 由于：
[]1))|()((=→d x S B A v （1）已知 []1))|((=d x S A v
（2）已知
由（1）可知，或者[]0))|((=d x S A v 或者[]1))|((=d x S B v 。

由（2）可知，[]1))|((=d x S A v ，因此[]1))|((=d x S B v 。

因此，命题成立。

5、语义构造的例子
一阶谓词形式系统的语义结构为：只有一个函词、一个谓词和一个常元的形式系统（推理和符号与一阶谓词相同）。

P2, f1,a
个体域：},23,1{ =U ，即自然数集合N 谓词：)
2(P 为N 上的≤关系。

函词：)
1(f
为N 上的后继，即1)()
1(+=x x f
常元：1=a
判断以下公式的真值：
))(,(v f a P =1
)),((2121v v f P v v ∃∀ ∀v1∃v2P(v1+1,v2)=1
P(x1+1, x1+2)
)),((222v v f P v ∃=0
4.6 一阶元理论 4.6.1 语法构成
对于一阶谓词形式系统的语法构成，主要有以下定理：
✓ 独立性：FSFC 的公理集合是独立的。

✓ 一致性：FSFC 是一致的，即不存在FSFC 的公式A ，使├A 及├A ⌝同时成
立
✓ FSFC 是不完全的，即存在FSFC 的公式A ，使├A 及├A ⌝都不成立。

只需证
明对于原子公式P(x), ├P(x), ├)(x P ⌝均不成立。

* FSFC 的不一致扩充为完全的。

A4 -(A-->(B-->A))
✓ 半可判定性：FSFC 是半可判定的，即存在一个机械的实现过程，能对FSFC
中的定理作出肯定判断，但对非定理的FSFC 公式未必能作出否定判决。

推广：设∑为FSFC 的一个可判定公式集（递归集），那么∑的演绎结果集合
{}A A →∑|是半可判定的。

4.6.2 语义结构
对于一阶谓词形式系统的语义主要有以下定理： ✓ 紧致性：对FSFC 的任何公式集合，如果∑的所有有穷子集可满足，那么∑也
是可满足的。

证明：同命题逻辑。

反证法
4.6.3 语法语义关系
语法语义关系，主要有以下定理：
✓ 合理性：对于FSFC 中任一公式A ，如果├A ，那么|=A 。

合理性推广：对于FSFC 的任一公式集∑和公式A ，若∑├A,则∑|=A 。

证明简单，与命题逻辑基本相同。

合理性推论：对于FSFC 中任意公式A,B ，若A ├│B ，则A |=│B ✓ 完备性：对于FSFC 的任一公式A ，如果|=A ，那么├A 。

Godel 完备性定理：对于FSFC 的任一公式集∑和公式A ，如果∑|=A ，则∑
├A 。

已知：对于任意的结构，和任意的赋值映射f,如果f 使得f(∑)=1，则f(A)=1. 求证：存在一个证明序列A1,……,An=A ，其中Ai 或者为公理，或者为∑中的元素，或者是由前边的通过推理规则得到。

证明：
对于FSFC 的任一公式集∑是一致的，充要条件为∑是可满足的。

完备性定理又被称为Godel 完备性定理，其证明思路如下：
（1）对于一阶谓词任意公式集合∑是一致的，则存在一个一致公式集合∆，满足如果公式集合K 包含∑，且K 是一致的，则∆⊆K 。

成∆为∑的最大一致扩充。

{A1,A2,A3}==={A1,A2,A3,A4}=====f(A1,A2,A3)=1;f(A)=1;;f1(A1,A2,A3,A4,A)=1;F1(A)=1
（2）对于∑的最大一致扩充∆和公式A ，如果∆⊨A ，则有∆∈A 。

（3）反证法：假设∑⊬A ，故有∑⊬⌝⌝A ，从而},{A ⌝∑为一致的。

由（1）可知，存在着一极大一致集Φ，使得{⌝A }⊆Φ(或者⌝A ∈Φ)。

根据前提∑|=A ，Φ|=A 。

由（2）可知∈A Φ。

这与Φ的一致性矛盾。

5 归结原理及应用
5.5 标准形式
公式标准化的主要目的是对公式进行机械化推理过程。

机械化推理过程，是知识工程、逻辑程序设计、人工智能和定理机器证明等理论的基础。

在讲述公式标准化过程之前，我们首先介绍整个形式逻辑的基本发展思路。

推理过程：
语义
逻辑推理
反证，真值表
合理、完备
公式 形式系统
公理，规则→（分离规则）（机器难以识别） 同可满足
标准形式 标准形式
＋，－，代替→（机械化） B:::~B A,~A =0
假设公式集合S={A1,A2,...,An},假设T={B1,B2,B3,...,Bm}这是标准型，这个标准型T 和S 之间是同可满足的。

如果S 是可满足的，则T 是可满足的。

如果T 是不可满足的，则S 是不可满足的。

{}, x=3, B RETE=NETWORK 1965 HPROLOG , 1982 :::RULE ENGINE--ILOG
目标：反向推理 B, ~B 0: 一个集合F ――――>化简到标准型S ， 如果集合F 是可满足的，则标准型S 是可满足的。

S 上出现了0。

S 是不可满足。

如果S 是不可满足的，则F 是不可满足 计算语言 Descriptive programming , functional programming language = Rule engine forward PROLOG , LISP
5.5.1 前束范式
1、前束范式：
称FSFC 的公式为前束范式，当且仅当它有下面的形式：
B x Q x Q n n .......11其中Q i ,I=1…..n 是量词∃∀,。

并且B 不含量词，称Q 1……Q n 为
前束词，称B 为母式；
2、求前束范式
a)
)(x xA ⌝∀╞│)(x A x ⌝∃； )(x xA ⌝∃╞│)(x A x ⌝∀；
b)
)(x QxB A ∧╞│[])(x B A Qx ∧，当x 在A 中不自由出现；
╞│[])(x B A Qx ∨，当x 在A 中不自由出现；
如果有自由出现时，采用改名原理。

c)
)()(x xB x xA ∀∧∀╞│))()((x B x A x ∧∀；
)()(x xB x xA ∀∨∀→))()((x B x A x ∨∀=))()((y B x A y x ∨∀∀
{1,2, (10)
A(1)=…=A(10)=1或者B(1)=…=B(10)=1 A(1)vB(1)
A(1)vb(1)=…A(10)VB(10)=1
)()(x xB x xA ∀∨∀,或者{A(1),…A(10)}=0或者{B(1),…B(10)}=1
A{1,3,5,7,9}=1, B(2,4,6,8,10)=1 A(2,4,6,8,10)=0, B(1,3,5,7,9)=0
)()(x xB x xA ∃∨∃|=|))()((x B x A x ∨∃； )()(x xB x xA ∃∧∃←))()((x B x A x ∧∃
{1,2,3}
)(x xA ∃ A(1)=1;A(2)=0,A(3)=0
A(1)=1, B(1)=0;A(2)=0, B(2)=1;A(3)=0=B(3)=0
)(x xB ∃ B(2)=0,B(1)=0,B(3)=0
X=1, A(1)&B(1)=0,x=2, A(2)&B(2)=0, x=3, A(3)&B(3)=0
))()((x B x A x ∧∃→)()(x xB x xA ∃∧∃
]xA(x)&vxB(x) d)
))()(()()(2121y B x A y xQ Q y yB Q x xA Q ∧=∧，当x 不在B(y)中出现，且y
不在A(x)中出现;
))()(()()(2121y B x A y xQ Q y yB Q x xA Q ∨=∨，当x 不在B(y)中出现，且y 不
在A(x)中出现;
如果有自由出现时，采用改名原理。

4、 例：将))))(),(((),,((x H w y yG x y x u yF x →⌝∀∃→∃∀⌝化成与其等价的前束范
式。

⌝(⌝ (∀x∃yF(u,x,y))∨(∃x(⌝∀yG(y,w) H(x))))
⌝ (⌝(∀x∃yF(u,x,y))∨(∃x(∀yG(y,w)∨H(x)))
⌝ (⌝(∀x∃yF(u,x,y))∨(∃x∀y(G(y,w)∨H(x))))
⌝ (∃x⌝∃yF(u,x,y)∨∃x∀y(G(y,w)∨H(x)))
⌝(∃x∀y⌝F(u,x,y)∨∃x∀y(G(y,w)∨H(x)))
⌝∃x(∀y⌝F(u,x,y)∨∀y(G(y,w)∨H(x)))
⌝∃x(∀y⌝F(u,x,y)∨∀y(G(y,w)∨H(x)))
∀x⌝(∀y⌝F(u,x,y)∨∀y(G(y,w)∨H(x)))
∀x (⌝∀y⌝F(u,x,y)∧⌝∀y(G(y,w)∨H(x)))
∀x (∃yF(u,x,y)∧∃y⌝ (G(y,w)∨H(x)))
∀x (∃yF(u,x,y)∧∃y (⌝ G(y,w)∧⌝ H(x)))
∀x (∃yF(u,x,y)∧∃z (⌝ G(z,w)∧⌝ H(x)))
∀x ∃y∃z (F(u,x,y)∧⌝ G(z,w)∧⌝ H(x))
2、定理：对于FSFC中的任一公式，有一个前束范式与其逻辑等价。

[证].证明实际上是一转换算法：
１°.联结词归约：消去，；
２°.否定词深入：将否定词移到到每个原子公式之前;
３°.约束变项改名：将每个约束变项都改名为互不同名，且与所有的自由变项也不同名; ４°.量词与前移：将所有的量词按其在公式中的位置顺序全部移到整个公式之前; ５°.调整与：将母式化归为CNF。

证明完毕。

5.5.2 斯柯伦标准形
1． 标准化
前束范式：基础，但不够用。

例如：)(x xA ∀ A(a)匹配规则比较麻烦，而且是机器难于识别的。

)(x xB ∃ B(a) 匹配规则比较麻烦，而且是机器难于识别的。

那么怎样让计算机能够匹配这些公式的关键在于怎样去掉量词；对于∀可以去掉（可满足性），而∃则不成。

因为：
● 与A(c)并不逻辑等价；
由∑→)(x xA ∃；
不可能得到，∑→A(c)成立。

● yA x ∃∀ (x,f(x)) 就更难了；对A(x,c)，要对每一x 找到不同的常量c 才行。

(1,2), (2,f(x)),…..
利用计算机进行逻辑推理的时候，并不需要对公式进行等价转换。

只需要和销去量词后的公式保持同可满足性即可。

斯柯伦标准型就是为了解决以上的问题。

{1,2 (10)
2、Skolem 定理
在介绍Skolem 定理之前，我们首先看看反证法：
证明A →∑成立，只需证明{}A ⌝∑,为不可满足的。

设{}A ⌝∑,与公式集合∑1……. ∑n 同可满足。

要证明{}A ⌝∑,为不可满足的，则只需
证明∑I 为不可满足的，其中I 为1到n 中任意的数字。

∑I 的不可满足性，就证明了A →∑。

从而在将公式化为标准形式，不需要∑之间是等价的，只需时同可满足的。

{}A ⌝∑,→Q1→Q2→Q3 0
如果存在一个赋值映射f ，使得f({}A ⌝∑,)=1,则存在一个赋值映射f1，使得f1(Q1)=1. S1与S2是同可满足的：指的是如果存在赋值f(S1)=1，则存在赋值f1(S2)=1. A1,…,A100, A2,A1
Skolem 定理：对于公式xA ∃，存在一个不在A 中出现的常元c ，使得)(c A 与公式xA ∃具有同可满足性；对于公式yA x x x n ∃∀∀∀ 11存在一个不在A 中出现的函数n
f ，使
得公式)),,,((2111n n n x x x f A x x x ∀∀∀与公式yA x x x n ∃∀∀∀ 11具有同可满足性。

其中c 称为斯柯伦常元、n
f 称为Skolem 函词。

3、skolem 标准形
设公式A 为前束范式（其母式为析取范式和合取范式）。

称'
A 为A 的斯柯伦标准形，如果'A 是用skolem 常元、skolem 函词消除A 中量词后得到的公式。

当A 的母式为合取范式时，其斯柯伦标准形称为合取型，否则称为析取型。

斯柯伦标准型通常的约定为合取型。

例：求公式)......(6321654321x x x x A x x x x x x ∃∀∃∀∀∃的斯柯伦标准型。

),,,,,(6543265432x x x x x c A x x x x x ∃∀∃∀∀
),),,(,,,(65321326532x x x x f x x c A x x x x ∃∀∀∀
)),,(,),,(,,,(5322532132532x x x f x x x f x x c A x x x ∀∀∀
)),,(,),,(,,,(5322532132x x x f x x x f x x c A
求一个公式α的Skolem 标准型的算法：
１°.先将α化为前束范式β1:=Qx 1⋯Qx n A ，其中A 为母式，不含量词。

若所有的Q i :=∀(1≤ i ≤n)，则β1显然是Skoloem 标准型。

取β:=β1 ，即为所求。

算法结束;否则转2° ： 2°.若β1形为∃x 1 ∀x 2⋯∀x n A ，则选一不在A 中出现的个体常项c(称为Skolem 常项),可得
β2:=∀x 2⋯∀x n 1
x c A 显然β2是一Skolem 标准型。

取β :=β2 ，即为所求。

算法结束;
３°.若β1形为∀x 1⋯∀x k ∃x k+1Q k+2x k+2⋯Q n x n A ，则选一不在A 中出现的k 元函词符号f(称为Skoloem 函词)，可得
β2:=∀x 1…∀x k Q k+2x k+2⋯Q n x n 11+k k
x x fx A
若Q k+2 ,⋯, Q n 全为∀，则显然β2是一Skolem 标准型。

取β :=β2 ，即为所求。

算法结束; 否则返回到３°自己。

完毕。

A1=(B1vb2)^()^()={B1vB2, (), ()} A, ~AvB, B
A2=B1^B2^B3^B4 ={B1,B2,B3,B}
{A1,A2,A3} =A1^A2^A3 {
5.5.3 子句集
{A1,A2,A3}= A1&A2&A3
1、子句集概念
对于合取型斯柯伦标准型，其合取项被称为子句，其析取项被称为文字。

由于每个合取型斯柯伦标准型，有多个子句构成。

我们可以把一个斯柯伦标准型中的所有子句集合在一起。

这样一个斯柯伦标准型，就有了一个与其对应的等价的子句的集合。

公式→Skolem A →C1&C2&C3={C1,C2,C3}::C1=L1vL2vL3.....
公式集合S 被称为公式A 的子句集，如果S 为A 的斯柯伦标准型中全体子句的集合。

S 称为可满足的，如果存在一个结构使S 中的每个子句为真；否则称子句集合为不可满足的。

公式→前束范式→Skolem 标准型→子句集
例如：
))()((1211x P x P ∨
)(1x P
)())()((12211x P x P x P ∧∨
子句 文字
{(P(x1)vP2(x2)), P3(x2)}
A1^A2^A3={A1,A2,A3}
2、子句集性质
● 子句集中两个子句中变量是独立的、无关的，不管子句中的变量名称是否相同。

这主要是因为：21212121)(yc xc xc xc c c x c c ∀∧∀=∀∧∀=∧∀⇔∧。

同一子句中的变量是相互依赖的。

● 斯柯伦标准型与源公式之间是同可满足的，斯柯伦标准型与子句集之间是等价的。

因此，子句集与原公式之间是同可满足的。

● 如果子句集是可满足的，则子句集的子集都是可满足的。

相反，如果一个子句集
的子集是不可满足的，则子句集是不可满足的。

{A1,A2,…,A10}:可满足：f(A1)=f(A2)=…=f(A10)=1, 任意子集都是可满足的。

{A1,A2,…,A10}：不可满足的：f(A1)=f(A2)=…=f(A9)=1,f(A10)=0;任一子集是否是可满足的？A1,A2,…,A10，A11，
3、求子句集
通常通过以下步骤，可以得到一个公式的子句集。

i ． 求A 的合取型前束范式
ii ． 求A 的skolem 标准形
iii ． 将skolem 标准形改为子句
通过这样的过程，我们将一个公式进行了标准化的表示过程。

从而使计算机的自动推理有了理论上的基础。

这个过程表示如下：
A →B
公式 前束范式 skolem 标准形 子句集
= 同可满足 等价
公式→合取型范式→子句集
A, BvC, ~A(x)v~B, ~A
例：求公式)),,()),(),(((z y x zR z x Q y x P z y x ∃∨∧⌝∃∃∀的子句集。

∀x ∃y(∃z(~P(x,y) ∧Q(x,z)) ∨∃zR(x,y,z))
∀x ∃y ∃z((~P(x,y) ∧Q(x,z)) ∨R(x,y,z)) ∀x ∃y ∃z((R(x,y,z) ∨~P(x,y)) ∧(Q(x,z)) ∨R(x,y,z)))
∀x ∃z((R(x,f1(x),z) ∨~P(x,f1(x))) ∧(Q(x,z)) ∨R(x,f1(x),z)))
∀x((R(x,f1(x),f2(x)) ∨~P(x,f1(x))) ∧(Q(x,f2(x))) ∨R(x,f1(x),f2(x))))
(R(x,f1(x),f2(x)) ∨~P(x,f1(x))) ∧(Q(x,f2(x))) ∨R(x,f1(x),f2(x)))
{R(x,f1(x),f2(x)) ∨~P(x,f1(x)), Q(x,f2(x))) ∨R(x,f1(x),f2(x))}
⌝∃x(∀y ⌝F(u,x,y)∨∀y(G(y,w)∨H(x)))
)),,()),(),(((z y x zR z x Q y x P z y x ∃∨∧⌝∃∃∀
前束范式
)),,()),(),(((z y x R z x Q y x P z y x ∨∧⌝∃∃∀
合取范式
)),,(),(()),,(),(((z y x R z x Q z y x R y x P z y x ∨∧∨⌝∃∃∀ skolem 标准型
)))(),(,())(),(()))(),(,())(,(((212211x f x f x R x f x Q x f x f x R x f x P x ∨∧∨⌝∀ 子句集
)))(),(,())(,(211x f x f x R x f x P ∨⌝ 子句1 ))(),(,())(,(212x f x f x R x f x Q ∨ 子句2
练习：
1、证明：)(x A x ⌝∃|=)(x xA ⌝∀。